WikiDer > Уравнение Гросса – Питаевского

Gross–Pitaevskii equation

В Уравнение Гросса – Питаевского (GPE, названный в честь Юджин П. Гросс[1] и Лев Петрович Питаевский[2]) описывает основное состояние квантовой системы идентичных бозоны с использованием Приближение Хартри – Фока и псевдопотенциал модель взаимодействия.

А Конденсат Бозе – Эйнштейна (BEC) - это газ бозоны которые находятся в том же квантовое состояние, и поэтому может быть описан тем же волновая функция. Свободная квантовая частица описывается одночастичной Уравнение Шредингера. Взаимодействие между частицами в реальном газе учитывается подходящим многочастичным уравнением Шредингера. В приближении Хартри – Фока полное волновая функция системы бозоны взяты как произведение одночастичных функций ,

куда координата -й бозон. Если среднее расстояние между частицами в газе больше, чем длина рассеяния (то есть в так называемом пределе разбавления), то истинный потенциал взаимодействия, который присутствует в этом уравнении, можно аппроксимировать величиной псевдопотенциал. При достаточно низкой температуре, когда длина волны де Бройля намного больше, чем пробег бозон-бозонного взаимодействия,[3] процесс рассеяния можно хорошо аппроксимировать рассеянием s-волны (т. е. в частичный волновой анализ, он же жесткий шар потенциал) срок только. В этом случае гамильтониан псевдопотенциальной модели системы можно записать как:

куда - масса бозона, - внешний потенциал, - длина рассеяния s-волны бозон-бозона, а - дельта-функция Дирака.

В вариационный метод показывает, что если одночастичная волновая функция удовлетворяет следующему уравнению Гросса – Питаевского:

полная волновая функция минимизирует математическое ожидание модельного гамильтониана при условии нормировки Следовательно, такая одночастичная волновая функция описывает основное состояние системы.

GPE - это модельное уравнение для одночастичного волновая функция в Конденсат Бозе – Эйнштейна. По форме он похож на Уравнение Гинзбурга – Ландау и иногда упоминается как "нелинейный Уравнение Шредингера".

Нелинейность уравнения Гросса – Питаевского происходит из взаимодействия между частицами: при установке константы взаимодействия в уравнении Гросса – Питаевского равной нулю (см. Следующий раздел): таким образом, одночастичное уравнение Шредингера описание частицы внутри захватывающего потенциала восстанавливается.

Форма уравнения

Уравнение имеет вид Уравнение Шредингера с добавлением термина взаимодействия. Константа связи пропорциональна длине рассеяния s-волны двух взаимодействующих бозонов:

,

куда сокращенный Постоянная Планка и - масса бозона. В плотность энергии является

куда - волновая функция или параметр порядка, а - внешний потенциал (например, ловушка гармоник). Не зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского для сохраняющегося числа частиц имеет вид

куда это химический потенциал. В химический потенциал находится из условия, что число частиц связано с волновая функция к

Из не зависящего от времени уравнения Гросса – Питаевского можно найти структуру конденсата Бозе – Эйнштейна в различных внешних потенциалах (например, в гармонической ловушке).

Нестационарное уравнение Гросса – Питаевского имеет вид

Из нестационарного уравнения Гросса – Питаевского можно посмотреть на динамику конденсата Бозе – Эйнштейна. Он используется для поиска коллективных режимов захваченного газа.

Решения

Поскольку уравнение Гросса – Питаевского является нелинейный уравнение в частных производных, трудно найти точные решения. В результате решения должны быть аппроксимированы множеством методов.

Точные решения

Бесплатная частица

Простейшим точным решением является раствор свободных частиц с ,

Это решение часто называют решением Хартри. Хотя он удовлетворяет уравнению Гросса – Питаевского, он оставляет зазор в энергетическом спектре из-за взаимодействия:

Согласно Теорема Гугенгольца – Пайнса,[4] у взаимодействующего бозе-газа нет энергетической щели (в случае отталкивающих взаимодействий).

Солитон

Одномерный солитон может образовываться в конденсате Бозе – Эйнштейна, и в зависимости от того, является ли взаимодействие притягивающим или отталкивающим, существует либо яркий, либо темный солитон. Оба солитона являются локальными возмущениями в конденсате с однородной фоновой плотностью.

Если БЭК отталкивающий, так что , то возможное решение уравнения Гросса – Питаевского:

,

куда - значение волновой функции конденсата при , и это длина когерентности (он же длина заживления,[3] Смотри ниже). Это решение представляет собой темный солитон, поскольку существует дефицит конденсата в пространстве ненулевой плотности. Темный солитон также является разновидностью топологический дефект, поскольку переключается между положительными и отрицательными значениями в начале координат, что соответствует сдвиг фазы.

За

где химический потенциал . Это решение представляет собой яркий солитон, поскольку в пространстве с нулевой плотностью имеется концентрация конденсата.

Длина заживления

Длину заживления можно понимать как масштаб длины, где кинетическая энергия бозона равна химическому потенциалу:[3]

Длина заживления дает кратчайшее расстояние, на котором может измениться волновая функция; Он должен быть намного меньше любого масштаба длины в решении одночастичной волновой функции. Длина заживления также определяет размер вихрей, которые могут образовываться в сверхтекучей жидкости; Это расстояние, на котором волновая функция восстанавливается от нуля в центре вихря до значения в толще сверхтекучей жидкости (отсюда и название «исцеляющая» длина).

Вариационные решения

В системах, где точное аналитическое решение может оказаться невозможным, можно сделать вариационное приближение. Основная идея - сделать вариационную анзац для волновой функции со свободными параметрами, подставьте ее в свободную энергию и минимизируйте энергию по отношению к свободным параметрам.

Численные решения

Несколько численных методов, например, пошаговый Крэнк – Николсон[5] и Фурье спектральный[6] методы, были использованы для решения GPE. Существуют также различные программы на Fortran и C для решения контактное взаимодействие[7][8] и дальнего действия диполярное взаимодействие.[9]

Приближение Томаса – Ферми

Если количество частиц в газе очень велико, межатомное взаимодействие становится большим, так что членом кинетической энергии можно пренебречь в уравнении Гросса – Питаевского. Это называется Приближение Томаса – Ферми.

В гармонической ловушке (где потенциальная энергия равна квадратичный относительно смещения от центра), это дает профиль плотности, обычно называемый профилем плотности "перевернутой параболы".[3]

Боголюбовское приближение

Боголюбовская обработка уравнения Гросса – Питаевского - это метод, который находит элементарные возбуждения конденсата Бозе – Эйнштейна. Для этого волновая функция конденсата аппроксимируется суммой равновесной волновой функции и небольшое возмущение ,

.

Затем эта форма вставляется в зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского и его комплексно сопряженное уравнение и линеаризуется до первого порядка по

Предполагая следующее для

находятся следующие связанные дифференциальные уравнения для и взяв части как независимые компоненты

Для однородной системы, т.е. для , можно получить из уравнения нулевого порядка. Тогда мы предполагаем и быть плоскими волнами импульса , что приводит к энергетическому спектру

Для больших , дисперсионное соотношение квадратично по как и следовало ожидать от обычных невзаимодействующих одночастичных возбуждений. Для малых , дисперсионное соотношение линейно

с скорость звука в конденсате, также известная как второй звук. Дело в том, что показывает, в соответствии с критерием Ландау, что конденсат является сверхтекучим, что означает, что если объект перемещается в конденсате со скоростью, меньшей s, это не будет энергетически выгодным для создания возбуждений, и объект будет двигаться без диссипации, что является характеристика сверхтекучий. Были проведены эксперименты, чтобы доказать эту сверхтекучесть конденсата, с использованием сильно сфокусированного лазера с синей расстройкой.[10] Такое же дисперсионное соотношение обнаруживается, когда конденсат описывается с помощью микроскопического подхода с использованием формализма второе квантование.

Сверхтекучая среда во вращающемся спиральном потенциале

Оптическая потенциальная яма может быть образован двумя встречно распространяющимися оптическими вихрями с длинами волн , полезная ширина и топологический заряд  :

куда .В цилиндрической системе координат потенциальная скважина имеет замечательный геометрия двойной спирали: [11]

В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью , зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского со спиральным потенциалом имеет следующий вид:[12]

куда - оператор углового момента. Решение для волновой функции конденсата представляет собой суперпозицию двух фазово-сопряженных вихрей материальной волны:

Макроскопически наблюдаемый импульс конденсата равен:

куда - количество атомов в конденсате. Это означает, что атомный ансамбль движется когерентно по ось с групповой скоростью, направление которой определяется знаками топологического заряда и угловая скорость :[13]

Угловой момент спирально захваченного конденсата равен нулю:[12]

Численное моделирование ансамбля холодных атомов в спиральном потенциале показало ограничение индивидуальных траекторий атомов внутри спиральной потенциальной ямы.[14]

Вихревая дипольная ловушка с топологическим зарядом нагружен ультрахолодным ансамблем.

Рекомендации

  1. ^ Э. П. Гросс (1961). «Структура квантованного вихря в бозонных системах» (Представленная рукопись). Il Nuovo Cimento. 20 (3): 454–457. Bibcode:1961NCim ... 20..454G. Дои:10.1007 / BF02731494.
  2. ^ Л. П. Питаевский (1961). «Вихревые линии в несовершенном бозе-газе». Сов. Phys. ЖЭТФ. 13 (2): 451–454.
  3. ^ а б c d Фут, К. Дж. (2005). Атомная физика. Издательство Оксфордского университета. С. 231–240. ISBN 978-0-19-850695-9.
  4. ^ Н. М. Гугенгольц; Д. Пайнс (1959). «Энергия основного состояния и спектр возбуждений системы взаимодействующих бозонов». Физический обзор. 116 (3): 489–506. Bibcode:1959PhRv..116..489H. Дои:10.1103 / PhysRev.116.489.
  5. ^ П. Муруганандам и С. К. Адхикари (2009). «Программы на Фортране для нестационарного уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке». Comput. Phys. Сообщество. 180 (3): 1888–1912. arXiv:0904.3131. Bibcode:2009КоФК.180.1888М. Дои:10.1016 / j.cpc.2009.04.015.
  6. ^ П. Муруганандам и С. К. Адхикари (2003). «Динамика бозе-эйнштейновской конденсации в трехмерном пространстве псевдоспектральным и конечно-разностным методами». J. Phys. B. 36 (12): 2501–2514. arXiv:cond-mat / 0210177. Bibcode:2003JPhB ... 36.2501M. Дои:10.1088/0953-4075/36/12/310.
  7. ^ Д. Вудрагович; и другие. (2012). "Программы C для нестационарного уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Сообщество. 183 (9): 2021–2025. arXiv:1206.1361. Bibcode:2012CoPhC.183.2021V. Дои:10.1016 / j.cpc.2012.03.022.
  8. ^ Л. Э. Янг-С .; и другие. (2016). "OpenMP Fortran и C программы для нестационарного уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Сообщество. 204 (9): 209–213. arXiv:1605.03958. Bibcode:2016CoPhC.204..209Y. Дои:10.1016 / j.cpc.2016.03.015.
  9. ^ Р. Кишор Кумар; и другие. (2015). "Программы Fortran и C для нестационарного дипольного уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Сообщество. 195 (2015): 117–128. arXiv:1506.03283. Bibcode:2015CoPhC.195..117K. Дои:10.1016 / j.cpc.2015.03.024.
  10. ^ С. Раман; М. Кёль; Р. Онофрио; Д. С. Дерфи; К. Э. Куклевич; З. Хаджибабич; В. Кеттерле (1999). «Доказательства критической скорости в конденсированном газе Бозе – Эйнштейна». Phys. Rev. Lett. 83 (13): 2502. arXiv:cond-mat / 9909109. Bibcode:1999ПхРвЛ..83.2502Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.83.2502.
  11. ^ А.Ю. Окулова (2008). «Угловой момент фотонов и ОВФ». J. Phys. Летучая мышь. Мол. Опт. Phys. 41 (10): 101001. arXiv:0801.2675. Bibcode:2008JPhB ... 41j1001O. Дои:10.1088/0953-4075/41/10/101001.
  12. ^ а б А.Ю. Окулова (2012). «Улавливание холодного вещества с помощью медленно вращающегося спирального потенциала». Phys. Lett. А. 376 (4): 650–655. arXiv:1005.4213. Bibcode:2012ФЛА..376..650О. Дои:10.1016 / j.physleta.2011.11.033.
  13. ^ А.Ю. Окулова (2013). «Сверхтекучий датчик вращения со спиральной лазерной ловушкой». J. Low Temp. Phys. 171 (3): 397–407. arXiv:1207.3537. Bibcode:2013JLTP..171..397O. Дои:10.1007 / s10909-012-0837-7.
  14. ^ А.Ал.Ршид1, А.Лирас, В.Э. Лембессис и О.М. Альдоссари (2016). «Направление атомов в спирально-оптических потенциальных структурах». J. Phys. Летучая мышь. Мол. Опт. Phys. 49 (12): 125002. Дои:10.1088/0953-4075/49/12/125002.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)

дальнейшее чтение

внешняя ссылка