WikiDer > Медленно меняющаяся функция

Slowly varying function

В реальный анализ, филиал математика, а медленно меняющаяся функция это функция действительной переменной чье поведение в бесконечность в некотором смысле похоже на поведение функции, сходящейся на бесконечности. Аналогично регулярно меняющаяся функция является функцией действительной переменной, поведение которой при бесконечность похоже на поведение сила закона функция (как многочлен) около бесконечности. Оба эти класса функций были введены Йован Карамата,^[1]^[2] и нашли несколько важных приложений, например, в теория вероятности.

Основные определения

Определение 1. Измеримая функция $L : (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ называется медленно меняющийся (на бесконечности), если для всех $а > 0$ ,

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {L (ax)} {L (x)}} = 1.}

Определение 2. Функция $L : (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ для которого предел

{ displaystyle g (a) = lim _ {x to infty} { frac {L (ax)} {L (x)}}}

конечно, но ненулевое для любого $а > 0$ , называется регулярно меняющаяся функция.

Эти определения обусловлены Йован Карамата.^[1]^[2]

Примечание. В правильно меняющемся случае сумма двух медленно меняющихся функций снова является медленно меняющейся функцией.

Основные свойства

Регулярно меняющиеся функции обладают некоторыми важными свойствами:^[1] неполный их список приведен ниже. Более подробный анализ свойств, характеризующих регулярную изменчивость, представлен в монографии Бингхэм, Голди и Тюгелс (1987).

Равномерность предельного поведения

Теорема 1.. Предел в определения 1 и 2 является униформа если $а$ ограничивается компактным интервал.

Характеризационная теорема Караматы

Теорема 2.. Каждая регулярно меняющаяся функция $ж : (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ имеет форму

{ Displaystyle е (х) = х ^ { бета} L (х)}

куда

$β$ является действительным числом, т.е. $β \in р$
$L$ - медленно меняющаяся функция.

Примечание. Отсюда следует, что функция $грамм (а)$ в определение 2 обязательно должен иметь следующий вид

{ Displaystyle г (а) = а ^ { rho}}

где действительное число $ρ$ называется индекс регулярной вариации.

Теорема Караматы о представлении

Теорема 3.. Функция $L$ медленно меняется тогда и только тогда, когда существует $B > 0$ такой, что для всех $Икс \geq B$ функцию можно записать в виде

{ Displaystyle L (x) = ехр влево ( eta (x) + int _ {B} ^ {x} { frac { varepsilon (t)} {t}} , dt right)}

куда

$η (Икс)$ это ограниченный измеримая функция действительной переменной, сходящейся к конечному числу как $Икс$ уходит в бесконечность
$ε (Икс)$ это ограниченный измеримая функция действительной переменной, сходящейся к нулю при $Икс$ уходит в бесконечность.

Примеры

Если $L$ имеет предел

{ Displaystyle lim _ {х к infty} L (х) = б в (0, infty),}

тогда

L

- медленно меняющаяся функция.

Для любого $β \in р$ , функция $L (Икс) = журнал β Икс$ медленно меняется.
Функция $L (Икс) = Икс$ не меняется медленно, и $L (Икс) = Икс β$ для любого реального $β \neq 0$ . Однако эти функции регулярно меняются.

Смотрите также

Аналитическая теория чисел
Тауберова теорема Харди – Литтлвуда и его лечение Караматой

Примечания

^ ^а ^б ^c Видеть (Галамбос и Сенета 1973)
^ ^а ^б Видеть (Bingham, Goldie & Teugels, 1987 г.).

Navigation