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Das ganze Zahlen sind alle Zahlen in dem Warteschlange

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

die durch Addieren oder Subtrahieren von 1 jedes Mal fortgesetzt wird. Die ganzen Zahlen beinhalten 0, das natürliche Zahlen,^[1] also die zum Zählen verwendeten Zahlen und ihre Gegensätze, die negativen ganzen Zahlen.

Eine ganze Zahl wird 'ganz' genannt, weil sie es nicht ist gebrochen ist und ohne Ziffern nach dem Komma geschrieben werden kann. Zum Beispiel sind die Zahlen 21, 4 und −121 ganze Zahlen, während 9,75, 5½ und½ ${displaystyle {sqrt {12}}}$ sind keine ganzen Zahlen. Das Sammlung ganze Zahlen ist a Teilmenge des reale Nummern, und wird normalerweise durch ein fettes . dargestellt z wenn es Symbol${displaystyle mathbb {Z} }$ (Unicode U 2124 z), welche Art Zahlen, es Deutsche für Zahlen, steht.^[2]

Das Mathe-Zweig die sich mit dem Studium der Eigenschaften von ganzen Zahlen beschäftigt, heißt de Zahlentheorie.

Definition

Die ganzen Zahlen können als die Elemente der kleinsten Menge definiert werden ${displaystyle mathbb {Z} }$ mit den Eigenschaften:

${displaystyle 0in mathbb {Z} }$

${displaystyle-Satz mathbb {Z} impliziert z 1 in mathbb {Z} }$

${displaystyle-Satz mathbb {Z} impliziert z-1in mathbb {Z} }$

Für die Darstellung von ganzen Zahlen im Computer wird der Datentyp verwendet? ganze Zahl. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass diese beiden nicht identisch sind. Da eine ganze Zahl nur eine begrenzte Menge an Speicher belegt, ist der ganzzahlige Datentyp a is endliche Menge, während die ganzen Zahlen a unendliche Sammlung Formen.

Eigenschaften

• Die Menge der ganzen Zahlen ist Geschlossen unten summieren, subtrahieren und multiplizieren: Jede Addition, Subtraktion oder Multiplikation zweier ganzer Zahlen erzeugt eine weitere ganze Zahl. Die Sammlung ist im Rahmen der Operation nicht geschlossen Teilen: nicht jede Division von zwei ganzen Zahlen ergibt eine andere ganze Zahl, zum Beispiel ist 1/2 a Rationale Zahl. Die ganzen Zahlen bilden a Ring.
• Die Elemente von ${displaystyle mathbb {Z} }$ eine bestimmte Reihenfolge haben. Strenger formuliert: die Kollektion ${displaystyle mathbb {Z} }$ wird total bestellt bis zum Beziehung${Anzeigestil <}$ (kleiner als) und enthält in dieser Reihenfolge sowohl unendlich aufsteigende als auch unendlich absteigende Ketten.

${Anzeigestil ldots <-2<-1<0<1<2$

Dieser Auftrag hat die Eigenschaften:

• wenn ${Anzeigestil a$ und ${Anzeigestil c$, dann ist ${displaystyle a c$
• wenn ${Anzeigestil a$ und ${Anzeigestil 0$, dann ist ${displaystyle ac$

• Für jeweils zwei ganze Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$, von was ${displaystyle beq 0}$ sind immer zwei eindeutige ganze Zahlen ${Anzeigestil q}$ und ${displaystyle r}$ finden, mit ${displaystyle 0leq r<|b|}$, so dass:

${Anzeigestil a=bq r}$

Im obigen Satz heißt die Zahl ${Anzeigestil q}$ es Quotient und ${displaystyle r}$ das sich ausruhen der Aufteilung von ${Anzeigestil a}$ durch ${displaystyle b}$. Diese Form des Teilens heißt ganzzahlige Division.

Wenn in der obigen Aussage ${Anzeigestil r=0}$, ist der Fraktion${Anzeigestil a/b=q}$, also ganz. wenn ${displaystyle req 0}$, ist der Bruch ${Anzeigestil a/b=q}$ kein Ganzes, sondern ein Rationale Zahl, mit einem ganzen teil ${Anzeigestil q}$ und ein gebrochener oder gebrochener Teil ${displaystyle r/b}$.

Kardinalität

Die ganzen Zahlen können heruntergezählt werden, mit anderen Worten: die Menge ${displaystyle mathbb {Z} }$ ist Gleichmut zur Sammlung ${displaystyle mathbb {N} }$ von natürlichen Zahlen, also abzählbar unendlich. Beide Sammlungen enthalten sozusagen "gleich" Elemente, obwohl die natürlichen Zahlen nur ein Teil der ganzen Zahlen sind. Das Kardinalität der ganzen Zahlen wird durch das Symbol indicated angezeigt ${displaystyle aleph_{0}}$ (aleph-null). Dass die ganzen Zahlen heruntergezählt werden können, kann wie folgt gezeigt werden:

${displaystyle { egin{matrix}0&1&-1&2&-2&3&-3&4&-4&ldots /1&2&3&4&5&6&7&8&9&ldots end{matrix}}}$

Auf diese Weise werden die ganzen Zahlen durch die dividiert bijektion${displaystyle f:mathbb {Z} oder mathbb {N} setminus {{0}}}$ eins zu eins auf die natürlichen Zahlen, ohne 0, dargestellt mit depicted

${displaystyle f(x)={ egin{cases}2|x| 1,&{mbox{if }}xleq 0/2x,&{mbox{if }}x>0end{cases}}}$

die bijektion ${displaystyle g:mathbb {Z} oder mathbb {N}}$ mit

${displaystyle g(x)={ egin{cases}2|x|,&{mbox{if }}x<0/0,&{mbox{if}}x=0/2x-1,&{mbox{if }}x>0end{cases}}}$

ordnet die ganzen Zahlen allen natürlichen Zahlen mit 0 zu.

Nach der Definition der Kardinalgleichheit haben die beiden Mengen die gleiche Kardinalität.

Mehr ganze Zahlen

Das Gaußsche ganze Zahlen und der Eisenstein-Zahlen sind zwei verschiedene Erweiterungen der ganzen Zahlen zu den komplexe Zahlen.

Quellen, Anmerkungen und/oder Verweise ↑Dies hängt davon ab, ob 0 in den natürlichen Zahlen enthalten ist oder nicht. ↑(und) Jeff Miller, Früheste Verwendungen von Symbolen der Zahlentheorie.

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Media-Dateien

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