WikiDer > Элемент идентичности - Википедия
В математика, элемент идентичности, или же нейтральный элемент, - особый тип элемента набор по отношению к бинарная операция на этом наборе, что оставляет любой элемент набора неизменным при объединении с ним.[1][2][3] Эта концепция используется в алгебраические структуры Такие как группы и кольца. Период, термин элемент идентичности часто сокращается до личность (как в случае аддитивного тождества и мультипликативного тождества),[4] когда нет возможности путаницы, но идентичность неявно зависит от двоичной операции, с которой она связана.
Определения
Позволять (S, ∗) быть наборомS с бинарной операцией ∗. Тогда элементе изS называется оставили личность если е ∗ а = а для всеха вS, а верно личность если а ∗ е = а для всеха вS.[5] Если е является как левым, так и правым тождеством, то оно называется двусторонняя идентичность, или просто личность.[6][7][8][9][10]
Тождество относительно сложения называется аддитивная идентичность (часто обозначается как 0), а тождество относительно умножения называется мультипликативная идентичность (часто обозначается как 1).[4] Это не обязательно должно быть обычное сложение и умножение, поскольку основная операция может быть довольно произвольной. В случае группа например, элемент идентичности иногда просто обозначается символом .[11] Различие между аддитивной и мультипликативной идентичностью чаще всего используется для наборов, которые поддерживают обе бинарные операции, такие как кольца, целостные области, и поля. Мультипликативное тождество часто называют единство в последнем контексте (кольцо с единицей).[12][13][14] Это не следует путать с единица измерения в теории колец, то есть любой элемент, имеющий мультипликативный обратный. По собственному определению, единство обязательно является единицей.[15][16]
Примеры
Характеристики
В качестве последнего примера (a полугруппа) показывает, что возможно (S, ∗) иметь несколько левых идентичностей. Фактически, каждый элемент может быть левой идентичностью. Подобным образом может быть несколько правильных идентичностей. Но если есть и правая идентичность, и левая идентичность, тогда они должны быть равны, в результате чего получается одна двусторонняя идентичность.
Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если л это левая личность и р является правильным тождеством, тогда л = л ∗ р = р. В частности, никогда не может быть более одной двусторонней идентичности: если бы их было две, скажем, е и ж, тогда е ∗ ж должен быть равен обоим е и ж.
Также вполне возможно (S, ∗) иметь нет элемент идентичности,[17] например, в случае четных целых чисел при операции умножения.[4] Другой распространенный пример - это перекрестное произведение из векторов, где отсутствие элемента идентичности связано с тем, что направление любого ненулевого перекрестного произведения всегда ортогональный к любому элементу умноженному. То есть невозможно получить ненулевой вектор в том же направлении, что и исходный. Еще один пример группы без элемента идентичности включает добавление полугруппа из положительный натуральные числа.
Смотрите также
- Поглощающий элемент
- Противоположное число
- Обобщенная обратная
- Идентичность (уравнение)
- Функция идентичности
- Обратный элемент
- Моноид
- Псевдокольцо
- Квазигруппа
- Unital (значения)
Примечания и ссылки
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - идентичность". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-01.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Элемент идентичности». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-01.
- ^ «Определение ЭЛЕМЕНТА ИДЕНТИЧНОСТИ». www.merriam-webster.com. Получено 2019-12-01.
- ^ а б c «Элемент идентичности». www.encyclopedia.com. Получено 2019-12-01.
- ^ Фрали (1976), п. 21)
- ^ Борегар и Фрали (1973), п. 96)
- ^ Фрали (1976), п. 18)
- ^ Герштейн (1964, п. 26)
- ^ Маккой (1973), п. 17)
- ^ "Элемент идентичности | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2019-12-01.
- ^ «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-13.
- ^ Борегар и Фрали (1973), п. 135)
- ^ Фрали (1976), п. 198)
- ^ Маккой (1973), п. 22)
- ^ Фрали (1976), стр. 198,266)
- ^ Герштейн (1964, п. 106)
- ^ Маккой (1973), п. 22)
Библиография
- Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Компания Houghton Mifflin, ISBN 0-395-14017-X
- Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Литература: Эддисон-Уэсли, ISBN 0-201-01984-1
- Герштейн, И. Н. (1964), Темы по алгебре, Уолтем: Издательство Blaisdell, ISBN 978-1114541016
- Маккой, Нил Х. (1973), Введение в современную алгебру, исправленное издание, Бостон: Аллин и Бэкон, LCCN 68015225
дальнейшее чтение
- М. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетенным изделиям и графам, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000 г., ISBN 3-11-015248-7, п. 14–15