WikiDer > Схема гильберта

Hilbert scheme

В алгебраическая геометрия, филиал математика, а Схема гильберта это схема это пространство параметров для закрытые подсхемы некоторого проективного пространства (или более общей проективной схемы), уточняя Сорт чау. Схема Гильберта представляет собой несвязное объединение проективные подсхемы соответствующий Полиномы Гильберта. Основная теория схем Гильберта была разработана Александр Гротендик (1961). Пример Хиронаки показывает, что непроективные многообразия не обязательно должны иметь схемы Гильберта.

Схема Гильберта проективного пространства

Схема Гильберта из классифицирует замкнутые подсхемы проективного пространства в следующем смысле: для любого локально нетеровская схема S, набор S-значные баллы

схемы Гильберта естественно изоморфна множеству замкнутых подсхем схемы которые плоский над S. Замкнутые подсхемы которые плоские S неформально можно рассматривать как семейства подсхем проективного пространства, параметризованные S. Схема Гильберта распадается как непересекающееся соединение частей соответствующий полиному Гильберта подсхем проективного пространства с полиномом Гильберта п. Каждая из этих фигур проективна над .

Строительство

Гротендик построил схему Гильберта из п-мерное проективное пространство над нётеровой схемой S как подсхему Грассманиан определяется исчезновением различных детерминанты. Его фундаментальным свойством является свойство схемы Т над S, он представляет собой функтор, Т-значные точки - это замкнутые подсхемы которые плоские Т.

Если Икс является подсхемой п-мерное проективное пространство, то Икс соответствует градуированному идеалу кольца многочленов S в переменные, с градуированными частями . Для достаточно больших м, зависящий только от полинома Гильберта п из Икс, все высшие группы когомологий Икс с коэффициентами в О(м) исчезнуть, так в частности имеет размер Q(м) − п(м), куда Q - многочлен Гильберта проективного пространства.

Выберите достаточно большое значение м. В (Q(м) − п(м))-мерное пространство яИкс(м) является подпространством Q(м)-мерное пространство S(м), так представляет собой точку грассманиана Gr(Q(м) − п(м), Q(м)). Это даст вложение части схемы Гильберта, соответствующей многочлену Гильберта п в этот грассманиан.

Осталось описать структуру схемы на этом изображении, то есть описать достаточное количество элементов для соответствующего ему идеала. Достаточно таких элементов задается условиями, что отображение яИкс(м) ⊗ S(k) → S(k + м) имеет ранг не выше тусклый (яИкс(k + м)) для всех положительных k, что равносильно обращению в нуль различных определителей. (Более внимательный анализ показывает, что достаточно просто взять k = 1.)

Характеристики[1]

Универсальность

Учитывая закрытую подсхему над полем с многочленом Гильберта , схема Гильберта H =Hilb(п, п) имеет универсальную подсхему плоский над такой, что

  • Волокна по закрытым точкам закрытые подсхемы . За обозначим эту точку в качестве .
  • универсален относительно всех плоских семейств подсхем имеющий многочлен Гильберта . То есть по схеме и плоская семья , существует уникальный морфизм такой, что .

Касательное пространство

Касательное пространство точки задается глобальными сечениями нормального расслоения ; то есть,

Беспрепятственность полных пересечений

Для локальных полных пересечений такой, что , смысл гладко. Это означает, что каждый деформация из в беспрепятственно.

Размер касательного пространства

В случае , размер в Больше или равно .

В дополнение к этим свойствам, Маколей (1927) определено, для каких многочленов схема Гильберта не пусто, и Хартсхорн (1966) показал, что если непусто, то линейно связно. Таким образом, две подсхемы проективного пространства находятся в одной связной компоненте схемы Гильберта тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же многочлен Гильберта.

Схемы Гильберта могут иметь плохие особенности, такие как неприводимые компоненты, которые не редуцированы во всех точках. Они также могут содержать неприводимые компоненты неожиданно большой размерности. Например, можно было бы ожидать, что схема Гильберта d точек (точнее размерность 0, длина d подсхемы) схемы размерности п иметь размер дн, но если п ≥ 3 его неприводимые компоненты могут иметь гораздо больший размер.

Функциональная интерпретация

Существует альтернативная интерпретация схемы Гильберта, которая приводит к обобщению относительных схем Гильберта, параметризующих подсхемы относительной схемы. Для фиксированной базовой схемы , позволять и разреши

быть функтором, отправляющим относительную схему на множество классов изоморфизма множества

где отношение эквивалентности задается классами изоморфизма . Эта конструкция является функториальной, поскольку принимает обратные вызовы семейств. Данный , есть семья над .

Представимость проективных отображений

Если структурная карта является проективным, то этот функтор представлен построенной выше схемой Гильберта. Обобщение этого на случай отображений конечного типа требует технологии алгебраические пространства разработан Артином.[2]

Относительная схема Гильберта для отображений алгебраических пространств

В наибольшей общности функтор Гильберта определен для отображения конечного типа алгебраических пространств определяется по схеме . Тогда функтор Гильберта определяется как[3]

отправка

Этот функтор можно представить не схемой, а алгебраическим пространством. Кроме того, если , и является отображением схем конечного типа, их функтор Гильберта представлен алгебраическим пространством.

Примеры схем Гильберта

Схемы Фано гиперповерхностей

Одним из мотивирующих примеров для исследования схемы Гильберта в целом был Схема Фано проективной схемы. Учитывая подсхему степени есть схема в параметризация куда это -самолет в , что означает, что это вложение первой степени .[4] Для гладких поверхностей в степени , непустые схемы Фано гладкие нульмерные. Это потому, что линии на гладких поверхностях имеют отрицательное самопересечение.[4]

Схема точек Гильберта

Другой распространенный набор примеров - схемы Гильберта -точки схемы , обычно обозначается . За есть красивая геометрическая интерпретация, где граничные локусы Описание пересечения точек можно рассматривать как параметризацию точек вместе с их касательными векторами. Например, это взрыв диагонали[5] по модулю симметричного действия.

Гиперповерхности степени d

Схема Гильберта гиперповерхностей степени k в дается проективизацией . Например, схема Гильберта гиперповерхностей степени 2 в является с универсальной гиперповерхностью, заданной формулой

где нижележащее кольцо является бигрейдным.

Схема Гильберта кривых и модули кривых

Для фиксированного рода алгебраическая кривая , степень дуализирующего пучка триенсора генерируется глобально, то есть его эйлерова характеристика определяется размерностью глобальных секций, поэтому

Размерность этого векторного пространства равна , следовательно, глобальные разделы определить вложение в

для каждого рода изгиб. Используя формулу Римана-Роха, ассоциированный многочлен Гильберта может быть вычислен как

Тогда схема Гильберта

параметризует все кривые рода g. Построение этой схемы является первым шагом в построении стека модулей алгебраических кривых. Другим основным техническим инструментом являются факторные GIT, поскольку это пространство модулей строится как фактор-фактор.

куда является подлокусом гладких кривых в схеме Гильберта.

Схема Гильберта точек на многообразии

«Схема Гильберта» иногда относится к пунктуальная схема Гильберта 0-мерных подсхем на схеме. Неформально это можно представить как что-то вроде конечного набора точек на схеме, хотя такая картина может вводить в заблуждение, когда несколько точек совпадают.

Существует Морфизм Гильберта – Чоу от приведенной схемы точек Гильберта к многообразию циклов Чжоу, переводя любую 0-мерную схему в связанный с ней 0-цикл. (Фогарти1968, 1969, 1973).

Схема Гильберта M[п] из п указывает на M обладает естественным морфизмом на п-е симметричное произведение M. Этот морфизм бирациональный для M размерности не более 2. Для M размерности не менее 3 морфизм не является бирациональным при больших п: схема Гильберта в общем случае сводима и имеет компоненты размерности намного больше, чем у симметричного произведения.

Схема Гильберта точек на кривой C (комплексное многообразие размерности 1) изоморфно симметричная мощность из C. Это гладко.

Схема Гильберта п указывает на поверхность также гладкая (Гротендик). Если п = 2, это получается из M × M раздув диагональ, а затем разделив ее на Z/2Z действие, вызванное (Икс, у) ↦ (у, Икс). Он использовался Марк Хайман в его доказательстве положительности коэффициентов некоторых Многочлены Макдональда.

Схема Гильберта гладкого многообразия размерности 3 или более обычно негладкая.

Схемы Гильберта и гиперкэлерова геометрия

Позволять M быть сложным Kähler поверхность с c1 = 0 (K3 поверхность или тор). Канонический набор M тривиально, как следует из Кодаирская классификация поверхностей. Следовательно M допускает голоморфный симплектический форма. Это наблюдал Акира Фуджики (за п = 2) и Арно Бовиль который M[п] также является голоморфно симплектическим. В этом нетрудно убедиться, например, для п = 2. В самом деле, M[2] является раздутием симметричного квадрата M. Особенности Сим2 M локально изоморфны C2 × C2/{±1}. Взрыв C2/{±1} является Т ∗п1(C), и это пространство симплектическое. Это используется, чтобы показать, что симплектическая форма естественным образом распространяется на гладкую часть исключительных дивизоров M[п]. Он распространяется на остальные M[п] к Принцип Хартогса.

Голоморфно симплектическая, Кэлерово многообразие является Hyperkähler, как следует из Теорема Калаби – Яу. Схемы Гильберта точек на K3 поверхность а на 4-мерном торе приведем две серии примеров гиперкэлеровы многообразия: схема Гильберта точек на K3 и обобщенная Куммер поверхность.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Хартсхорн, Робин (2010). Теория деформации. Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 5–6. ISBN 978-1-4419-1595-5.
  2. ^ Артин, М. (2015-12-31), "Алгебраизация формальных модулей: I", Глобальный анализ: статьи в честь К. Кодаира (PMS-29), Princeton: Princeton University Press, стр. 21–72, Дои:10.1515/9781400871230-003, ISBN 978-1-4008-7123-0
  3. ^ «Раздел 97.9 (0CZX): Функтор Гильберта - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-06-17.
  4. ^ а б «3264 и все такое» (PDF). С. 203, 212.
  5. ^ «Общее введение в схему Гильберта точек на плоскости» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала 26 февраля 2020 г.

Примеры и приложения

внешняя ссылка