WikiDer > Метод гомотопического анализа

Эта биографическая статья написано как резюме. Пожалуйста помогите улучшить это изменив его на нейтральный и энциклопедический. (Май 2020 г.)

Два пунктирных пути, показанные выше, гомотопны относительно их конечных точек. Анимация представляет одну возможную гомотопию.

В метод гомотопического анализа (ВЕТЧИНА) представляет собой полуаналитический метод решения нелинейный обычный/частичный дифференциальные уравнения. В методе гомотопического анализа используется концепция гомотопия из топология для генерации решения сходящегося ряда для нелинейных систем. Это возможно благодаря использованию гомотопическогоСерия Маклорена иметь дело с нелинейностями в системе.

HAM был впервые разработан в 1992 г. Ляо Шицзюнь из Шанхайский университет Цзяотун в его докторской диссертации^[1] и далее модифицированный^[2] в 1997 г.^{[рекламный язык]} ввести ненулевой вспомогательный параметр, называемый параметр контроля сходимости, c₀, построить гомотопию на дифференциальной системе общего вида.^[3] Параметр управления сходимостью - это нефизическая переменная, которая обеспечивает простой способ проверки и обеспечения сходимости ряда решений. Способность HAM естественным образом демонстрировать сходимость решения ряда необычна для аналитических и полуаналитических подходов к нелинейным уравнениям в частных производных.

Характеристики

HAM отличается от других аналитические методы в четырех важных аспектах. Во-первых, это серии метод расширения, не зависящий напрямую от малых или больших физических параметров. Таким образом, он применим не только для слабонелинейных, но и для сильно нелинейных задач, выходя за рамки некоторых присущих стандартным ограничениям. методы возмущения. Во-вторых, HAM - это единый метод для Ляпунов метод искусственного малого параметра, метод дельта-разложения, метод Метод разложения Адомиана,^[4] и гомотопический метод возмущения.^[5][6] Большая общность метода часто допускает сильную сходимость решения в более крупных пространственных областях и областях параметров. В-третьих, HAM дает отличную гибкость в выражении решения и способах его получения в явном виде. Это дает большую свободу выбора базисные функции искомого решения и соответствующего вспомогательного линейный оператор гомотопии. Наконец, в отличие от других методов аналитической аппроксимации, HAM предоставляет простой способ гарантировать конвергенция серии решений.

Метод гомотопического анализа также может сочетаться с другими методами, используемыми в нелинейных дифференциальных уравнениях, таких как спектральные методы^[7] и Аппроксимации Паде. Кроме того, его можно комбинировать с вычислительными методами, такими как метод граничных элементов разрешить линейный метод для решения нелинейных систем. В отличие от численной техники продолжение гомотопии, метод гомотопического анализа представляет собой метод аналитической аппроксимации, в отличие от метода дискретных вычислений. Кроме того, HAM использует параметр гомотопии только на теоретическом уровне, чтобы продемонстрировать, что нелинейная система может быть разбита на бесконечный набор линейных систем, которые решаются аналитически, в то время как методы продолжения требуют решения дискретной линейной системы при изменении параметра гомотопии. решить нелинейную систему.

Приложения

За последние двадцать лет HAM применялся для решения растущего числа нелинейных обычный/уравнения в частных производных в области науки, финансов и техники.^[8][9] Например, множественные установившиеся резонансные волны на большой и конечной глубине воды^[10] были найдены с волновой резонанс критерий произвольного количества путешествий гравитационные волны; это согласуется с критерием Филлипса для четырех волн малой амплитуды. Далее, единая волновая модель, применяемая с HAM,^[11] допускает не только традиционные гладкие прогрессивные периодические / уединенные волны, но также прогрессивные уединенные волны с острым гребнем на конечной глубине воды. Эта модель показывает, что пиковые уединенные волны являются согласованными решениями наряду с известными гладкими. Кроме того, HAM был применен ко многим другим нелинейным задачам, таким как нелинейные теплопередача,^[12] то предельный цикл нелинейных динамических систем,^[13] Американец пут опцион,^[14] точный Уравнение Навье – Стокса,^[15] цена опциона согласно стохастическая волатильность,^[16] то электрогидродинамический потоки^[17] то Уравнение Пуассона – Больцмана. для полупроводниковых приборов,^[18] и другие.

Краткое математическое описание

Изотопия чашки кофе в пончик (тор).

Рассмотрим общее нелинейное дифференциальное уравнение

${displaystyle {mathcal {N}} [u (x)] = 0}$,

куда ${displaystyle {mathcal {N}}}$ - нелинейный оператор. Позволять ${displaystyle {mathcal {L}}}$ обозначим вспомогательный линейный оператор, ты₀(Икс) первоначальное предположение о ты(Икс), и c₀ константа (называемая параметром контроля сходимости) соответственно. Использование параметра внедрения q ∈ [0,1] из теории гомотопий можно построить семейство уравнений,

${displaystyle (1-q) {mathcal {L}} [U (x; q) -u_ {0} (x)] = c_ {0}, q, {mathcal {N}} [U (x; q) ],}$

называется уравнением деформации нулевого порядка, решение которого непрерывно изменяется относительно параметра вложения q ∈ [0,1]. Это линейное уравнение

${displaystyle {mathcal {L}} [U (x; q) -u_ {0} (x)] = 0,}$

с известным исходным предположением U(Икс; 0) = ты₀(Икс) когда q = 0, но эквивалентно исходному нелинейному уравнению ${displaystyle {mathcal {N}} [u (x)] = 0}$, когда q = 1, т.е. U(Икс; 1) = ты(Икс)). Следовательно, как q увеличивается от 0 до 1, решение U(Икс; q) уравнения деформации нулевого порядка изменяется (или деформируется) от выбранного первоначального предположения ты₀(Икс) к решению ты(Икс) рассматриваемого нелинейного уравнения.

Расширение U(Икс; q) в сериале Тейлора о q = 0, имеем гомотопический ряд Маклорена

${displaystyle U (x; q) = u_ {0} (x) + sum _ {m = 1} ^ {infty} u_ {m} (x), q ^ {m}.}$

Предполагая, что так называемый параметр контроля сходимости c₀ уравнения деформации нулевого порядка правильно выбрано так, чтобы указанный ряд сходился при q = 1, имеем решение гомотопического ряда

${displaystyle u (x) = u_ {0} (x) + sum _ {m = 1} ^ {infty} u_ {m} (x).}$

Из уравнения деформации нулевого порядка можно напрямую вывести основное уравнение ты_м(Икс)

${displaystyle {mathcal {L}} [u_ {m} (x) -chi _ {m} u_ {m-1} (x)] = c_ {0}, R_ {m} [u_ {0}, u_ { 1}, ldots, u_ {m-1}],}$

называется м^thуравнение деформации порядка, где ${displaystyle chi _ {1} = 0}$ и ${displaystyle chi _ {k} = 1}$ за k > 1, а правая часть р_м зависит только от известных результатов ты₀, ты₁, ..., ты_м − 1 и может быть легко получен с помощью программного обеспечения компьютерной алгебры. Таким образом, исходное нелинейное уравнение преобразуется в бесконечное количество линейных, но без предположения о каких-либо малых / больших физических параметрах.

Поскольку HAM основан на гомотопии, у каждого есть большая свобода выбора начального предположения. ты₀(Икс) вспомогательный линейный оператор ${displaystyle {mathcal {L}}}$, а параметр контроля сходимости c₀ в уравнении деформации нулевого порядка. Таким образом, HAM предоставляет математикам свободу выбора типа уравнения для уравнения деформации высокого порядка и базовых функций его решения. Оптимальное значение параметра контроля сходимости c₀ определяется минимумом квадрата остаточной ошибки определяющих уравнений и / или граничных условий после решения общей формы для выбранного начального предположения и линейного оператора. Таким образом, параметр контроля сходимости c₀ является простым способом гарантировать сходимость решения гомотопического ряда и отличает HAM от других аналитических методов аппроксимации. В целом метод дает полезное обобщение концепции гомотопии.

Радиолюбитель и компьютерная алгебра

HAM - это метод аналитической аппроксимации, разработанный для компьютерной эры с целью «вычислений с функциями вместо чисел». В сочетании с системой компьютерной алгебры, такой как Mathematica или же Клен, можно получить аналитические аппроксимации сильно нелинейной задачи сколь угодно высокого порядка с помощью HAM всего за несколько секунд. Вдохновленный недавними успешными применениями HAM в различных областях, пакет Mathematica на основе HAM, названный BVPh, стал доступен в Интернете для решения нелинейных краевых задач. [4]. BVPh - это пакет решателя для сильно нелинейных ОДУ с особенностями, множественными решениями и многоточечными граничными условиями в конечном или бесконечном интервале, и включает поддержку некоторых типов нелинейных уравнений в частных производных.^[8] Другой код Mathematica, основанный на HAM, APOh, был создан для решения явного аналитического приближения оптимальной границы исполнения американского пут-опциона, который также доступен в Интернете. [5].

Анализ частотной характеристики нелинейных осцилляторов

Недавно сообщалось, что HAM можно использовать для получения аналитических решений нелинейных уравнений частотной характеристики. Такие решения способны улавливать различные нелинейные поведения, такие как тип упрочнения, смягчения или смешанное поведение осциллятора.^[19][20] Эти аналитические уравнения также полезны для предсказания хаоса в нелинейных системах.^[21]

Рекомендации

внешняя ссылка

• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm