WikiDer > Семиугольный треугольник

Heptagonal triangle
Правильный семиугольник (с красными сторонами), его более длинные диагонали (зеленые) и более короткие диагонали (синие). Каждый из четырнадцати конгруэнтный семиугольные треугольники имеет одну зеленую сторону, одну синюю и одну красную сторону.

А семиугольный треугольник является тупой неравносторонний треугольник чья вершины совпадают с первой, второй и четвертой вершинами правильного семиугольник (из произвольной начальной вершины). Таким образом, его стороны совпадают с одной стороной, а соседние короче и длиннее. диагонали правильного семиугольника. Все семиугольные треугольники аналогичный (имеют одинаковую форму), поэтому все вместе они известны как то семиугольный треугольник. Его углы имеют размеры и и это единственный треугольник с углами в соотношении 1: 2: 4. У семиугольного треугольника есть несколько замечательных свойств.

Ключевые моменты

В семиугольном треугольнике центр девяти точек также его первый Брокард пойнт.[1]:Предложения. 12

Вторая точка Брокара лежит на окружности из девяти точек.[2]:п. 19

В центр окружности и Точки Ферма семиугольного треугольника образуют равносторонний треугольник.[1]:Thm. 22

Расстояние между центром описанной окружности О и ортоцентр ЧАС дан кем-то[2]:п. 19

где р это по окружности. Квадрат расстояния от стимулятор я к ортоцентру[2]:п. 19

где р это inradius.

Две касательные от ортоцентра к описанной окружности взаимно перпендикуляр.[2]:п. 19

Отношения расстояний

Стороны

Стороны семиугольного треугольника а < б < c совпадают соответственно со стороной правильного семиугольника, более короткой диагональю и большей диагональю. Они удовлетворяют[3]:Лемма 1

(последний[2]:п. 13 будучи оптическое уравнение) и поэтому

и[3]:Коро. 2

Таким образом -б/c, c/а, и а/б все удовлетворяют кубическое уравнение

Однако нет алгебраические выражения с чисто действительными членами существуют для решений этого уравнения, потому что это пример казус несокрушимый.

Примерное соотношение сторон:

У нас также есть[4]

удовлетворить кубическое уравнение

У нас также есть[4]

удовлетворить кубическое уравнение

У нас также есть[4]

удовлетворить кубическое уравнение

У нас также есть[2]:п. 14

и[2]:п. 15

У нас также есть[4]

Других нет (м, н), м, н > 0, м, н <2000, так что[нужна цитата]

Высоты

Высоты часа, часб, и часc удовлетворить

[2]:п. 13

и

[2]:п. 14

Высота сбоку б (противоположный угол B) составляет половину биссектрисы внутреннего угла из А:[2]:п. 19

Здесь угол А наименьший угол, а B второй по размеру.

Биссектрисы внутреннего угла

У нас есть эти свойства биссектриса внутреннего угла и углов А, Б, и C соответственно:[2]:п. 16

Circumradius, inradius и exradius

Площадь треугольника[5]

где р это треугольник по окружности.

У нас есть[2]:п. 12

У нас также есть[6]

Соотношение р /р из inradius к описанному радиусу является положительным решением кубического уравнения[5]

К тому же,[2]:п. 15

У нас также есть[6]

В общем для всех целых п,

где

и

У нас также есть[6]

У нас также есть[4]

В Exradius ра соответствующий стороне а равен радиусу круг из девяти точек семиугольного треугольника.[2]:п. 15

Ортический треугольник

В семиугольном треугольнике ортический треугольник, с вершинами в основании высоты, является аналогичный в семиугольный треугольник с соотношением подобия 1: 2. Гептагональный треугольник - единственный тупой треугольник, который похож на свой ортогональный треугольник ( равносторонний треугольник единственный острый).[2]:стр. 12–13

Тригонометрические свойства

Различные тригонометрические тождества связанные с семиугольным треугольником, включают:[2]:стр. 13–14[5]

[4]:Предложение 10

Кубическое уравнение

есть решения[2]:п. 14 и которые являются квадратами синусов углов треугольника.

Положительное решение кубического уравнения

равно что в два раза больше косинуса одного из углов треугольника.[7]:п. 186–187

Sin (2π / 7), sin (4π / 7) и sin (8π / 7) являются корнями[4]

У нас также есть:[6]

Для целого числа п , позволять

За п = 0,...,20,

За п= 0, -1, ,..-20,

Для целого числа п , позволять

За п= 0, 1, ,..10,

Для целого числа п , позволять

За п= 0, 1, ,..10,

У нас также есть[6][8]

У нас также есть[4]

У нас также есть[4]

У нас также есть[9]

У нас также есть тождества типа Рамануджана,[10][11]

У нас также есть[9]

  1. ^ а б Пол Ю, «Гептагональные треугольники и их спутники», Форум Geometricorum 9, 2009, 125–148. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200912.pdf
  2. ^ а б c d е ж г час я j k л м п о п q Леон Банкофф и Джек Гарфанкел, «Семигранный треугольник», Математический журнал 46 (1), январь 1973 г., стр. 7–19.
  3. ^ а б Абдилкадир Алтынтас, "Некоторые коллинеарности в семиугольном треугольнике", Форум Geometricorum 16, 2016, 249–256.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
  4. ^ а б c d е ж г час я Ван, Кай. «Гептагональный треугольник и тригонометрические тождества», Форум Geometricorum 19, 2019, 29–38.
  5. ^ а б c Вайсштейн, Эрик У. «Гептагональный треугольник». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalTriangle.html
  6. ^ а б c d е Ван, Кай. https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_Triangle
  7. ^ Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). "Угловая секция, семиугольник и трехугольник" (PDF). Американский математический ежемесячник. 95 (3): 185–194. Дои:10.2307/2323624. Архивировано из оригинал (PDF) на 2015-12-19.
  8. ^ Ошибка цитирования: указанная ссылка Молл был вызван, но не определен (см. страница помощи).
  9. ^ а б Ошибка цитирования: указанная ссылка Wang3 был вызван, но не определен (см. страница помощи).
  10. ^ Ошибка цитирования: указанная ссылка Ван4 был вызван, но не определен (см. страница помощи).
  11. ^ Ошибка цитирования: указанная ссылка WS1 был вызван, но не определен (см. страница помощи).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

  1. ^ Кай Ван, «Гептагональный треугольник и тригонометрические тождества», Форум Geometricorum 19, 2019, 29-38. http://forumgeom.fau.edu/FG2019volume19/FG201904.pdf
  2. ^ Кай Ван, https://www.researchgate.net/publication/335392159_On_cubic_equations_with_zero_sums_of_cubic_roots_of_roots
  3. ^ Кай Ван, https://www.researchgate.net/publication/336813631_Topics_of_Ramanujan_type_identities_for_PI7
  4. ^ Виктор Х. Молл, Элементарное тригонометрическое уравнение, https://arxiv.org/abs/0709.3755, 2007
  5. ^ Роман Витула и Дамиан Слота, Новые формулы типа Рамануджана и квазифибоначчи числа порядка 7, Журнал целочисленных последовательностей, Vol. 10 (2007).