WikiDer > Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий - Википедия

Gromovs systolic inequality for essential manifolds - Wikipedia

в математический поле Риманова геометрия, М. Громовс систолическое неравенство ограничивает длину кратчайшего несжимаемый петля на Риманово многообразие по объему коллектора. Систолическое неравенство Громова было доказано в 1983 году;[1] его можно рассматривать как обобщение, хотя и неоптимальное, Неравенство тора Лёвнера и Неравенство Пу для вещественной проективной плоскости.

Технически пусть M быть существенный Риманово многообразие размерности п; обозначить через sysπ1(M) гомотопия 1-систола M, то есть наименьшая длина несжимаемой петли на M. Тогда неравенство Громова принимает вид

куда Cп универсальная константа, зависящая только от размерности M.

Основные коллекторы

Замкнутое многообразие называется существенный если это фундаментальный класс определяет ненулевой элемент в гомология своего фундаментальная группа, точнее, в гомологиях соответствующих Пространство Эйленберга – Маклейна. Здесь фундаментальный класс берется в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и в коэффициентах по модулю 2 в противном случае.

Примеры существенных многообразий включают асферические коллекторы, реальные проективные пространства, и линзы.

Доказательства неравенства Громова.

Оригинальное доказательство Громова 1983 года занимает около 35 страниц. Он опирается на ряд методов и неравенств глобальной римановой геометрии. Отправной точкой доказательства является вложение X в банахово пространство борелевских функций на X, снабженное sup нормой. Вложение определяется отображением точки п из Икс, к реальной функции на Икс задано расстоянием от точки п. Доказательство использует Coarea неравенство, то изопериметрическое неравенство, неравенство конуса и теорема деформации Герберт Федерер.

Заполнение инвариантов и недавние работы

Одна из ключевых идей доказательства - введение инвариантов заполнения, а именно радиус заполнения и объем заполнения Икс. А именно, Громов доказал точное неравенство, связывающее систолу и радиус заполнения:

справедливо для всех существенных многообразий Икс; а также неравенство

действительно для всех замкнутых коллекторов Икс.

Это было показано Бруннбауэр (2008) что инварианты заполнения, в отличие от систолических инвариантов, не зависят от топологии многообразия в подходящем смысле.

Гут (2011) и Амбросио и Кац (2011) разработал подходы к доказательству систолического неравенства Громова для существенных многообразий.

Неравенства для поверхностей и многогранников.

Более сильные результаты доступны для поверхностей, где асимптотика, когда род стремится к бесконечности, к настоящему времени хорошо изучена, см. систолы поверхностей. Имеется равномерное неравенство для произвольных 2-комплексов с несвободными фундаментальными группами, доказательство которого опирается на Теорема Грушко о разложении.

Примечания

  1. ^ видеть Громов (1983)

Смотрите также

Рекомендации

  • Амбросио, Луиджи; Кац, Михаил (2011), «Плоские токи по модулю p в метрических пространствах и неравенства радиусов заполнения», Комментарии Mathematici Helvetici, 86 (3): 557–592, arXiv:1004.1374, Дои:10.4171 / CMH / 234, МИСТЕР 2803853.
  • Брунбауэр, М. (2008), «Неравенства заполнения не зависят от топологии», J. Reine Angew. Математика., 624: 217–231
  • Громов, М. (1983), "Заполняющие римановы многообразия", J. Diff. Геом., 18: 1–147, МИСТЕР 0697984, Zbl 0515.53037, PE euclid.jdg / 1214509283
  • Гут, Ларри (2011), «Объемы шаров в больших римановых многообразиях», Анналы математики, 173 (1): 51–76, arXiv:математика / 0610212, Дои:10.4007 / летопись.2011.173.1.2, МИСТЕР 2753599
  • Кац, Михаил Г. (2007), Систолическая геометрия и топология, Математические обзоры и монографии, 137, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, п. 19, ISBN 978-0-8218-4177-8