WikiDer > Код гоппы

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья может быть сбивает с толку или неясно читателям. Пожалуйста, помоги нам прояснить статью. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Февраль 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Апрель 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, алгебро-геометрический код (AG-код), иначе известный как Код гоппы, является общим типом линейный код построенный с использованием алгебраическая кривая ${ displaystyle X}$ через конечное поле ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$. Такие коды были введены Валерий Денисович Гоппа. В частных случаях у них могут быть интересные экстремальные свойства. Их не следует путать с двоичные коды Гоппа которые используются, например, в Криптосистема Мак-Элиса.

Строительство

Традиционно AG-код строится из неособый проективная кривая Икс над конечным полем ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ используя ряд фиксированных различных ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$-рациональные точки на ${ displaystyle mathbf {X}}$:

${ displaystyle { mathcal {P}}: = {P_ {1}, ldots, P_ {n} } subset mathbf {X} ( mathbb {F} _ {q}).}$

Позволять ${ displaystyle G}$ быть делитель на Икс, с поддерживать который состоит только из рациональных точек и не пересекается с ${ displaystyle P_ {i}}$. Таким образом ${ Displaystyle { mathcal {P}} cap operatorname {supp} (G) = varnothing}$

Посредством Теорема Римана – Роха, существует единственное конечномерное векторное пространство, ${ Displaystyle L (G)}$, относительно дивизора ${ displaystyle G}$. Векторное пространство является подпространством функциональное поле из Икс.

Существует два основных типа AG-кодов, которые можно построить, используя приведенную выше информацию.

Код функции

Код функции (или двойной код) относительно кривой Икс, делитель ${ displaystyle G}$ и набор ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ строится следующим образом.

Позволять ${ Displaystyle D = P_ {1} + cdots + P_ {n}}$, быть делителем, с ${ displaystyle P_ {i}}$ определено, как указано выше. Обычно мы обозначаем код Гоппы как C(D,грамм). Теперь мы знаем все, что нам нужно для определения кода Goppa:

${ Displaystyle С (D, G) = влево { влево (е (P_ {1}), ldots, f (P_ {n}) вправо) : е в L (G) вправо } subset mathbb {F} _ {q} ^ {n}}$

На фиксированную основу ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {k}}$ за L(грамм) над ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$, соответствующий код Гоппа в ${ displaystyle mathbb {F} _ {q} ^ {n}}$ охватывает ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ векторами

${ displaystyle left (f_ {i} (P_ {1}), ldots, f_ {i} (P_ {n}) right)}$

Следовательно,

${ displaystyle { begin {bmatrix} f_ {1} (P_ {1}) & cdots & f_ {1} (P_ {n}) vdots && vdots f_ {k} (P_ {1} ) & cdots & f_ {k} (P_ {n}) end {bmatrix}}}$

порождающая матрица для ${ Displaystyle C (D, G).}$

Эквивалентно это определяется как изображение

${ displaystyle { begin {case} alpha: L (G) to mathbb {F} ^ {n} f mapsto (f (P_ {1}), ldots, f (P_ {n}) )) end {case}}}$

Ниже показано, как параметры кода соотносятся с классическими параметрами линейные системы делителей D на C (ср. Теорема Римана – Роха для большего). Обозначение ℓ(D) означает размерность L(D).

Предложение А. Измерение кода Гоппа ${ Displaystyle C (D, G)}$ является ${ Displaystyle к = ell (G) - ell (G-D).}$

Доказательство. С ${ Displaystyle С (D, G) cong L (G) / ker ( альфа),}$ мы должны показать это

${ Displaystyle ker ( альфа) = L (G-D).}$

Позволять ${ Displaystyle е ин кер ( альфа)}$ тогда ${ Displaystyle f (P_ {1}) = cdots = f (P_ {n}) = 0}$ так ${ displaystyle operatorname {div} (f)> D}$. Таким образом, ${ displaystyle f in L (G-D).}$ Наоборот, предположим ${ Displaystyle е в L (G-D),}$ тогда ${ displaystyle operatorname {div} (f)> D}$ поскольку

${ displaystyle P_ {i}$

(грамм не «исправляет» проблемы с ${ displaystyle -D}$, так ж должен сделать это вместо этого.) Отсюда следует, что ${ Displaystyle f (P_ {1}) = cdots = f (P_ {n}) = 0.}$

Предложение Б. Минимальное расстояние между двумя кодовыми словами равно ${ displaystyle d geqslant n- deg (G).}$

Доказательство. Предположим, что Вес Хэмминга из ${ Displaystyle альфа (е)}$ является d. Это означает, что для ${ displaystyle n-d}$ индексы ${ displaystyle i_ {1}, ldots, i_ {n-d}}$ у нас есть${ displaystyle f (P_ {i_ {k}}) = 0}$ за ${ displaystyle k in {1, ldots, n-d }.}$ потом ${ displaystyle f in L (G-P_ {i_ {1}} - cdots -P_ {i_ {n-d}})}$, и

${ displaystyle operatorname {div} (f) + G-P_ {i_ {1}} - cdots -P_ {i_ {n-d}}> 0.}$

Принимая степени с обеих сторон и отмечая, что

${ displaystyle deg ( operatorname {div} (f)) = 0,}$

мы получили

${ Displaystyle deg (G) - (п-г) geqslant 0.}$

так

${ displaystyle d geq n- deg (G).}$

Код остатка

Код остатка может быть определен как двойник функционального кода или как остаток некоторых функций в ${ displaystyle P_ {i}}$с.

Рекомендации

• Ки Уан Чанг, Коды Гоппы, Декабрь 2004 г., математический факультет Университета штата Айова.

внешняя ссылка

• Бакалаврская диссертация по алгебро-геометрической теории кодирования
• Коды Гоппы Ки Уан Чанг