WikiDer > Тауберова теорема Харди – Литтлвуда

Hardy–Littlewood tauberian theorem

В математический анализ, то Тауберова теорема Харди – Литтлвуда это тауберова теорема относящийся к асимптотика частичных сумм серии с асимптотикой своего Суммирование Абеля. В таком виде теорема утверждает, что если, как у ↓ 0, неотрицательная последовательность ап такова, что есть асимптотическая эквивалентность

то существует также асимптотическая эквивалентность

в качестве п → ∞. В интеграл формулировка теоремы аналогичным образом связывает асимптотику кумулятивная функция распределения функции с асимптотикой ее преобразования Лапласа.

Теорема была доказана в 1914 г. Г. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд.[1]:226 В 1930 г. Йован Карамата дал новое и гораздо более простое доказательство.[1]:226

Формулировка теоремы

Составление серии

Эта формулировка из Титчмарша.[1]:226 Предполагать ап ≥ 0 для всех п, и, как Икс ↑ 1 имеем

Тогда как п переходит в ∞, мы имеем

Теорема иногда цитируется в эквивалентных формах, где вместо требования ап ≥ 0, потребуем ап = O (1), либо требуется ап ≥ −K для некоторой постоянной K.[2]:155 Иногда теорему цитируют в другой эквивалентной формулировке (заменой переменной Икс = 1/еу ).[2]:155 Если, как у ↓ 0,

тогда

Интегральная формулировка

Следующая более общая формулировка принадлежит Феллеру.[3]:445 Рассмотрим функцию с действительным знаком F : [0,∞) → р из ограниченная вариация.[4] В Преобразование Лапласа – Стилтьеса из F определяется Интеграл Стилтьеса

Теорема связывает асимптотику ω с асимптотиками F следующим образом. Если ρ - неотрицательное действительное число, то следующие утверждения эквивалентны

Здесь Γ обозначает Гамма-функция. Теорема для рядов получается как частный случай, если р = 1 и F(т) как кусочно-постоянная функция со значением между т=п и т=п+1.

Возможно небольшое улучшение. Согласно определению медленно меняющаяся функция, L(Икс) медленно меняется на бесконечности тогда и только тогда, когда

за каждый положительный т. Позволять L - функция, медленно меняющаяся на бесконечности, а ρ - неотрицательное действительное число. Тогда следующие утверждения эквивалентны

Доказательство Караматы

Карамата (1930) нашел краткое доказательство теоремы, рассматривая функции грамм такой, что

Несложный расчет показывает, что все мономы грамм(Икс)=Иксk обладают этим свойством, и, следовательно, все многочлены грамм. Это может быть расширено до функции грамм с простыми (ступенчатыми) разрывами путём аппроксимации полиномами сверху и снизу (с помощью Аппроксимационная теорема Вейерштрасса и немного лишней подделки) и используя тот факт, что коэффициенты ап положительные. В частности, функция, заданная грамм(т)=1/т если 1 /е<т<1 и 0 в противном случае обладает этим свойством. Но тогда для Икс=е−1/N сумма ΣапИкспграмм(Иксп) является а0+...+аN, а интеграл грамм равен 1, откуда немедленно следует теорема Харди – Литтлвуда.

Примеры

Неположительные коэффициенты

Теорема может быть неверной без условия неотрицательности коэффициентов. Например, функция

асимптотична 1/4 (1–Икс) в качестве Икс стремится к 1, но частичные суммы его коэффициентов равны 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4 ... и не являются асимптотическими ни для одной линейной функции.

Расширение Литтлвуда теоремы Таубера

В 1911 г. Littlewood доказал продолжение Тауберобратное Теорема Абеля. Литтлвуд показал следующее: если ап = O (1 /п), и, как Икс ↑ 1 имеем

тогда

Исторически это появилось до тауберова теоремы Харди – Литтлвуда, но может быть доказано простым ее применением.[1]:233–235

Теорема о простых числах

В 1915 году Харди и Литтлвуд разработали доказательство того, что теорема о простых числах на основе их тауберова теоремы; они доказали

где Λ - функция фон Мангольдта, а затем заключить

эквивалентная форма теоремы о простых числах.[5]:34–35[6]:302–307Литтлвуд разработал более простое доказательство, все еще основанное на этой тауберовской теореме, в 1971 году.[6]:307–309

Примечания

  1. ^ а б c d Титчмарш, Э. (1939). Теория функций (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853349-7.
  2. ^ а б Харди, Г. Х. (1991) [1949]. Дивергентная серия. Провиденс, Род-Айленд: AMS Челси. ISBN 0-8284-0334-1.
  3. ^ Феллер, Уильям (1971). Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Vol. II. Второе издание. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. МИСТЕР 0270403.
  4. ^ Ограниченная вариация требуется только локально: на каждом ограниченном подынтервале в [0, ∞). Однако тогда требуются более сложные дополнительные предположения о сходимости преобразования Лапласа – Стилтьеса. Видеть Шубин, М.А. (1987). Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. Ряды Спрингера по советской математике. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-13621-7. МИСТЕР 0883081.
  5. ^ Харди, Г. Х. (1999) [1940]. Рамануджан: Двенадцать лекций по предметам, предложенным его жизнью и работой. Провиденс: AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-2023-0.
  6. ^ а б Наркевич, Владислав (2000). Развитие теории простых чисел. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-66289-8.

внешняя ссылка