WikiDer > Теорема Римана – Роха

В Теорема Римана – Роха это важная теорема в математикаособенно в комплексный анализ и алгебраическая геометрия, для вычисления размерности пространства мероморфные функции с прописанными нулями и разрешенными полюса. Это связано с комплексным анализом связанных компактный Риманова поверхность с чисто топологической поверхностью род грамм, таким образом, который может быть перенесен в чисто алгебраические параметры.

Первоначально доказано как Неравенство Римана к Риман (1857 г.), окончательный вид теорема для римановых поверхностей приобрела после работы Риманнедолговечный студент Густав Рох (1865). Позже это было обобщено на алгебраические кривые, к многомерному разновидности и дальше.

Предварительные представления

Риманова поверхность рода 3.

А Риманова поверхность ${ displaystyle X}$ это топологическое пространство который локально гомеоморфен открытому подмножеству ${ Displaystyle mathbb {C}}$, набор комплексных чисел. В дополнение карты переходов между этими открытыми подмножествами должны быть голоморфный. Последнее условие позволяет переносить понятия и методы комплексный анализ имея дело с голоморфными и мероморфные функции на ${ Displaystyle mathbb {C}}$ на поверхность ${ displaystyle X}$. Для целей теоремы Римана – Роха поверхность ${ displaystyle X}$ всегда считается компактный. Говоря простым языком, род ${ displaystyle g}$ римановой поверхности - это количество ручек; например, род римановой поверхности, показанной справа, равен трем. Точнее, род определяется как половина первого Бетти число, т.е. половина ${ Displaystyle mathbb {C}}$-размер первого особые гомологии группа ${ displaystyle H_ {1} (X, mathbb {C})}$ с комплексными коэффициентами. Род классифицирует компактные римановы поверхности вплоть до гомеоморфизм, т.е. две такие поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда их род один и тот же. Следовательно, род является важным топологическим инвариантом римановой поверхности. С другой стороны, Теория Ходжа показывает, что род совпадает с ${ Displaystyle mathbb {C}}$-мерность пространства голоморфных одноформ на ${ displaystyle X}$, поэтому род также кодирует комплексно-аналитическую информацию о римановой поверхности.^[1]

А делитель ${ displaystyle D}$ является элементом свободная абелева группа по точкам поверхности. Эквивалентно дивизор - это конечная линейная комбинация точек поверхности с целыми коэффициентами.

Любая мероморфная функция ${ displaystyle f}$ дает дивизор, обозначенный ${ displaystyle (f)}$ определяется как

${ Displaystyle (е): = сумма _ {z _ { nu} in R (f)} s _ { nu} z _ { nu}}$

куда ${ Displaystyle R (f)}$ это множество всех нулей и полюсов ${ displaystyle f}$, и ${ displaystyle s _ { nu}}$ дан кем-то

${ displaystyle s _ { nu}: = { begin {case} a & { text {if}} z _ { nu} { text {является нулем порядка}} a - a & { text {if }} z _ { nu} { text {полюс порядка}} a. end {cases}}}$

Набор ${ Displaystyle R (f)}$ известно как конечный; это следствие ${ displaystyle X}$ компактность и тот факт, что нули (ненулевой) голоморфной функции не имеют точка накопления. Следовательно, ${ displaystyle (f)}$ четко определено. Любой делитель такого вида называется главный делитель. Два дивизора, различающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентный. Дивизор мероморфной 1-форма определяется аналогично. Дивизор глобальной мероморфной 1-формы называется канонический делитель (обычно обозначается ${ displaystyle K}$). Любые две мероморфные 1-формы дадут линейно эквивалентные дивизоры, так что канонический дивизор определяется однозначно с точностью до линейной эквивалентности (отсюда и «канонический» дивизор).

Символ ${ Displaystyle deg (D)}$ обозначает степень (иногда также называемый индексом) делителя ${ displaystyle D}$, т.е. сумма коэффициентов, входящих в ${ displaystyle D}$. Можно показать, что дивизор глобальной мероморфной функции всегда имеет степень 0, поэтому степень дивизора зависит только от его класса линейной эквивалентности.

Номер ${ Displaystyle ell (D)}$ количество, представляющее основной интерес: измерение (над ${ Displaystyle mathbb {C}}$) векторного пространства мероморфных функций ${ displaystyle h}$ на поверхности, так что все коэффициенты ${ displaystyle (h) + D}$ неотрицательны. Интуитивно мы можем думать об этом как о всех мероморфных функциях, полюса которых в каждой точке не хуже, чем соответствующий коэффициент в ${ displaystyle D}$; если коэффициент в ${ displaystyle D}$ в ${ displaystyle z}$ отрицательно, то потребуем, чтобы ${ displaystyle h}$ имеет ноль не меньше этого множественность в ${ displaystyle z}$ - если коэффициент в ${ displaystyle D}$ положительный, ${ displaystyle h}$ может иметь полюс не более того порядка. Векторные пространства для линейно эквивалентных дивизоров естественно изоморфны посредством умножения на глобальную мероморфную функцию (которая хорошо определена с точностью до скаляра).

Формулировка теоремы

Теорема Римана – Роха для компактной римановой поверхности рода ${ displaystyle g}$ с каноническим делителем ${ displaystyle K}$ состояния

${ Displaystyle ell (D) - ell (K-D) = deg (D) -g + 1.}$

Обычно число ${ Displaystyle ell (D)}$ представляет интерес, в то время как ${ Displaystyle ell (К-Д)}$ рассматривается как корректирующий термин (также называемый индексом специальности^[2][3]), поэтому теорему можно грубо перефразировать, сказав

измерение − исправление = степень − род + 1.

Поскольку это размерность векторного пространства, поправочный член ${ Displaystyle ell (К-Д)}$ всегда неотрицательно, так что

${ Displaystyle ell (D) geq deg (D) -g + 1.}$

Это называется Неравенство Римана. Партия Роха утверждения - это описание возможного различия сторон неравенства. На общей римановой поверхности рода ${ displaystyle g}$, ${ displaystyle K}$ имеет степень ${ displaystyle 2g-2}$, независимо от мероморфной формы, выбранной для представления дивизора. Это следует из постановки ${ displaystyle D = K}$ в теореме. В частности, пока ${ displaystyle D}$ имеет степень не ниже ${ displaystyle 2g-1}$, поправочный член равен 0, так что

${ Displaystyle ell (D) = deg (D) -g + 1.}$

Теперь теорема будет проиллюстрирована для поверхностей малого рода. Есть также ряд других тесно связанных теорем: эквивалентная формулировка этой теоремы с использованием линейные пакеты и обобщение теоремы на алгебраические кривые.

Примеры

Теорема будет проиллюстрирована выбором точки ${ displaystyle P}$ на рассматриваемой поверхности и относительно последовательности чисел

${ Displaystyle ell (п CDOT P), п GEQ 0}$

т.е. размерность пространства функций, голоморфных всюду, кроме точки ${ displaystyle P}$ где функция может иметь полюс порядка не более ${ displaystyle n}$. За ${ displaystyle n = 0}$, функции должны быть весь, т.е. голоморфный на всей поверхности ${ displaystyle X}$. К Теорема Лиувилля, такая функция обязательно постоянна. Следовательно, ${ Displaystyle ell (0) = 1}$. В общем, последовательность ${ Displaystyle ell (п cdot P)}$ - возрастающая последовательность.

Род ноль

В Сфера Римана (также называемый сложная проективная линия) является односвязный а значит, его первые особые гомологии равны нулю. В частности, его род равен нулю. Сфера может быть покрыта двумя копиями ${ Displaystyle mathbb {C}}$, с карта перехода дается

${ displaystyle mathbb {C} ^ { times} ni z mapsto { frac {1} {z}} in mathbb {C} ^ { times}.}$

Следовательно, форма ${ displaystyle omega = dz}$ на одном экземпляре ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ продолжается до мероморфной формы на сфере Римана: он имеет двойной полюс на бесконечности, так как

${ displaystyle d left ({ frac {1} {z}} right) = - { frac {1} {z ^ {2}}} , dz.}$

Таким образом, его делитель ${ displaystyle K: = operatorname {div} ( omega) = - 2P}$ (куда ${ displaystyle P}$ бесконечно удаленная точка).

Следовательно, теорема говорит, что последовательность ${ Displaystyle ell (п cdot P)}$ читает

1, 2, 3, ... .

Эту последовательность также можно прочитать из теории частичные фракции. И наоборот, если эта последовательность начинается таким образом, то ${ displaystyle g}$ должно быть равно нулю.

Род один

Тор.

Следующий случай - это риманова поверхность рода ${ displaystyle g = 1}$, например тор ${ Displaystyle mathbb {C} / Lambda}$, куда ${ displaystyle Lambda}$ является двумерным решетка (группа, изоморфная ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$). Его род один: его первая особая группа гомологий свободно порождается двумя петлями, как показано на иллюстрации справа. Стандартная комплексная координата ${ displaystyle z}$ на ${ displaystyle C}$ дает одну форму ${ displaystyle omega = dz}$ на ${ displaystyle X}$ которое всюду голоморфно, т. е. вообще не имеет полюсов. Следовательно, ${ displaystyle K}$, делитель ${ displaystyle omega}$ равно нулю.

На этой поверхности эта последовательность

1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

и это характеризует случай ${ displaystyle g = 1}$. Действительно, для ${ displaystyle D = 0}$, ${ Displaystyle ell (К-D) = ell (0) = 1}$, как было сказано выше. За ${ Displaystyle D = п cdot P}$ с ${ displaystyle n> 0}$, степень ${ Displaystyle K-D}$ строго отрицательно, так что поправочный член равен 0. Последовательность измерений также может быть получена из теории эллиптические функции.

Род два и выше

За ${ displaystyle g = 2}$, указанная выше последовательность

1, 1, ?, 2, 3, ... .

Из этого видно, что? член степени 2 равен 1 или 2, в зависимости от пункта. Можно доказать, что в любой кривой рода 2 есть ровно шесть точек, последовательности которых равны 1, 1, 2, 2, ..., а остальные точки имеют общую последовательность 1, 1, 1, 2, ... В частности, кривая рода 2 является гиперэллиптическая кривая. За ${ displaystyle g> 2}$ всегда верно, что в большинстве точек последовательность начинается с ${ displaystyle g + 1}$ единиц и конечное число точек с другими последовательностями (см. Очки Вейерштрасса).

Римана – Роха для линейных пучков

Используя близкое соответствие между делителями и голоморфные линейные расслоения на римановой поверхности теорему можно сформулировать и другим, но эквивалентным образом: пусть L - голоморфное линейное расслоение на Икс. Позволять ${ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ обозначим пространство голоморфных сечений L. Это пространство будет конечномерным; его размер обозначается ${ displaystyle h ^ {0} (X, L)}$. Позволять K обозначить канонический пакет на Икс. Тогда теорема Римана – Роха утверждает, что

${ displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {0} (X, L ^ {- 1} otimes K) = deg (L) + 1-g.}$

Теорема предыдущего раздела - это частный случай, когда L это набор точек.

Теорема может быть применена, чтобы показать, что существуют грамм линейно независимые голоморфные сечения K, или же одноформный на Икс, следующее. Принимая L быть тривиальным пучком, ${ displaystyle h ^ {0} (X, L) = 1}$ так как единственные голоморфные функции на Икс являются константами. Степень L равен нулю, и ${ displaystyle L ^ {- 1}}$ - тривиальное расслоение. Таким образом,

${ displaystyle 1-h ^ {0} (X, K) = 1-g.}$

Следовательно, ${ displaystyle h ^ {0} (X, K) = g}$, доказывая, что есть грамм голоморфные одноформы.

Степень канонической связки

Поскольку каноническое расслоение ${ displaystyle K}$ имеет ${ displaystyle h ^ {0} (X, K) = g}$, применяя Римана-Роха к ${ Displaystyle L = K}$ дает

${ displaystyle h ^ {0} (X, K) -h ^ {0} (X, K ^ {- 1} otimes K) = deg (K) + 1-g}$

который можно переписать как

${ Displaystyle г-1 = град (К) + 1-г}$

следовательно, степень канонического расслоения равна ${ Displaystyle deg (К) = 2g-2}$.

Теорема Римана – Роха для алгебраических кривых.

Каждый пункт в приведенной выше формулировке теоремы Римана – Роха для дивизоров на римановых поверхностях имеет аналог в алгебраическая геометрия. Аналогом римановой поверхности является неособый алгебраическая кривая C над полем k. Различие в терминологии (кривая против поверхности) заключается в том, что размерность римановой поверхности как реальной многообразие два, но один как комплексное многообразие. Компактность римановой поверхности сопровождается условием, что алгебраическая кривая полный, что эквивалентно проективный. По общему полю k, нет хорошего понятия сингулярных (ко) гомологий. Так называемой геометрический род определяется как

${ Displaystyle г (C): = тусклый _ {k} Gamma (C, Omega _ {C} ^ {1})}$

т.е. как размерность пространства глобально определенных (алгебраических) одноформ (см. Кэлер дифференциал). Наконец, мероморфные функции на римановой поверхности локально представляются как доли голоморфных функций. Следовательно, они заменены на рациональные функции которые локально являются долями регулярные функции. Таким образом, написание ${ Displaystyle ell (D)}$ для измерения (более k) пространства рациональных функций на кривой, полюсы которой в каждой точке не хуже соответствующего коэффициента в D, выполняется та же формула, что и выше:

${ Displaystyle ell (D) - ell (K-D) = deg (D) -g + 1.}$

куда C является проективной неособой алгебраической кривой над алгебраически замкнутое поле k. Фактически, та же самая формула верна для проективных кривых над любым полем, за исключением того, что степень дивизора должна учитывать множественность исходящие от возможных расширений базового поля и поля остатков точек, поддерживающих делитель.^[4] Наконец, для правильной кривой над Артинианское кольцо, эйлерова характеристика линейного расслоения, связанного с дивизором, задается степенью дивизора (определенным соответствующим образом) плюс эйлерова характеристика структурного пучка ${ displaystyle { mathcal {O}}}$.^[5]

Предположение о гладкости в теореме также можно ослабить: для (проективной) кривой над алгебраически замкнутым полем, все локальные кольца которой являются Кольца Горенштейна, то же утверждение, что и выше, выполняется при условии, что геометрический род, определенный выше, заменен на арифметический род грамм_а, определяется как

${ displaystyle g_ {a}: = dim _ {k} H ^ {1} (C, { mathcal {O}} _ {C}).}$^[6]

(Для гладких кривых геометрический род согласуется с арифметическим.) Теорема также была распространена на общие особые кривые (и многомерные многообразия).^[7]

Приложения

Полином Гильберта

Одним из важных следствий Римана-Роха является то, что он дает формулу для вычисления Полином Гильберта линейных пучков на кривой. Если линейный пакет ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ обилен, то многочлен Гильберта даст первую степень ${ Displaystyle { mathcal {L}} ^ { otimes п}}$ дающее вложение в проективное пространство. Например, каноническая связка ${ displaystyle omega _ {C}}$ имеет степень ${ displaystyle 2g-2}$, что дает обильное линейное расслоение для рода ${ displaystyle g geq 2}$^[8]. Если мы установим ${ displaystyle omega _ {C} (n) = omega _ {C} ^ { otimes n}}$ то формула Римана-Роха имеет вид

${ displaystyle { begin {align} chi ( omega _ {C} (n)) & = deg ( omega _ {C} ^ { otimes n}) - g + 1 & = n ( 2g-2) -g + 1 & = 2ng-2n-g + 1 & = (2n-1) (g-1) end {align}}}$

Присвоение степени ${ displaystyle 1}$ Многочлен Гильберта от ${ displaystyle omega _ {C}}$

${ Displaystyle Н _ { omega _ {C}} (т) = 2 (г-1) т-г + 1}$

Потому что триканоническая связка ${ displaystyle omega _ {C} ^ { otimes 3}}$ используется для вложения кривой, многочлен Гильберта

${ Displaystyle H_ {C} (t) = H _ { omega _ {C} ^ { otimes 3}} (t)}$

обычно учитывается при построении Схема Гильберта кривых (и модули алгебраических кривых). Этот многочлен

${ Displaystyle { begin {align} H_ {C} (t) & = (6t-1) (g-1) & = 6 (g-1) t + (1-g) end {align}} }$

и называется Многочлен Гильберта кривой рода g.

Плюриканоническое вложение

При дальнейшем анализе этого уравнения эйлерова характеристика имеет вид

${ displaystyle { begin {align} chi ( omega _ {C} ^ { otimes n}) & = h ^ {0} left (C, omega _ {C} ^ { otimes n} right) -h ^ {0} left (C, omega _ {C} otimes left ( omega _ {C} ^ { otimes n} right) ^ { vee} right) & = h ^ {0} left (C, omega _ {C} ^ { otimes n} right) -h ^ {0} left (C, left ( omega _ {C} ^ { otimes (n-1)} right) ^ { vee} right) end {align}}}$

С ${ displaystyle deg ( omega _ {C} ^ { otimes n}) = n (2g-2)}$

${ displaystyle h ^ {0} left (C, left ( omega _ {C} ^ { otimes (n-1)} right) ^ { vee} right) = 0}$

за ${ Displaystyle п geq 3}$, поскольку его степень отрицательна для всех ${ displaystyle g geq 2}$, подразумевая, что у него нет глобальных секций, есть вложение в некоторое проективное пространство из глобальных секций ${ displaystyle omega _ {C} ^ { otimes n}}$. Особенно, ${ displaystyle omega _ {C} ^ { otimes 3}}$ дает вложение в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {N} cong mathbb {P} (H ^ {0} (C, omega _ {C} ^ { otimes 3}))}$ куда ${ Displaystyle N = 5g-5-1 = 5g-6}$ поскольку ${ displaystyle h ^ {0} ( omega _ {C} ^ { otimes 3}) = 6g-6-g + 1}$. Это полезно при построении Модули алгебраических кривых потому что его можно использовать как проективное пространство для построения Схема гильберта с полиномом Гильберта ${ Displaystyle H_ {C} (т)}$^[9].

Род плоских кривых с особенностями

Неприводимая плоская алгебраическая кривая степени d имеет (d − 1)(d − 2)/2 − грамм особенности при правильном подсчете. Отсюда следует, что если кривая имеет (d − 1)(d - 2) / 2 различных особенности, это рациональная кривая и, таким образом, допускает рациональную параметризацию.

Формула Римана-Гурвица

В Формула Римана – Гурвица относительно (разветвленных) отображений между римановыми поверхностями или алгебраическими кривыми является следствием теоремы Римана – Роха.

Теорема Клиффорда о специальных дивизорах

Теорема Клиффорда о специальных дивизорах также является следствием теоремы Римана – Роха. Он утверждает, что для специального дивизора (т. Е. Такого, что ${ Displaystyle ell (К-Д)> 0}$) удовлетворение ${ displaystyle ell (D)> 0,}$ справедливо следующее неравенство:^[10]

${ displaystyle ell (D) leq { frac { deg D} {2}} + 1.}$

Доказательство

Утверждение для алгебраических кривых можно доказать, используя Двойственность Серра. Целое число ${ Displaystyle ell (D)}$ - размерность пространства глобальных сечений линейный пакет ${ Displaystyle { mathcal {L}} (D)}$ связано с D (ср. Делитель Картье). С точки зрения когомологии пучков, поэтому мы имеем ${ displaystyle ell (D) = mathrm {dim} H ^ {0} (X, { mathcal {L}} (D))}$, и аналогично ${ displaystyle ell ({ mathcal {K}} _ {X} -D) = dim H ^ {0} (X, omega _ {X} otimes { mathcal {L}} (D) ^ { vee})}$. Но двойственность Серра для неособых проективных многообразий в частном случае кривой утверждает, что ${ displaystyle H ^ {0} (X, omega _ {X} otimes { mathcal {L}} (D) ^ { vee})}$ изоморфна двойственному ${ Displaystyle Н ^ {1} (Х, { mathcal {L}} (D)) ^ { vee}}$. Таким образом, левая часть равна Эйлерова характеристика делителя D. Когда D = 0, находим эйлерову характеристику структурного пучка ${ displaystyle 1-g}$ по определению. Чтобы доказать теорему для общего дивизора, можно продолжить, добавляя точки одну за другой к дивизору и гарантируя, что эйлерова характеристика преобразуется в соответствии с правой частью.

Теорема для компактных римановых поверхностей может быть получена из алгебраической версии, используя Теорема Чоу и ГАГА принцип: фактически, каждая компактная риманова поверхность определяется алгебраическими уравнениями в некотором комплексном проективном пространстве. (Теорема Чоу гласит, что любое замкнутое аналитическое подмногообразие проективного пространства определяется алгебраическими уравнениями, а принцип GAGA утверждает, что когомологии пучков алгебраического многообразия совпадают с когомологиями пучков аналитического многообразия, определяемого теми же уравнениями).

Обобщения теоремы Римана – Роха.

В Теорема Римана – Роха для кривых. было доказано для римановых поверхностей Риманом и Рохом в 1850-х годах, а для алгебраических кривых - Фридрих Карл Шмидт в 1931 году, когда он работал над идеальные поля из конечная характеристика. Как заявил Питер Рокетт,^[11]

Первым главным достижением Ф. К. Шмидта является открытие того, что классическая теорема Римана – Роха о компактных римановых поверхностях может быть перенесена на функциональные поля с конечным базовым полем. Фактически, его доказательство теоремы Римана – Роха работает для произвольных совершенных базовых полей, не обязательно конечных.

Это фундаментально в том смысле, что последующая теория кривых пытается уточнить информацию, которую она дает (например, в Теория Брилла – Нётер).

Существуют версии в более высоких измерениях (для соответствующего понятия делитель, или же линейный пакет). Их общая формулировка зависит от разбиения теоремы на две части. Тот, который теперь будет называться Двойственность Серра, интерпретирует ${ Displaystyle ell (К-Д)}$ термин как измерение первого когомологии пучков группа; с ${ Displaystyle ell (D)}$ размерности нулевой группы когомологий или пространства сечений, левая часть теоремы превращается в Эйлерова характеристика, а в правой части - вычисление его как степень с поправкой на топологию римановой поверхности.

В алгебраическая геометрия размерности два такая формула была найдена геометры итальянской школы; а Теорема Римана – Роха для поверхностей. доказано (существует несколько версий, первая из которых, возможно, связана с Макс Нётер).

An п-мерное обобщение, Теорема Хирцебруха – Римана – Роха., был найден и доказан Фридрих Хирцебрух, как приложение характеристические классы в алгебраическая топология; на него сильно повлияла работа Кунихико Кодайра. Примерно в то же время Жан-Пьер Серр давал общую форму дуальности Серра, как мы ее знаем сейчас.

Александр Гротендик оказалась далеко идущим обобщением в 1957 году, теперь известное как Теорема Гротендика – Римана – Роха.. Его работа переосмысливает Римана – Роха не как теорему о многообразии, а как о морфизме между двумя многообразиями. Детали доказательств были опубликованы Арман Борель и Жан-Пьер Серр в 1958 г.^[12] Позже Гротендик и его сотрудники упростили и обобщили доказательство.^[13]

Наконец, общая версия была найдена в алгебраическая топология, тоже. По сути, все эти разработки проводились в период с 1950 по 1960 год. Теорема Атьи – Зингера об индексе открыл еще один путь к обобщению. Следовательно, эйлерова характеристика связный пучок разумно вычислим. Только для одного слагаемого в переменной сумме дополнительные аргументы, такие как теоремы об исчезновении должны быть использованы.

Смотрите также

• Теорема Гротендика – Римана – Роха.
• Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.
• Формула Римана – Роха Кавасаки
• Полином Гильберта
• Модули алгебраических кривых

Примечания

Рекомендации

• Борель, Арман и Серр, Жан-Пьер (1958), Теория Римана-Роха, д'Апрес Гротендик, Bull.S.M.F. 86 (1958), 97–136.
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, Дои:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, МИСТЕР 1288523
• Гротендик, Александр и др. (1966/67), Теория пересечений и Теория Римана – Роха (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.
• Фултон, Уильям (1974). Алгебраические кривые (PDF). Серия лекций по математике. W.A. Benjamin. ISBN 0-8053-3080-1.
• Йост, Юрген (2006). Компактные римановы поверхности. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-33065-3. См. Стр. 208–219 для доказательства в сложной ситуации. Обратите внимание, что Йост использует несколько другие обозначения.
• Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. МИСТЕР 0463157. OCLC 13348052., содержит утверждение для кривых над алгебраически замкнутым полем. См. Раздел IV.1.
• «Теорема Римана – Роха», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Хирцебрух, Фридрих (1995). Топологические методы в алгебраической геометрии. Классика по математике. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58663-0. МИСТЕР 1335917.. Хороший общий современный справочник.
• Сигеру Мукаи (2003). Введение в инварианты и модули. Кембриджские исследования по высшей математике. 81. Уильям Оксбери (пер.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-80906-1.
• Векторные расслоения на компактных римановых поверхностях, М. С. Нарасимхан, стр. 5–6.
• Риман, Бернхард (1857). "Theorie der Abel'schen Functionen". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1857 (54): 115–155. Дои:10.1515 / crll.1857.54.115. HDL:2027 / coo.31924060183864. S2CID 16593204.
• Рох, Густав (1865). "Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1865 (64): 372–376. Дои:10.1515 / crll.1865.64.372. S2CID 120178388.
• Шмидт, Фридрих Карл (1931), "Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik" п", Mathematische Zeitschrift, 33: 1–32, Дои:10.1007 / BF01174341, Zbl 0001.05401, заархивировано из оригинал на 2017-12-22, получено 2020-05-16
• Стихтенот, Хеннинг (1993). Поля и коды алгебраических функций. Springer-Verlag. ISBN 3-540-56489-6.
• Миша Капович, Теорема Римана – Роха. (конспект лекции) элементарное введение
• Дж. Грей, В Теорема Римана – Роха и геометрия, 1854–1914 гг..
• Существует ли диаграмма Римана – Роха для гладких проективных кривых над произвольным полем? на MathOverflow