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Das Genocchi-Zahlen, benannt nach Angelo Genocchi, bilde eine Reihe von ganze Zahlen${displaystyle G_{n}}$ Mit als Erzeugungsfunktion:

${displaystyle {frac {2t}{e^{t} 1}}=Summe _{n=1}^{infty }G_{n}{frac {t^{n}}{n!}}}$

Die ersten Genocchi-Zahlen sind 1, −1, 0, 1, 0, −3, 0, 17, 0, −155... ${displaystyle G_{n}}$ ist 0 für ungerade ${Anzeigestil n>1}$; deshalb werden manchmal nur die geraden Zahlen in dieser Folge als Genocchi-Zahlen bezeichnet: −1,1,−3,17,,155,... (Zeile A001469 im OEIS).

Es wurde bewiesen, dass −3 und 17 die einzigen Genocchi-Zahlen sind, die (in Absolutwert) ein Primzahl sein.

Beziehung zu Bernoulli-Zahlen

Die Genocchi-Zahlen sind Vielfache der entsprechenden Bernoulli-Zahlen, nach der Formel:

${Anzeigestil G_{n}=2,(1-2^{n}),B_{n}}$

Beispielsweise: ${Displaystil B_{6}=1/42}$ und ${Displaystil G_{6}=2(1-2^{6})B_{6}=-126 imes 1/42=-3}$.

Genocchi-Zahlen in der Kombinatorik

Es ${displaystyle(n1)}$-te (gerade) Genocchi-Zahl ist (im absoluten Wert) gleich der Zahl Dumont-Permutationen der ersten oder zweiten Art der Folge ${displaystyle 1,2,ldots,n}$. Dumont-Permutationen sind Permutationen die bestimmte Bedingungen erfüllen müssen:

• bei einer Dumont-Permutation erster Art ist jede gerade Zahl größer als die nächste Zahl und jede ungerade Zahl kleiner als die nächste oder ist die letzte Zahl der Permutation;
• in einer Dumont-Permutation zweiter Art ist jede Zahl an gerader Position kleiner als die Folgenummer ihrer Position, und jede Zahl an ungerader Stelle ist größer oder gleich der Folgenummer.

Die Dumont-Permutationen der ersten Art von vier Elementen (so ${Anzeigestil n=2}$) (1234) sind: (2143), (3421) und (4213).

Die Dumont-Permutationen der zweiten Art von (1234) sind: (2143), (3142), (4132).

Die Zahl ist immer 3, und zwar ${displaystyle(n1)}$-ste, also 3. Genocchi-Nummer.

Externe Links

• Genocchi-Nummer auf MathWorld