WikiDer > Оптическое уравнение
В теория чисел, то оптическое уравнение это уравнение, которое требует суммы взаимные двух положительных целые числа а и б равняться обратной величине третьего положительного целого числа c:[1]
Умножая обе стороны на abc показывает, что оптическое уравнение эквивалентно Диофантово уравнение (а полиномиальное уравнение в нескольких целочисленных переменных).
Решение
Все решения в целых числах а, б, в даны в виде положительных целочисленных параметров м, н, к к[1]
куда м и п находятся совмещать.
Появления в геометрии
Оптическое уравнение, допускающее, но не требующее целочисленных решений, появляется в нескольких контекстах в геометрия.
В двухцентровый четырехугольник, то inradius р, окружной радиус р, а расстояние Икс между центром и центром окружности связаны соотношением Теорема Фусса в соответствии с
и расстояния стимулятор я из вершин А, Б, В, D связаны с внутренним радиусом согласно
в проблема скрещенных лестниц,[2] две лестницы, закрепленные у низов вертикальных стен, пересекаются на высоте час и прислониться к противоположным стенам на высоте А и B. У нас есть Более того, формула продолжает действовать, если стены наклонены и все три измерения проводятся параллельно стенам.
Пусть P - точка на описанный круг из равносторонний треугольник ABC, на малая дуга AB. Позволять а быть расстоянием от п к А и б быть расстоянием от п к B. На линии, проходящей через п и дальняя вершина C, позволять c быть расстоянием от п в сторону треугольника AB. потом[3]:п. 172
В трапеция, нарисуйте отрезок, параллельный двум параллельным сторонам, проходящий через точку пересечения диагоналей и имеющий концы на непараллельных сторонах. Тогда, если обозначить длины параллельных сторон как а и б и половину длины отрезка через диагональное пересечение как c, сумма обратных величин а и б равно обратной величине c.[4]
Особый случай, когда целые числа, обратные значения которых принимаются, должны быть квадратные числа появляется двояко в контексте прямоугольные треугольники. Во-первых, сумма квадратов высот от катетов (эквивалентно квадратов самих катетов) равна обратной величине квадрата высоты от гипотенузы. Это справедливо независимо от того, являются ли числа целыми или нет; есть формула (см. Вот), который генерирует все целочисленные случаи.[5][6] Во-вторых, также в прямоугольном треугольнике сумма квадрата, обратного стороне одного из двух вписанных квадратов, и квадрата, обратного гипотенузы, равна квадрату, обратному стороне другого вписанного квадрата.
Стороны семиугольный треугольник, который делит свои вершины с регулярным семиугольник, удовлетворяют оптическому уравнению.
Другие выступления
Уравнение тонкой линзы
Для линз незначительной толщины и фокусного расстояния ж, расстояния от линзы до объекта, S1, а от линзы к ее изображению, S2, связаны формула тонкой линзы:
- .
Электротехника
Компоненты электрической цепи или электронной схемы могут быть соединены в так называемый последовательно или параллельно конфигурация. Например, общая сопротивление ценить рт из двух резисторы с сопротивлениями р1 и р2 подключен в параллельно следует оптическому уравнению:
- .
Точно так же общая индуктивность Lт из двух индукторы с индуктивностями L1 и L2 подключен в параллельно дан кем-то:
и общая емкость Cт из двух конденсаторы с емкостями C1 и C2 подключен в серии как следует:
- .
Складывание бумаги
Оптическое уравнение задачи о скрещенных лестницах можно применить для складывания прямоугольной бумаги на три равные части. Одна сторона (изображенная здесь левая) частично сложена пополам и защемлена, чтобы оставить след. Пересечение линии от этой отметки до противоположного угла с диагональю составляет ровно одну треть от нижнего края. Затем верхний край можно загнуть вниз до пересечения.[7]
Гармоническое среднее
В гармоническое среднее из а и б является или 2c. Другими словами, c составляет половину гармонического среднего значения а и б.
Связь с Великой теоремой Ферма
Последняя теорема Ферма утверждает, что сумма двух целых чисел, каждое из которых возведено в одну и ту же целочисленную степень п не может быть равным другому целому числу, возведенному в степень п если п > 2. Это означает, что никакие решения оптического уравнения не имеют всех трех целых чисел, равных совершенные силы с той же силой п > 2. Ибо если затем умножая на даст что невозможно по Последней теореме Ферма.
Смотрите также
- Гипотеза Эрдеша – Штрауса, отличающийся Диофантово уравнение включая суммы обратных целых чисел
- Суммы обратных величин
Рекомендации
- ^ а б Диксон, Л. Э., История теории чисел, том II: Диофантов анализ, Chelsea Publ. Co., 1952, стр. 688–691.
- ^ Гарднер, М. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений от журнала Scientific American. Нью-Йорк: Кнопф, 1979, стр. 62–64.
- ^ Посаментьер, Альфред С., и Залкинд, Чарльз Т., Сложные задачи геометрии, Dover Publ., 1996.
- ^ GoGeometry, [1], Проверено 8 июля 2012 г.
- ^ Воулс, Роджер, "Целочисленные решения а−2+б−2= d−2," Математический вестник 83, июль 1999 г., стр. 269–271.
- ^ Ричиник, Дженнифер, "Перевернутая теорема Пифагора", Математический вестник 92, июль 2008 г., 313–317.
- ^ http://faculty.purchase.edu/jeanine.meyer/origami/orithir.htm