WikiDer > Глобальное измерение

В теория колец и гомологическая алгебра, то глобальное измерение (или же глобальная гомологическая размерность; иногда просто звонил гомологическая размерность) из звенеть А обозначается gl dim А, является неотрицательным целым числом или бесконечностью, которая является гомологическим инвариантом кольца. Он определяется как супремум из набора проективные размеры из всех А-модули. Глобальная размерность - важное техническое понятие в теории размерности нётеровых колец. По теореме Жан-Пьер Серр, глобальная размерность может использоваться для характеристики внутри класса коммутативных Нётерян местные кольца те кольца, которые обычный. Их глобальная размерность совпадает с Измерение Крулля, определение которого теоретико-модульное.

Когда кольцо А некоммутативно, сначала нужно рассмотреть две версии этого понятия, правая глобальная размерность, которая возникает из рассмотрения правильного А-модули и левое глобальное измерение, которое возникает из рассмотрения левого А-модули. Для произвольного кольца А правый и левый глобальные размеры могут отличаться. Однако если А это Кольцо Нётериана, оба эти размера оказываются равными слабое глобальное измерение, определение которого симметрично слева и справа. Следовательно, для некоммутативных нётеровых колец эти две версии совпадают, и одна из них имеет право говорить о глобальной размерности.^[1]

Примеры

Позволять А = K[Икс₁,...,Икс_п] быть кольцо многочленов в п переменные над поле K. Тогда глобальное измерение А равно п. Это заявление восходит к Дэвид Гильбертфундаментальные работы по гомологическим свойствам колец многочленов, см. Теорема Гильберта о сизигиях. В более общем смысле, если р является нётеровым кольцом конечной глобальной размерности k и А = р[x] - кольцо многочленов от одной переменной над р затем глобальное измерение А равно k + 1.

Первый Алгебра Вейля А₁ некоммутативный нётер домен глобального измерения один.

Кольцо имеет нулевую глобальную размерность тогда и только тогда, когда оно полупростой. Глобальное измерение кольца А меньше или равно единице тогда и только тогда, когда А является наследственный. В частности, коммутативный главная идеальная область которое не является полем, имеет глобальное измерение один.

• Если кольцо является правым нётеровым, то правое глобальное измерение совпадает со слабым глобальным измерением и является не более чем левым глобальным измерением. В частности, если кольцо является правым и левым нётеровым, тогда левое и правое глобальные измерения и слабое глобальное измерение одинаковы.
• В кольцо с треугольной матрицей ${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbb {Z} & mathbb {Q} 0 & mathbb {Q} end {bmatrix}}}$ имеет правую глобальную размерность 1, слабую глобальную размерность 1, но левую глобальную размерность 2. Она нётерова справа, но не слева.

Альтернативные характеристики

Правильное глобальное измерение кольца А альтернативно можно определить как:

• супремум множества проективных размерностей всех циклический верно А-модули;
• супремум множества проективных размерностей всех конечный верно А-модули;
• верхушка инъекционные размеры хорошо А-модули;
• когда А это коммутативный Нётерян местное кольцо с максимальный идеал м, то проективное измерение из поле вычетов А/м.

Левое глобальное измерение А имеет аналогичные характеристики, полученные заменой «правого» на «левого» в приведенном выше списке.

Серр доказал, что коммутативное нётерово локальное кольцо А является обычный тогда и только тогда, когда он имеет конечную глобальную размерность, и в этом случае глобальная размерность совпадает с Измерение Крулля из А. Эта теорема открыла дверь к применению гомологических методов к коммутативной алгебре.

Рекомендации

• Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150 (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8.
• Каплански, Ирвинг (1972), Поля и кольца, Чикагские лекции по математике (2-е изд.), University Of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0, Zbl 1001.16500
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец, Кембриджские исследования по высшей математике, 8, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-36764-6.
• McConnell, J.C .; Robson, J.C .; Смолл, Лэнс У. (2001), исправленное (ред.), Некоммутативные нётеровы кольца, Аспирантура по математике, 30, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2169-5.