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Die Exponentialfunktion ist für negative Werte von . fast flach ${Anzeigestil x}$, steigt aber bei höheren, positiven Werten von schnell an ${Anzeigestil x}$.

Das Exponentialfunktion, notiert als ${displaystyle exp(x)}$ oder wenn ${displaystyle e^{x}}$, ist eine Funktion von Exponent mit Basis die Zahl ${displaystyle e}$, die Basis der natürlicher Logarithmus. Die Exponentialfunktion ist eine wichtige, häufig verwendete Funktion in dem Mathematik.

Exponentialfunktionen allgemein

Der Begriff Exponentialfunktion wird für jede Funktion der Form verwendet ${displaystyle ka^{x}}$, in welchem ${Anzeigestil a}$ ist eine positive reelle Zahl oder äquivalent eine beliebige Funktion der Form ${displaystyle ke^{bx}}$ in welchem ${displaystyle b}$ ist eine reelle Zahl. Die Variable ${Anzeigestil x}$ kann eine beliebige reelle oder komplexe Zahl sein, oder kann eine ganz andere sein mathematisches Objekt sein. Biene ${Anzeigestil k=1}$ heißt Antilogarithmus.

Wirklich ${Anzeigestil x}$ man unterscheidet:

${Anzeigestil a>1quad (b>0)}$: exponentielles Wachstum

${Anzeigestil a=1quad (b=0)}$: konstante Funktion

${Anzeigestil 0$: exponentieller Rückgang

Die Exponentialfunktion ${displaystyle y=ke^{bx}}$, und daher auch ${displaystyle y=ka^{x}}$, wird vollständig durch den Anfangswert bestimmt ${displaystyle y_{0}=k}$ vor dem ${Anzeigestil x=0}$ und der Wert ${displaystyle y_{1}=y_{0}e^{bx_{1}}}$an einem anderen punkt ${displaystyle x=x_{1}}$.

In Bewerbungen sind ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ In vielen Fällen Größen die in einer Zahl ausgedrückt werden und a Einheit. Man schreibt für die Funktion:

${displaystyle {frac {y}{y_{0}}}=e^{x/alpha }}$,

dann sind ${displaystyle j/y_{0}}$ und ${Anzeigestil x/alpha }$dimensionslos Größenordnungen. Die Funktion beschreibt eine Größe ${Anzeigestil y}$ mit Anfangswert ${displaystyle y_{0}}$, die um den Faktor ${displaystyle e}$ steigt mit der Größe ${Anzeigestil x}$ mit einem Betrag ${displaystyle alpha }$ steigt von ${Anzeigestil x}$ bis um ${Anzeigestil x Alpha}$.

Formale Definition

Die Exponentialfunktion kann auf verschiedene Weise formal definiert werden. Einige gängige Definitionen sind:

• wie eine unendliche Serie (das Maclaurin-Reihe von ${displaystyle e^{x}}$):

${displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{x^{n} über n!}=1 x {x^{2} über 2!} {x^{3} über 3 !} {x^{4} ungefähr 4!} ldots }$

• als die Grenze von a Warteschlange:

${displaystyle e^{x}=lim _{n o infty }left(1 {x über Nacht)^{n}}$

• als eindeutige Lösung des Anfangswertproblems

${Anzeigestil f'(x)=f(x),Quad f(0)=1}$

Die Exponentialfunktion ist immer positiv (größer Null) und wächst mit steigendem ${Anzeigestil x}$. Der Graph der Funktion berührt die ${Anzeigestil x}$-axis nicht, obwohl es ihm beliebig nahe kommen kann. Die Exponentialfunktion ist die Umkehrung des natürlichen Logarithmus, ${Anzeigestil ln(x)}$ die für alle positiven Werte von definiert ist ${Anzeigestil x}$.

Komplexe E-Power

Die Exponentialfunktion wird auch als Potenzreihe für komplexe Zahlen

${displaystyle e^{z}=sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{n}}{n!}}}$

Wie für reelle Zahlen, für zwei komplexe Zahlen ${displaystyle v,win mathbb {C} }$.

${displaystyle e^{v}e^{w}=sum _{k=0}^{infty }{frac {v^{k}}{k!}}sum _{m=0}^{infty }{ frac {w^{m}}{m!}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}sum _{km=n}{frac {n!}{k !m!}}v^{k}w^{m}=Summe _{n=0}^{infty }{frac {(vw)^{n}}{n!}}=e^{vw}}$

Vor dem ${Anzeigestil z=x iy}$ mit ${displaystyle x,yin mathbb {R}}$ ist deshalb:

${displaystyle e^{z}=e^{x iy}=e^{x}e^{iy}}$

und weil die Reihen absolut konvergieren:

${displaystyle e^{iy}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(iy)^{n}}{n!}}=left(1-{frac {y^{2}}{ 2!}} {frac {y^{4}}{4!}}-{frac {y^{6}}{6!}} ldots ight) ileft(y-{frac {y^{3}}{ 3!}} {frac {y^{5}}{5!}}-{frac {y^{7}}{7!}} ldots ight)=cos y isin y}$

Dies ist das Eulersche Formel.

So:

${displaystyle e^{x iy}=e^{x}(cos y isin y)}$

Beispiel

Ein Beispiel für eine Exponentialfunktion ist etwas, dessen Wert sich mit jedem Schritt verdoppelt. Am Anfang ist der Wert also 1, nach dem ersten Schritt 2, nach dem zweiten 4, nach dem dritten 8, nach dem vierten 16 und nach dem fünften 32. Mit anderen Worten, der Funktionswert wächst viel schneller als der Streit. Diese Funktionen beschreiben, was passiert, wenn a exponentielles Wachstum.

bakterielles Wachstum ist ein typisches Beispiel für ein Phänomen, das sich exponentiell entwickelt.

Eigenschaften

Wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt, wird die Funktion kleiner, und wenn die Basis größer als 1 ist, erhöht sich die Funktion. Das Derivat einer Exponentialfunktion ist auch eine Exponentialfunktion mit der gleichen Basis mal dem natürlichen Logarithmus der Basis.

Die formale Definition einer Exponentialfunktion lautet:

${displaystyle a^{x}=e^{xln a}}$

Es ist für alle Werte von definiert ${Anzeigestil a>0}$, und alle reellen Zahlen ${Anzeigestil x}$. Diese Funktion wird zur Exponentialfunktion mit Basis oder Basis grond ${Anzeigestil a}$ erwähnt.

Exponentialfunktionen übersetzen zwischen Addition und Multiplikation, wie in den folgenden Exponentialgesetzen gezeigt:

${displaystyle a^{0}=1}$

${displaystyle a^{1}=a}$

${displaystyle a^{xy}=a^{x}a^{y}}$

${displaystyle a^{xy}=links(a^{x}ight)^{y}}$

${displaystyle {1 über eine^{x}}=links({1 über eine}Nacht)^{x}=a^{-x}}$

${displaystyle a^{x}b^{x}=(ab)^{x}}$

Diese Beziehungen gelten für alle positiven reellen Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ und alle reellen Zahlen ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$. Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Exponentialschreibweise vereinfacht werden, weil

${displaystyle {1 über a}=a^{-1}}$

und für jeden ${Anzeigestil a>0}$, reelle Zahl ${displaystyle b}$ und ganzzahlig ${Anzeigestil n>1}$ gilt:

${displaystyle {sqrt[{n}]{a^{b}}}=links({sqrt[{n}]{a}}ight)^{b}=a^{b/n}}$

Antilogarithmus

Antilogarithmen sind die Umkehrungen von Logarithmen. wenn ${Anzeigestil y}$ der Logarithmus mit Basis ${displaystyle g}$ ist von ${Anzeigestil x}$, dann ist ${Anzeigestil x}$ der Antilogarithmus mit base ${displaystyle g}$ von ${Anzeigestil y}$.

Also funktionsmäßig unter dem Antilogarithmus der Funktion ${displaystyle y=log _{g}x}$ die Funktion ${Displaystil x=g^{y}}$ (oder nach Reflexion in der Leitung ${Anzeigestil y=x}$, die Funktion ${displaystyle y=g^{x}}$ verstehen.

Diese Umkehrfunktion des Logarithmus ist die Exponentialfunktion mit Basis ${displaystyle g}$.

Die Verwendung des Wortes Antilogarithmus hat mit der Frage zu tun, welche Funktionen als elementarer angesehen werden. Im Sekundarbereich werden Logarithmen nach Potenzen mit Basis und Exponent behandelt.

Der Logarithmus ${displaystyle y=log _{g}x}$ ist dann definiert als der Exponent der Basis ${displaystyle g}$ in welchem ${Anzeigestil x}$ hört: ${displaystyle x=g^{y}}$. Exponentialfunktionen gehen daher Logarithmen voraus. Diese Behandlungsmethode geht jedoch stillschweigend davon aus, dass die Macht ${displaystyle g^{y}}$ ist auch für irrationale Exponenten definiert ${Anzeigestil y}$.

In der höheren Mathematik, wo eine axiomatische Konstruktion der elementaren Funktionen verwendet wird, wird die Exponentialfunktion oft definiert, nachdem der natürliche Logarithmus als das Integral definiert wurde ${displaystyle ln x=int _{1}^{x}{frac {1}{t}}mathrm {d} t}$.über die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus, also ${displaystyle e^{x}}$, wird dann die Potenz für jeden reellen Exponenten ${Anzeigestil y}$ eingeführt: ${displaystyle g^{y}=exp(yln g)}$. In dieser Progression werden Logarithmen als elementarer angesehen als Exponentialfunktionen. Das Wort Antilogarithmus, was die Umkehrung des Logarithmus bedeutet, ist in dieser Entwicklung angemessen.

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