WikiDer > Gesamte Funktion

In dem komplexe Analyse, ein Teilgebiet der Mathematik, ist a gesamte Funktion (oder Integralfunktion) ein komplexwertiges Funktion Das Holomorph ist alles vorbei komplexe Ebene. Typische Beispiele für ganzzahlige Funktionen sind die Polynome und der Exponentialfunktion. Darüber hinaus sind auch Summen, Produkte und Zusammensetzungen ganzer Funktionen ganz.

Jede ganzzahlige Funktion kann um jeden Punkt gelegt werden ${Anzeigestil c}$ werden präsentiert als Potenzreihe

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}(z-c)^{n}=a_{0} a_{1}(z-c) a_{2}(z-c)^{2} ldots }$

mit für alle ${displaystyle rin mathbb {R} }$:

${displaystyle lim _{n o infty }|a_{n}|r^{n}=0}$.

Umgekehrt repräsentiert eine solche Potenzreihe immer eine ganze Funktion.

Beispiele

${displaystyle sin z={frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$

${displaystyle cos z={frac {e^{iz} e^{-iz}}{2}}}$

${displaystyle sinh z={frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}$

${displaystyle cosh z={frac {e^{z} e^{-z}}{2}}}$

${displaystyle 3e^{2z^{2}-7}-5cdot 10^{pi e^{-6z}}-8}$

Gegenbeispiele

noch die natürlicher Logarithmus, noch die Wurzelfunktionen sein analytische Fortsetzungen von ganzen Funktionen.