WikiDer > Неравенство гноя - Википедия

Анимация Римская поверхность представляющий RP² в р³

В дифференциальная геометрия, Неравенство Пу, доказано Пао Мин Пу, связывает площадь произвольного Риманова поверхность гомеоморфен реальная проективная плоскость с длина замкнутых кривых, содержащихся в нем.

Заявление

Студент Чарльз ЛёвнерПу доказал в своей диссертации 1950 г. (Пу 1952 г.), что каждая риманова поверхность ${ displaystyle M}$ гомеоморфен реальная проективная плоскость удовлетворяет неравенству

${ displaystyle operatorname {Area} (M) geq { frac {2} { pi}} operatorname {Systole} (M) ^ {2},}$

куда ${ displaystyle operatorname {Systole} (M)}$ это систола из ${ displaystyle M}$Равенство достигается именно тогда, когда метрика имеет постоянную Гауссова кривизна.

Другими словами, если все несжимаемые петли в ${ displaystyle M}$ иметь длину не менее ${ displaystyle L}$, тогда ${ displaystyle operatorname {Area} (M) geq { frac {2} { pi}} L ^ {2},}$ и равенство выполняется тогда и только тогда, когда ${ displaystyle M}$ получается из евклидовой сферы радиуса ${ displaystyle r = L / pi}$ идентифицируя каждую точку с ее противоположностью.

В статье Пу также впервые говорится Неравенство Лёвнера, аналогичный результат для римановых метрик на тор.

Доказательство

Оригинальное доказательство Пу опирается на теорема униформизации и использует аргумент усреднения следующим образом.

Путем униформизации риманова поверхность ${ displaystyle (M, g)}$ является конформно диффеоморфный на круглую проективную плоскость. Это означает, что мы можем считать, что поверхность ${ displaystyle M}$ получается из евклидовой единичной сферы ${ Displaystyle S ^ {2}}$ путем определения антиподальных точек и элемента римановой длины в каждой точке ${ displaystyle x}$ является

${ displaystyle mathrm {dLength} = f (x) mathrm {dLength} _ { text {Euclidean}},}$

куда ${ displaystyle mathrm {dLength} _ { text {евклидово}}}$ - элемент евклидовой длины, а функция ${ displaystyle f: S ^ {2} to (0, + infty)}$, называется конформный фактор, удовлетворяет ${ Displaystyle f (-x) = f (x)}$.

Точнее универсальный чехол из ${ displaystyle M}$ является ${ Displaystyle S ^ {2}}$, петля ${ displaystyle gamma substeq M}$ несокращаемо тогда и только тогда, когда его подъем ${ Displaystyle { widetilde { gamma}} substeq S ^ {2}}$ идет от одной точки к противоположной, и длина каждой кривой ${ displaystyle gamma}$ является

${ displaystyle operatorname {Length} ( gamma) = int _ { widetilde { gamma}} f , mathrm {dLength} _ { text {Euclidean}}.}$

При условии ограничения, что каждая из этих длин не менее ${ displaystyle L}$, мы хотим найти ${ displaystyle f}$ что сводит к минимуму

${ displaystyle operatorname {Area} (M, g) = int _ {S _ {+} ^ {2}} f (x) ^ {2} , mathrm {dArea} _ { text {Euclidean}} (Икс),}$

куда ${ displaystyle S _ {+} ^ {2}}$ это верхняя половина сферы.

Ключевое наблюдение заключается в том, что если мы усредним несколько разных ${ displaystyle f_ {i}}$ которые удовлетворяют ограничению длины и имеют одинаковую площадь ${ displaystyle A}$, то мы получаем лучший конформный множитель ${ displaystyle f _ { text {new}} = { frac {1} {n}} sum _ {0 leq i$, который также удовлетворяет ограничению длины и имеет

${ displaystyle operatorname {Area} (M, g _ { text {new}}) = int _ {S _ {+} ^ {2}} left ({ frac {1} {n}} sum _ {i} f_ {i} (x) right) ^ {2} mathrm {dArea} _ { text {Euclidean}} (x)}$

${ displaystyle qquad qquad leq { frac {1} {n}} sum _ {i} left ( int _ {S _ {+} ^ {2}} f_ {i} (x) ^ { 2} mathrm {dArea} _ { text {Euclidean}} (x) right) = A,}$

и неравенство строгое, если только функции ${ displaystyle f_ {i}}$ равны.

Способ улучшить любую непостоянную ${ displaystyle f}$ заключается в получении различных функций ${ displaystyle f_ {i}}$ из ${ displaystyle f}$ с помощью вращения сферы ${ displaystyle R_ {i} в SO ^ {3}}$, определяя ${ Displaystyle е_ {я} (х) = е (R_ {я} (х))}$. Если мы среднее по всем возможным оборотам, то получаем ${ displaystyle f _ { text {новый}}}$ что постоянно по всей сфере. Мы можем дополнительно уменьшить эту константу до минимального значения ${ displaystyle r = { frac {L} { pi}}}$ разрешено ограничением длины. Тогда мы получим единственную метрику, которая достигает минимальной площади ${ displaystyle 2 pi r ^ {2} = { frac {2} { pi}} L ^ {2}}$.

Переформулировка

В качестве альтернативы, каждая метрика на сфере ${ Displaystyle S ^ {2}}$ инвариантный относительно антиподального отображения допускает пару противоположных точек ${ displaystyle p, q in S ^ {2}}$ на римановом расстоянии ${ displaystyle d = d (p, q)}$ удовлетворение ${ displaystyle d ^ {2} leq { frac { pi} {4}} operatorname {area} (S ^ {2}).}$

Более подробное объяснение этой точки зрения можно найти на странице Введение в систолическую геометрию.

Гипотеза области заполнения

Альтернативная формулировка неравенства Пу состоит в следующем. Из всех возможных начинок Риманов круг длины ${ displaystyle 2 pi}$ по ${ displaystyle 2}$-мерный диск с сильно изометрическим свойством, круглый полушарие имеет наименьшую площадь.

Чтобы объяснить эту формулировку, мы начнем с наблюдения, что экваториальная окружность блока ${ displaystyle 2}$-сфера ${ Displaystyle S ^ {2} subset mathbb {R} ^ {3}}$ это Риманов круг ${ Displaystyle S ^ {1}}$ длины ${ displaystyle 2 pi}$. Точнее, функция риманова расстояния от ${ Displaystyle S ^ {1}}$ индуцируется окружающим римановым расстоянием на сфере. Обратите внимание, что это свойство не выполняется при стандартном вложении единичной окружности в евклидову плоскость. В самом деле, евклидово расстояние между парой противоположных точек окружности равно только ${ displaystyle 2}$, а в римановом круге это ${ displaystyle pi}$.

Считаем все пломбы ${ Displaystyle S ^ {1}}$ по ${ displaystyle 2}$-мерный диск такой, что метрика, индуцированная включением окружности в качестве границы диска, является римановой метрикой окружности длины ${ displaystyle 2 pi}$. Включение круга в качестве границы тогда называется сильно изометрическим вложением окружности.

Громов предполагаемый что круглое полушарие дает "лучший" способ заполнения круга, даже когда заполняющей поверхности разрешено иметь положительный род (Громов 1983).

Изопериметрическое неравенство

Неравенство Пу имеет любопытное сходство с классическим изопериметрическое неравенство

${ Displaystyle L ^ {2} geq 4 pi A}$

за Кривые Иордании в самолете, где ${ displaystyle L}$ - длина кривой, а ${ displaystyle A}$ это площадь области, которую он ограничивает. А именно, в обоих случаях 2-мерная величина (площадь) ограничена (квадратом) 1-мерной величины (длины). Однако неравенство идет в обратном направлении. Таким образом, неравенство Пу можно рассматривать как «противоположное» изопериметрическое неравенство.

Смотрите также

• Гипотеза области заполнения
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий
• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Неравенство тора Лёвнера
• Систолическая геометрия
• Систолы поверхностей

Рекомендации

• Громов, Михаил (1983). «Заполняющие римановы многообразия». J. Differential Geom. 18 (1): 1–147. Дои:10.4310 / jdg / 1214509283. МИСТЕР 0697984.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Громов, Михаил (1996). «Систолы и межсистолические неравенства». В Бессе, Артур Л. (ред.). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) [Материалы круглого стола по дифференциальной геометрии]. Séminaires et Congrès. 1. Париж: Soc. Математика. Франция. С. 291–362. ISBN 2-85629-047-7. МИСТЕР 1427752.
• Громов, Миша (1999) [1981]. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств. Успехи в математике. 152. С приложениями М. Каца, П. Пансу и С. Семмеса. Перевод с французского Шона Майкла Бейтса. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3898-9. МИСТЕР 1699320.
• Кац, Михаил Г. (2007). Систолическая геометрия и топология. Математические обзоры и монографии. 137. С приложением Дж. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / Surv / 137. ISBN 978-0-8218-4177-8. МИСТЕР 2292367.
• Пу, Пао Мин (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях». Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. Дои:10.2140 / pjm.1952.2.55. МИСТЕР 0048886.CS1 maint: ref = harv (связь)