WikiDer > Соотношение Хассе-Давенпорта

В Отношения Хассе-Давенпорта, представлен Давенпорт и Hasse (1935), два связанных тождества для Суммы Гаусса, один назвал Подъемное соотношение Хассе-Давенпорта, а другой назвал Связь продукции Hasse – Davenport. Отношение подъема Хассе – Давенпорта является равенством в теория чисел связывающие суммы Гаусса по разным полям. Вейль (1949) использовал его для вычисления дзета-функции Гиперповерхность Ферма через конечное поле, что мотивировало Гипотезы Вейля.

Суммы Гаусса являются аналогами гамма-функция над конечными полями, а соотношение произведения Хассе – Дэвенпорта является аналогом формулы умножения Гаусса

${displaystyle Gamma (z); Gamma left (z + {frac {1} {k}} ight)); Gamma left (z + {frac {2} {k}} ight) cdots Gamma left (z + {frac {k-1}) {k}} ight) = (2pi) ^ {frac {k-1} {2}}; k ^ {1/2-kz}; Гамма (kz).,!}$

Фактически соотношение произведения Хассе – Дэвенпорта следует из аналогичной формулы умножения для п-адические гамма-функции вместе с Формула Гросса – Коблица из Гросс и Коблиц (1979).

Подъемное соотношение Хассе-Давенпорта

Позволять F конечное поле с q элементы и F_s поле такое, что [F_s:F] = s, то есть, s это измерение из векторное пространство F_s над F.

Позволять ${displaystyle alpha}$ быть элементом ${displaystyle F_ {s}}$.

Позволять ${displaystyle chi}$ быть мультипликативный персонаж из F к комплексным числам.

Позволять ${displaystyle N_ {F_ {s} / F} (альфа)}$ быть нормой от ${displaystyle F_ {s}}$ к ${displaystyle F}$ определяется

${displaystyle N_ {F_ {s} / F} (alpha): = alpha cdot alpha ^ {q} cdots alpha ^ {q ^ {s-1}}.,}$

Позволять ${displaystyle chi '}$ быть мультипликативным символом на ${displaystyle F_ {s}}$ который является составом ${displaystyle chi}$ с норма из F_s к F, то есть

${displaystyle chi '(альфа): = chi (N_ {F_ {s} / F} (альфа))}$

Пусть ψ - некоторый нетривиальный аддитивный характер F, и разреши ${displaystyle psi '}$ быть аддитивным персонажем на ${displaystyle F_ {s}}$ который является составом ${displaystyle psi}$ с след из F_s к F, то есть

${displaystyle psi '(alpha): = psi (Tr_ {F_ {s} / F} (alpha))}$

Позволять

${displaystyle au (chi, psi) = sum _ {xin F} chi (x) psi (x)}$

быть суммой Гаусса по F, и разреши${displaystyle au (chi ', psi')}$ быть суммой Гаусса по ${displaystyle F_ {s}}$.

Тогда Подъемное соотношение Хассе-Давенпорта утверждает, что

${displaystyle (-1) ^ {s} cdot au (chi, psi) ^ {s} = - au (chi ', psi').}$

Связь продукции Hasse – Davenport

В соотношении продуктов Хассе – Давенпорта говорится, что

${displaystyle prod _ {a {mod {m}}} au (chi ho ^ {a}, psi) = - chi ^ {- m} (m) au (chi ^ {m}, psi) prod _ {a { mod {m}}} au (ho ^ {a}, psi)}$

где ρ - мультипликативный характер точного порядка м разделение q–1 и χ - любой мультипликативный характер, а ψ - нетривиальный аддитивный характер.

Рекомендации

• Давенпорт, Гарольд; Хассе, Гельмут (1935), "Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (О нулях дзета-функций сравнения в некоторых циклических случаях)", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 172: 151–182, ISSN 0075-4102, Zbl 0010.33803
• Gross, Benedict H .; Коблиц, Нил (1979), «Суммы Гаусса и p-адическая Γ-функция», Анналы математики, Вторая серия, 109 (3): 569–581, Дои:10.2307/1971226, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971226, МИСТЕР 0534763
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел. Springer. стр.158–162. ISBN 978-0-387-97329-6.
• Вайль, Андре (1949), «Числа решений уравнений в конечных полях», Бюллетень Американского математического общества, 55 (5): 497–508, Дои:10.1090 / S0002-9904-1949-09219-4, ISSN 0002-9904, МИСТЕР 0029393 Перепечатано в Oeuvres Scientifiques / Collected Papers Андре Вейлем ISBN 0-387-90330-5