WikiDer > Героновский треугольник

Heronian triangle

В геометрия, а Героновский треугольник это треугольник который имеет длину стороны и площадь это все целые числа.[1][2] Треугольники Герона названы в честь Герой Александрии. Иногда этот термин применяется более широко к треугольникам, у которых все стороны и площадь равны рациональное число,[3] поскольку можно изменить масштаб сторон на общее кратное, чтобы получить треугольник, который является героновым в указанном выше смысле.

Характеристики

Любой прямоугольный треугольник, стороны которого равны Пифагорейская тройка - треугольник Герона, поскольку длины сторон такого треугольника равны целые числа, и его площадь также является целым числом, равным половине произведения двух более коротких сторон треугольника, по крайней мере одна из которых должна быть четной.

Треугольник со сторонами c, е и б + d, и высота а.

Примером треугольника Герона, который не является прямоугольным, является равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 6, площадь которых равна 12. Этот треугольник получается соединением двух копий прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 вдоль сторон длины 4. Этот подход работает в целом, так как проиллюстрировано на соседнем рисунке. Берется пифагорова тройка (а, б, c), с c будучи самым большим, затем еще один (а, d, е), с е будучи наибольшим, строит треугольники с этими длинами сторон и соединяет их вместе по сторонам длины а, чтобы получить треугольник с целыми длинами сторон c, е, и б + d, а с площадью

(половина основания, умноженная на высоту).

Если а даже тогда область А целое число. Менее очевидно, если а странно тогда А по-прежнему целое число, так как б и d оба должны быть ровными, делая б+d даже тоже.

Некоторые треугольники Герона не могут быть получены путем соединения двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, как описано выше. Например, треугольник Герона 5, 29, 30 с площадью 72 не может быть построен из двух целочисленных треугольников Пифагора, поскольку ни один из его высоты целые числа. Также никакой примитивный треугольник Пифагора не может быть построен из двух меньших целочисленных треугольников Пифагора.[4]:стр.17 Такие треугольники Герона известны как неразложимый.[4] Однако, если разрешить пифагоровы тройки с рациональными значениями, не обязательно целыми числами, то всегда существует разложение на прямоугольные треугольники с рациональными сторонами,[5] потому что каждая высота треугольника Герона рациональна (так как она равна удвоенной площади целого числа, деленной на основание целого числа). Таким образом, треугольник Герона со сторонами 5, 29, 30 может быть построен из рациональных треугольников Пифагора со сторонами 7/5, 24/5, 5 и 143/5, 24/5, 29. Обратите внимание, что тройка Пифагора с рациональными значениями просто масштабированная версия тройки с целыми значениями.

Другие свойства треугольников Герона следующие:

  • Периметр треугольника Герона всегда является четным числом.[6] Таким образом, каждый треугольник Герона имеет нечетное число сторон четной длины,[7]:стр.3 и каждый примитивный треугольник Герона имеет ровно одну четную сторону.
  • Полупериметр s треугольника Герона со сторонами а, б и c никогда не может быть простым. Это видно из того, что s (s − a) (s − b) (s − c) должен быть идеальным квадратом, и если s простое число, то одно из других членов должно иметь s как фактор, но это невозможно, поскольку все эти термины меньше, чем s.
  • Площадь треугольника Герона всегда делится на 6.[6]
  • Все высоты треугольника Герона рациональны.[8] Это видно из того факта, что площадь треугольника составляет половину одной стороны, умноженной на высоту с этой стороны, а треугольник Герона имеет целые стороны и площадь. Некоторые треугольники Герона имеют три нецелочисленных высоты, например острый (15, 34, 35) с площадью 252 и тупой (5, 29, 30) с площадью 72. Любой треугольник Герона с одной или несколькими нецелыми высотами может масштабироваться на коэффициент, равный наименьшему общему кратному знаменателей высот, чтобы получить похожий Треугольник Герона с тремя целыми высотами.
  • Треугольники Герона, не имеющие целой высоты (неразложимый и непифагорейские) имеют стороны, которые делятся на простые числа вида 4k+1.[4] Однако у разложимых треугольников Герона должны быть две стороны, которые являются гипотенузами треугольников Пифагора. Следовательно, все треугольники Герона, не являющиеся пифагоровыми, имеют по крайней мере две стороны, которые делятся на простые числа формы 4.k+1. Остались только треугольники Пифагора. Следовательно, у всех треугольников Герона есть хотя бы одна сторона, которая делится на простые числа вида 4k+1. Наконец, если треугольник Герона имеет только одну сторону, делящуюся на простые числа вида 4k+1 он должен быть пифагорейским со стороной как гипотенуза и гипотенуза должны быть делится на 5.
  • Все внутренние перпендикулярные биссектрисы треугольника Герона рациональны: для любого треугольника они задаются и где стороны абc и площадь А;[9] в треугольнике Герона все а, б, c, и А целые числа.
  • Равносторонних треугольников Герона не бывает.[8]
  • Не существует треугольников Герона со стороной 1 или 2.[10]
  • Существует бесконечное количество примитивных треугольников Герона с длиной одной стороны, равной а при условии, что а> 2.[10]
  • Не существует треугольников Герона, стороны которых образуют геометрическая прогрессия.[11]
  • Если любые две стороны (но не три) треугольника Герона имеют общий множитель, этот множитель должен быть суммой двух квадратов.[12]
  • Каждый угол треугольника Герона имеет рациональный синус. Это следует из формулы площади Площадь = (1/2)ab грех C, в котором площадь и стороны а и б являются целыми числами и, что эквивалентно, для других углов.
  • Каждый угол треугольника Герона имеет рациональный косинус. Это следует из закон косинусов , c2 = а2 + б2 − 2ab потому что C, в котором стороны а, б, и c являются целыми числами и, что эквивалентно, для других углов.
  • Поскольку все треугольники Герона имеют рациональные синусы и косинусы углов, это означает, что каждый наклонный угол треугольника Герона имеет рациональную касательную, котангенс, секанс и косеканс. Кроме того, половина каждого угла имеет рациональную касательную, потому что tan C / 2 = sin C / (1 + cos C), и то же самое для других углов.
  • Не существует треугольников Герона, три внутренних угла которых образуют арифметическую прогрессию. Это потому, что все плоские треугольники с углами в арифметической прогрессии должны иметь один угол 60 °, который не имеет рационального синуса.[13]
  • У любого квадрата, вписанного в треугольник Герона, есть рациональные стороны: для общего треугольника вписанный квадрат на стороне длины а имеет длину куда А площадь треугольника;[14] в треугольнике Герона оба А и а целые числа.
  • Каждый треугольник Герона имеет рациональное inradius (радиус вписанного круга): для общего треугольника inradius - это отношение площади к половине периметра, и оба они рациональны в треугольнике Герона.
  • Каждый треугольник Герона имеет рациональное по окружности (радиус описанной окружности): для общего треугольника радиус описанной окружности равен одной четвертой произведению сторон, деленных на площадь; в треугольнике Герона стороны и площадь являются целыми числами.
  • В треугольнике Герона расстояние от центроид с каждой стороны рационально, потому что для всех треугольников это расстояние является отношением удвоенной площади к трехкратной длине стороны.[15] Это можно обобщить, заявив, что все центры, связанные с треугольниками Герона, барицентрические координаты рациональные соотношения имеют рациональное расстояние с каждой стороны. Эти центры включают центр окружности, ортоцентр, центр девяти точек, симедианная точка, Точка Жергонна и Точка Нагеля.[16]
  • Все треугольники Герона можно разместить на решетке, каждая вершина которой находится в точке решетки.[17]

Точная формула для всех треугольников Герона

Индийский математик Брахмагупта (598-668 гг.) Получил параметрическое решение, такое, что каждый треугольник Герона имеет стороны, пропорциональные:[18][19]

для целых чисел м, п и k куда:

.

Коэффициент пропорциональности обычно является рациональным.пq кудаq = gcd (а, б, в) сводит порожденный треугольник Герона к его примитиву ип масштабирует этот примитив до необходимого размера. Например, взяв м = 36, п = 4 и k = 3 дает треугольник с а = 5220, б = 900 и c = 5400, что аналогично треугольнику Герона 5, 29, 30, и используемый коэффициент пропорциональности имеет п = 1 и q = 180.

Препятствием для вычислительного использования параметрического решения Брахмагупты является знаменатель q коэффициента пропорциональности. q можно определить только путем расчета наибольший общий делитель трех сторон (НОД (а, б, в)) и вносит элемент непредсказуемости в процесс генерации.[19] Самый простой способ создания списков треугольников Герона - это создать все целочисленные треугольники с максимальной длиной стороны и проверить целую площадь.

Более быстрые алгоритмы были получены Курц (2008).

Существует бесконечно много примитивных и неразложимых непифагоровых треугольников Герона с целыми значениями для inradius и все три Exradii, в том числе генерируемые[20]:Thm. 4

Существует бесконечно много треугольников Герона, которые можно разместить на решетке так, чтобы не только вершины находились в точках решетки, как это справедливо для всех треугольников Герона, но, кроме того, центры вписанной и вневписанной окружностей находились в точках решетки.[20]:Thm. 5

См. Также формулы для Треугольники Герона с одним углом, равным дважды другому, Треугольники Герона со сторонами в арифметической прогрессии, и равнобедренные героновские треугольники.

Второй подход

Треугольник с обозначенными длинами сторон и внутренними углами. Капитал А, B и C углы, а строчные а, б, и c противоположные стороны.

Касательная к половине любого внутреннего угла треугольника Герона обязательно рациональна; см. свойства выше. Эти полууглы положительны и в сумме составляют 90 ° (π/2 радианы), потому что внутренние углы (А, B, C) сумма до 180 ° (π радианы). Начнем с выбора р = загар (А/2) и s = загар (B/2) быть любыми положительными рациональными числами, удовлетворяющими RS < 1. Предел 1 гарантирует, что угол А/2 + B/2 меньше 90 ° и, следовательно, угол C/2 будет положительным. Значение т = загар (C/2) также будет положительным рациональным числом, потому что

Мы можем вычислить синус любого угла по формуле . Мы используем Закон синусов чтобы сделать вывод, что длины сторон пропорциональны синусам внутренних углов:

Ценности а, б, и c рациональны, потому что ценности р, s, и т рациональны. Целочисленные значения для длин сторон могут быть получены путем умножения длин сторон на целое число, которое очищает знаменатели.

Когда также бывает, что р, s, или же т равно 1, то соответствующий внутренний угол будет прямой угол и три стороны также определят Пифагорейская тройка.

Примеры

Список примитивных целочисленных треугольников Герона, отсортированный по площади и, если это то же самое, по периметр, начинается, как в следующей таблице. "Примитив" означает, что наибольший общий делитель длина трех сторон равна 1.

ПлощадьПериметрдлина стороны b + dдлина стороны eдлина стороны c
612543
1216655
1218855
243215134
303013125
363617109
365426253
424220157
6036131310
604017158
6050241313
606029256
6644201311
726430295
8442151413
8448211710
845625247
847235298
9054251712
9010853514
11476372019
12050171716
12064301717
12080392516
12654212013
12684412815
12610852515
13266302511
15678372615
156104514013
16864252514
16884393510
16898482525
18080373013
1809041409
198132655512
20468262517
21070292120
21070282517
21084392817
21084373512
21014068657
2103001491483
21616280739
234108524115
24090403713
25284353415
25298454013
25214470659
26496443715
264132653433
270108522927
288162806517
300150745125
3002501231225
306108513720
330100443917
330110523325
330132616011
33022010910011
33698414017
336112533524
336128615215
3363921951934
36090362925
360100414118
360162804141
390156756813
396176875534
396198979011
39624212010913

Списки примитивных треугольников Герона, стороны которых не превышают 6 000 000, можно найти на «Списки примитивных треугольников Герона». Саша Курц, Байройтский университет, Германия. Получено 29 марта 2016.

Равные треугольники

Форма называется уравновешенный если его площадь равна периметру. Ровных треугольников Герона ровно пять: с длинами сторон (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10 , 17).[21][22]

Почти равносторонние треугольники Герона

Поскольку площадь равносторонний треугольник с рациональными сторонами - это иррациональный номер, ни один равносторонний треугольник не является героновским. Однако существует уникальная последовательность треугольников Герона, которые являются «почти равносторонними», потому что три стороны имеют форму п − 1, п, п + 1. Метод генерации всех решений этой проблемы на основе непрерывные дроби был описан в 1864 г. Эдвард Санг,[23] и в 1880 г. Рейнхольд Хоппе дал выражение в закрытой форме для решений.[24] Первые несколько примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в следующей таблице (последовательность A003500 в OEIS):

Длина стороныПлощадьInradius
п − 1пп + 1
34561
131415844
515253117015
1931941951629656
723724725226974209
2701270227033161340780
100831008410085440317862911
37633376343763561328366410864

Последующие значения п можно найти, умножив предыдущее значение на 4, а затем вычтя предыдущее значение (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14 и т. д.), таким образом:

куда т обозначает любую строку в таблице. Это Последовательность Лукаса. В качестве альтернативы формула генерирует все п. Эквивалентно пусть А = площадь и у = inradius, тогда

куда {п, у} являются решениями п2 − 12у2 = 4. Небольшое преобразование п = 2x дает обычный Уравнение Пелла Икс2 − 3у2 = 1, решения которого тогда могут быть получены из правильная непрерывная дробь расширение для 3.[25]

Переменная п имеет форму , куда k это 7, 97, 1351, 18817,…. Числа в этой последовательности обладают тем свойством, что k последовательные целые числа имеют целое стандартное отклонение.[26]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Карлсон, Джон Р. (1970), «Определение треугольников Герона» (PDF), Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 8: 499–506
  2. ^ Beauregard, Raymond A .; Сурьянараян, Э. Р. (январь 1998 г.), "Треугольники Брахмагупты" (PDF), Журнал математики колледжа, 29 (1): 13–17, Дои:10.2307/2687630, JSTOR 2687630
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Героновский треугольник". MathWorld.
  4. ^ а б c Ю, Пол (2008), Треугольники цапли, которые нельзя разложить на два целых прямоугольных треугольника (PDF), 41-е заседание Флоридской секции математической ассоциации Америки
  5. ^ Серпинский, Вацлав (2003) [1962], Пифагоровы треугольники, Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-43278-6
  6. ^ а б Фриче, янв (2 января 2002 г.). «О симплексах цапли и целочисленных вложениях». Публикация Эрнст-Мориц-Арндт Университета Грейсвальда. arXiv:математика / 0112239. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  7. ^ Buchholz, R.H .; Макдугалл, Дж. А. (2001). «Циклические многоугольники с рациональными сторонами и площадью». CiteSeerX Университет штата Пенсильвания: 3. CiteSeerX 10.1.1.169.6336. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  8. ^ а б Сомос, М. (Декабрь 2014 г.). «Рациональные треугольники». Получено 2018-11-04.
  9. ^ Митчелл, Дуглас В. (2013), «Серединные перпендикулярные направления сторон треугольника», Форум Геометрикорум 13, 53−59: Теорема 2.
  10. ^ а б Карлсон, Джон Р. (1970). «Определение треугольников Герона» (PDF). Государственный колледж Сан-Диего. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  11. ^ Buchholz, R.H .; Макдугалл, Дж. А. (1999). "Четырехугольники цапли со сторонами в арифметической или геометрической прогрессии". Бюллетень Австралийского математического общества. 59: 263–269. Дои:10.1017 / с0004972700032883.
  12. ^ Блихфельдт, Х. Ф. (1896–1897). «О треугольниках с рациональными сторонами и с рациональными площадями». Анналы математики. 11 (1/6): 57–60. Дои:10.2307/1967214. JSTOR 1967214.
  13. ^ Зелатор, К., "Углы треугольника и стороны в прогрессии и диофантово уравнение x"2+ 3 года2= z2", Cornell Univ. архив, 2008
  14. ^ Бейли, Герберт и ДеТемпл, Дуэйн, «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Математический журнал 71(4), 1998, 278–284.
  15. ^ Кларк Кимберлинг, «Неравенства трехлинейных расстояний для симедианной точки, центроида и других центров треугольника», Форум Geometricorum, 10 (2010), 135−139. http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201015index.html
  16. ^ Энциклопедия треугольных центров Кларка Кимберлинга «Энциклопедия треугольных центров». Архивировано из оригинал на 2012-04-19. Получено 2012-06-17.
  17. ^ Ю, П., "Треугольники Герона - это решетчатые треугольники", Американский математический ежемесячный журнал 108 (2001), 261–263.
  18. ^ Кармайкл, Р. Д., 1914, "Диофантов анализ", стр. 11-13; в R. D. Carmichael, 1959, Теория чисел и диофантов анализ, Dover Publications, Inc.
  19. ^ а б Курц, Саша (2008). «О порождении героновских треугольников». Сердика Журнал вычислительной техники. 2 (2): 181–196. arXiv:1401.6150. Bibcode:2014arXiv1401.6150K. МИСТЕР 2473583.CS1 maint: ref = harv (связь).
  20. ^ а б Чжоу, Ли, "Примитивные треугольники Герона с целыми Inradius и Exradii", Форум Geometricorum 18, 2018, 71-77. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201811.pdf
  21. ^ Диксон, Леонард Юджин (2005), История теории чисел, Том II: Диофантов анализ, Dover Publications, стр. 199, ISBN 9780486442334
  22. ^ Марковиц, Л. (1981), «Площадь = периметр», Учитель математики, 74 (3): 222–3
  23. ^ Пел, Эдвард, «К теории соизмеримых», Сделки Королевского общества Эдинбурга, 23: 721–760, Дои:10,1017 / с0080456800020019. См. В частности п. 734.
  24. ^ Гулд, Х. У. (февраль 1973 г.), «Треугольник с цельными сторонами и площадью» (PDF), Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 11 (1): 27–39.
  25. ^ Ричардсон, Уильям Х. (2007), Супергероновские треугольники
  26. ^ Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей, OEISA011943.

внешняя ссылка