WikiDer > Неполная гамма-функция

Верхняя неполная гамма-функция для некоторых значений s: 0 (синий), 1 (красный), 2 (зеленый), 3 (оранжевый), 4 (фиолетовый).

В математика, то верхний и нижние неполные гамма-функции типы специальные функции которые возникают как решения различных математических задач, таких как определенные интегралы.

Их соответствующие имена происходят из их интегральных определений, которые определяются аналогично гамма-функция но с другими или «неполными» интегральными пределами. Гамма-функция определяется как интеграл от нуля до бесконечности. Это контрастирует с нижней неполной гамма-функцией, которая определяется как интеграл от нуля до переменного верхнего предела. Аналогично, неполная верхняя гамма-функция определяется как интеграл от нижнего предела переменной до бесконечности.

Определение

Верхняя неполная гамма-функция определяется как:

${ Displaystyle Gamma (s, x) = int _ {x} ^ { infty} t ^ {s-1} , e ^ {- t} , { rm {d}} t, , !}$

тогда как нижняя неполная гамма-функция определяется как:

${ displaystyle gamma (s, x) = int _ {0} ^ {x} t ^ {s-1} , e ^ {- t} , { rm {d}} t. , !}$

Характеристики

В обоих случаях s является сложным параметром, так что действительная часть s положительный.

К интеграция по частям мы находим повторяющиеся отношения

${ Displaystyle Gamma (s + 1, x) = s Gamma (s, x) + x ^ {s} e ^ {- x}}$

и

${ displaystyle gamma (s + 1, x) = s gamma (s, x) -x ^ {s} e ^ {- x}.}$

Поскольку обычная гамма-функция определяется как

${ displaystyle Gamma (s) = int _ {0} ^ { infty} t ^ {s-1} , e ^ {- t} , { rm {d}} t}$

у нас есть

${ Displaystyle Gamma (s) = Gamma (s, 0) = lim _ {x to infty} gamma (s, x)}$

и

${ displaystyle gamma (s, x) + Gamma (s, x) = Gamma (s).}$

Продолжение сложных ценностей

Нижняя неполная гамма и верхняя неполная гамма-функция, как определено выше для реальных положительных s и Икс, может быть преобразован в голоморфные функции, в отношении как Икс и s, определенная почти для всех комбинаций сложных Икс и s.^[1] Комплексный анализ показывает, как свойства реальных неполных гамма-функций распространяются на их голоморфные аналоги.

Нижняя неполная гамма-функция

Голоморфное расширение

Повторное применение рекуррентного соотношения для нижняя неполная гамма функция приводит к степенной ряд расширение: [2]

${ displaystyle gamma (s, x) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {s} e ^ {- x} x ^ {k}} {s (s + 1) cdots (s + k)}} = x ^ {s} , Gamma (s) , e ^ {- x} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {k}} { Gamma (s + k + 1)}}.}$

Учитывая Стремительный рост в абсолютная величина из Γ (z + k) когда k → ∞, и тот факт, что обратная Γ (z) является вся функция, коэффициенты в самой правой сумме определены корректно, и локально сумма сходится равномерно для всего комплекса s и Икс. По теореме Вейерштрасса^[2] предельная функция, иногда обозначаемая как ${ displaystyle gamma ^ {*}}$,

${ displaystyle gamma ^ {*} (s, z): = e ^ {- z} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} { Gamma (s + k + 1)}}}$ [3]

является весь в отношении обоих z (для фиксированных s) и s (для фиксированных z) [4], а значит, голоморфна на ℂ × ℂ по Теорема Хартога[5]. Следовательно, следующие разложение

${ Displaystyle гамма (s, z) = z ^ {s} , Gamma (s) , gamma ^ {*} (s, z)}$ [6],

расширяет реальную нижнюю неполную гамма-функцию как голоморфная функция, как совместно, так и по отдельности в z и s. Из свойств ${ displaystyle z ^ {s}}$ и Γ-функция, что первые два фактора отражают особенности из ${ displaystyle gamma (s, z)}$ (в z = 0 или s неположительное целое число), тогда как последний множитель вносит вклад в его нули.

Многозначность

В комплексный логарифм бревноz = журнал |z| + я аргументz определяется только с точностью, кратной 2πi, что делает его многозначный. Функции, использующие комплексный логарифм, обычно наследуют это свойство. Среди них комплексная мощность, и с тех пор z^s в его разложении появляется и γ-функция.

Неопределенность многозначных функций вносит сложности, поскольку необходимо указать, как выбрать значение. Стратегии решения этой проблемы:

• (наиболее общий способ) заменить область определения многозначных функций ℂ на подходящее многообразие в ×, называемое Риманова поверхность. Хотя это устраняет многозначность, нужно знать теорию, лежащую в основе этого. [7];
• ограничить область определения таким образом, чтобы многозначная функция разлагалась на отдельные однозначные ветви, с которыми можно обращаться индивидуально.

Для правильной интерпретации формул в этом разделе можно использовать следующий набор правил. Если не указано иное, предполагается следующее:

Секторов

Секторы в, имеющие вершину в z = 0 часто оказывается подходящей областью для сложных выражений. Сектор D состоит из всего комплекса z выполнение z ≠ 0 и α − δ <аргумент z < α + δ с некоторыми α и 0 < δ ≤ π. Часто, α могут быть выбраны произвольно и не указываются. Если δ не дано, предполагается, что он равен π, и фактически сектор представляет собой всю плоскость, за исключением полупрямой, начинающейся в z = 0 и указывающий в направлении -α, обычно служащий срезанная ветка. Примечание: во многих приложениях и текстах α молча принимается равным 0, что центрирует сектор вокруг положительной вещественной оси.

ветви

В частности, однозначный и голоморфный логарифм существует на любом таком секторе D, мнимая часть которого связана с диапазоном (α − δ, α + δ). На основе такого ограниченного логарифма z^s а неполные гамма-функции, в свою очередь, коллапсируют до однозначных голоморфных функций на D (или же ℂ×D), называемые ветвями своих многозначных аналогов на D. Добавление кратного 2π к α дает другой набор коррелированных ветвей на том же наборе D. Однако в любом данном контексте α считается фиксированным, и с ним связаны все задействованные ветви. Если |α| < δ, ветви называются главный, потому что они равны своим действительным аналогам на положительной действительной оси. Примечание: во многих приложениях и текстах формулы верны только для основных ветвей.

Связь между ветвями

Значения различных ветвей как комплексной степенной функции, так и нижней неполной гамма-функции могут быть получены друг из друга путем умножения ${ Displaystyle е ^ {2 пи mathrm {я} кс}}$[8], за k подходящее целое число.

Поведение возле точки ветвления

Приведенное выше разложение показывает, что γ ведет себя вблизи z = 0 асимптотически подобно:

${ Displaystyle gamma (s, z) asymp z ^ {s} , Gamma (s) , gamma ^ {*} (s, 0) = z ^ {s} , Gamma (s) / Гамма (s + 1) = z ^ {s} / s.}$

Для положительного реального Икс, у и s, Икс^у/ y → 0, когда (Икс, у) → (0, s). Кажется, это оправдывает установку γ (s, 0) = 0 серьезно s > 0. Однако в сложной сфере дела обстоят несколько иначе. Только если (а) действительная часть s положительна, и (б) значения ты^v взяты только из конечного набора ветвей, они гарантированно сходятся к нулю при (ты, v) → (0, s), как и γ(ты, v). На одном ответвляться из γ(б) естественно выполняется, поэтому там γ(s, 0) = 0 для s с положительной реальной частью непрерывный предел. Также отметим, что такое продолжение ни в коем случае не аналитический.

Алгебраические отношения

Все алгебраические соотношения и дифференциальные уравнения, наблюдаемые действительной γ(s, z) справедливы и для его голоморфного аналога. Это следствие теоремы тождества [9], утверждая, что уравнения между голоморфными функциями, действительными на вещественном интервале, выполняются всюду. В частности, рекуррентное соотношение [10] и ∂γ(s,z)/∂z = z^s−1 е^−z [11] сохраняются в соответствующих ветках.

Интегральное представление

Последнее соотношение говорит нам, что при фиксированном s, γ это примитивный или первообразный голоморфной функции z^s−1 е^−z. Как следствие, [12], для любого комплекса ты, v ≠ 0,

${ displaystyle int _ {u} ^ {v} t ^ {s-1} , e ^ {- t} , { rm {d}} t = gamma (s, v) - gamma ( s, u)}$

держится, пока путь интеграции целиком содержится в области определения ветви подынтегрального выражения. Если, кроме того, действительная часть s положительно, то предел γ(s, ты) → 0 для ты → 0 применяется, наконец, придя к комплексному интегральному определению γ

${ displaystyle gamma (s, z) = int _ {0} ^ {z} t ^ {s-1} , e ^ {- t} , { rm {d}} t, , Re (s)> 0.}$[13]

Здесь действителен любой путь интегрирования, содержащий 0 только в начале, иначе ограниченный областью ветви подынтегрального выражения, например прямая, соединяющая 0 и z.

Лимит на z → +∞

Реальные ценности

Учитывая интегральное представление главной ветви кривой γ, для всех положительных вещественных s, x выполняется следующее уравнение:[14]

${ Displaystyle Gamma (s) = int _ {0} ^ { infty} t ^ {s-1} , e ^ {- t} , { rm {d}} t = lim _ { x rightarrow infty} gamma (s, x)}$

s сложный

Этот результат распространяется на сложные s. Предположим сначала 1 ≤ Re (с) ≤ 2 и 1 <а <б. потом

${ displaystyle | gamma (s, b) - gamma (s, a) | leq int _ {a} ^ {b} | t ^ {s-1} | e ^ {- t} , { rm {d}} t = int _ {a} ^ {b} t ^ { Re s-1} e ^ {- t} , { rm {d}} t leq int _ {a } ^ {b} te ^ {- t} , { rm {d}} t}$

куда

${ Displaystyle | z ^ {s} | = | z | ^ { Re s} , e ^ {- Im s arg z}}$[15]

был использован в середине. Поскольку окончательный интеграл становится сколь угодно малым, если только а достаточно велико, γ (s, x) сходится равномерно при Икс → ∞ на полосе 1 ≤ Re (с) ≤ 2 к голоморфной функции,^[3] который должен быть Γ (s) в силу теоремы о тождестве [16]. Переходя к пределу в рекуррентном соотношении γ(s,Икс) = (s − 1)γ(s − 1,Икс) − Икс^s−1 е^−Икс и отмечая, что lim Икс^п е^−Икс = 0 для Икс → ∞ и все n, показывает, что γ (s, x) сходится и вне полосы к функции, подчиняющейся рекуррентному соотношению Γ-функции. Следует

${ Displaystyle Gamma (s) = lim _ {x rightarrow infty} gamma (s, x)}$

для всего комплекса s не целое неположительное число, Икс настоящий и γ главный.

Секторная конвергенция

Теперь позвольте ты быть из сектора | arg z| < δ < π/ 2 с некоторыми фиксированными δ (α = 0), γ быть главной ветвью в этом секторе, и посмотрите на

${ Displaystyle Gamma (s) - gamma (s, u) = Gamma (s) - gamma (s, | u |) + gamma (s, | u |) - gamma (s, u) .}$

Как показано выше, первое различие можно сделать сколь угодно малым, если |ты| достаточно большой. Второе отличие позволяет сделать следующие оценки:

${ displaystyle | gamma (s, | u |) - gamma (s, u) | leq int _ {u} ^ {| u |} | z ^ {s-1} e ^ {- z} | , { rm {d}} z = int _ {u} ^ {| u |} | z | ^ { Re s-1} , e ^ {- Im s , arg z} , e ^ {- Re z} , { rm {d}} z,}$

где мы использовали интегральное представление γ и формулу о | z^s| над. Если проинтегрировать по дуге радиуса р = |ты| около 0 подключений ты и |ты|, то последний интеграл равен

${ Displaystyle Leq R | arg u | , R ^ { Re s-1} , e ^ { Im s , | arg u |} , e ^ {- R cos arg u } leq delta , R ^ { Re s} , e ^ { Im s , delta} , e ^ {- R cos delta} = M , (R , cos дельта) ^ { Re s} , e ^ {- R cos delta}}$

куда M = δ(потому что δ)^{−Re s} е^{Я sδ} постоянная, не зависящая от ты или же р. Снова обращаясь к поведению Икс^п е^−Икс для больших Икс, мы видим, что последнее выражение стремится к 0 при р возрастает в сторону ∞, итого теперь имеем:

${ Displaystyle Gamma (s) = lim _ {| z | rightarrow infty} gamma (s, z), quad | arg z | < pi / 2- epsilon,}$

если s не является целым неотрицательным числом, 0 < ε < π/ 2 сколь угодно мало, но фиксировано, и γ обозначает главную ветвь в этом домене.

Обзор

${ displaystyle gamma (s, z)}$ является:

• весь в z для фиксированного положительного интеграла s;
• многозначный голоморфный в z для фиксированного s не целое число, с точка разветвления в z = 0;
• на каждой ветке мероморфный в s для фиксированного z ≠ 0, с простыми полюсами при целых неположительных числах s.

Верхняя неполная гамма-функция

Для верхняя неполная гамма-функция, а голоморфный расширение, относительно z или же s, дан кем-то

${ Displaystyle Gamma (s, z) = Gamma (s) - gamma (s, z)}$ [17]

в точках (s, z), где правая часть существует. С ${ displaystyle gamma}$ многозначна, то же верно и для ${ displaystyle Gamma}$, но ограничение на главные значения дает только однозначную главную ветвь ${ displaystyle Gamma}$.

Когда s является неположительным целым числом в приведенном выше уравнении, ни одна из частей разности не определена, и ограничивающий процесс, здесь разработан для s → 0, заполняет недостающие значения. Комплексный анализ гарантии голоморфность, потому что ${ displaystyle Gamma (s, z)}$ оказывается ограниченный в район этого лимита для фиксированного z[18].

Чтобы определить предел, степенной ряд ${ displaystyle gamma ^ {*}}$ в z = 0 оказывается полезным. При замене ${ displaystyle e ^ {- x}}$ своим степенным рядом в интегральном определении ${ displaystyle gamma}$, получаем (предположим Икс,s положительные реалы пока):

${ displaystyle gamma (s, x) = int _ {0} ^ {x} t ^ {s-1} e ^ {- t} operatorname {d} t = int _ {0} ^ {x } sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} , { frac {t ^ {s + k-1}} {k!}} operatorname {d} t = sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} , { frac {x ^ {s + k}} {k! (s + k)}} = x ^ {s } , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-x) ^ {k}} {k! (s + k)}}}$

или же

${ displaystyle gamma ^ {*} (s, x) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-x) ^ {k}} {k! , Gamma (s ) (s + k)}}.}$ [19]

который, как представление всей совокупности ${ displaystyle gamma ^ {*}}$ функция, сходится для всех сложных Икс (и все сложные s не целое неположительное число).

С снятием ограничения на реальные значения, серия допускает расширение:

${ displaystyle gamma (s, z) - { frac {1} {s}} = - { frac {1} {s}} + z ^ {s} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ {k}} {k! (s + k)}} = { frac {z ^ {s} -1} {s}} + z ^ {s} , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-z) ^ {k}} {k! (s + k)}}, quad Re (s)> - 1, , s neq 0.}$

Когда s → 0:

${ displaystyle { frac {z ^ {s} -1} {s}} rightarrow ln (z), quad Gamma (s) - { frac {1} {s}} = { frac { 1} {s}} - gamma + O (s) - { frac {1} {s}} rightarrow - gamma}$,^[4]

(${ displaystyle gamma}$ это Константа Эйлера – Маскерони здесь), следовательно,

${ Displaystyle Gamma (0, z) = lim _ {s rightarrow 0} left ( Gamma (s) - { tfrac {1} {s}} - ( gamma (s, z) - { tfrac {1} {s}}) right) = - gamma - ln (z) - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-z) ^ {k}} {к , (к!)}}}$

- функция, ограничивающая верхнюю неполную гамма-функцию как s → 0, также известный как экспоненциальный интеграл ${ Displaystyle E_ {1} (г)}$.^[5]

Посредством рекуррентного соотношения значения ${ displaystyle Gamma (-n, z)}$ для положительных целых чисел п можно вывести из этого результата,^[6]

${ displaystyle Gamma (-n, z) = { frac {1} {n!}} left ({ frac {e ^ {- z}} {z ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} (nk-1)! , Z ^ {k} + (- 1) ^ {n} Gamma (0, z) right)}$

таким образом, верхняя неполная гамма-функция оказывается существующей и голоморфной по отношению как к z и s, для всех s и z ≠ 0.

${ displaystyle Gamma (s, z)}$ является:

• весь в z для фиксированного положительного интеграла s;
• многозначный голоморфный в z для фиксированного s ненулевое и не положительное целое число, с точка разветвления в z = 0;
• = ${ displaystyle Gamma (s)}$ за s с положительной реальной частью и z = 0 (предел при ${ displaystyle (s_ {i}, z_ {i}) rightarrow (s, 0)}$), но это непрерывное расширение, а не аналитический (не справедливы для действительных s <0!);
• на каждой ветке весь в s для фиксированного z ≠ 0.

Особые ценности

• ${ displaystyle Gamma (s + 1,1) = { frac { lfloor es! rfloor} {e}}}$ если s положительный целое число,
• ${ displaystyle Gamma (s, x) = (s-1)! , e ^ {- x} sum _ {k = 0} ^ {s-1} { frac {x ^ {k}} { k!}}}$ если s положительный целое число,^[7]
• ${ Displaystyle Gamma (s, 0) = Gamma (s), Re (s)> 0}$,
• ${ Displaystyle Gamma (1, х) = е ^ {- х}}$,
• ${ Displaystyle гамма (1, х) = 1-е ^ {- х}}$,
• ${ displaystyle Gamma (0, x) = - operatorname {Ei} (-x)}$ за ${ displaystyle x> 0}$,
• ${ displaystyle Gamma (s, x) = x ^ {s} operatorname {E} _ {1-s} (x)}$,
• ${ displaystyle Gamma left ({ tfrac {1} {2}}, x right) = { sqrt { pi}} operatorname {erfc} left ({ sqrt {x}} right) }$,
• ${ displaystyle gamma left ({ tfrac {1} {2}}, x right) = { sqrt { pi}} operatorname {erf} left ({ sqrt {x}} right) }$.

Здесь, ${ displaystyle operatorname {Ei}}$ это экспоненциальный интеграл, ${ displaystyle operatorname {E} _ {n}}$ это обобщенный экспоненциальный интеграл, ${ displaystyle operatorname {erf}}$ это функция ошибки, и ${ displaystyle operatorname {erfc}}$ это дополнительная функция ошибок, ${ displaystyle operatorname {erfc} (x) = 1- operatorname {erf} (x)}$.

Асимптотическое поведение

• ${ displaystyle { frac { gamma (s, x)} {x ^ {s}}} rightarrow { frac {1} {s}}}$ в качестве ${ displaystyle x rightarrow 0}$,
• ${ displaystyle { frac { Gamma (s, x)} {x ^ {s}}} rightarrow - { frac {1} {s}}}$ в качестве ${ displaystyle x rightarrow 0}$ и ${ Displaystyle Re (s) <0}$ (серьезно s, ошибка Γ (s, Икс) ~ −Икс^s / s находится в порядке О(Икс^{min {s + 1, 0}}) если s ≠ −1 и О(ln (Икс)) если s = −1),
• ${ Displaystyle гамма (s, х) rightarrow гамма (s)}$ в качестве ${ Displaystyle х rightarrow infty}$,
• ${ displaystyle { frac { Gamma (s, x)} {x ^ {s-1} e ^ {- x}}} rightarrow 1}$ в качестве ${ Displaystyle х rightarrow infty}$,
• ${ Displaystyle Gamma (s, z) sim z ^ {s-1} e ^ {- z} sum _ {k = 0} { frac { Gamma (s)} { Gamma (sk)} } z ^ {- k}}$ как асимптотический ряд куда ${ Displaystyle | г | к infty}$ и ${ displaystyle left | arg z right | <{ tfrac {3} {2}} pi}$.^[8]

Формулы оценки

Нижнюю гамма-функцию можно оценить с помощью разложения степенного ряда: [20]

${ displaystyle gamma (s, z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {s} e ^ {- z} z ^ {k}} {s (s + 1) ... (s + k)}} = z ^ {s} e ^ {- z} sum _ {k = 0} ^ { infty} { dfrac {z ^ {k}} {s ^ { overline {k + 1}}}}}$

куда ${ displaystyle s ^ { overline {k + 1}}}$это Символ Поххаммера.

Альтернативное расширение

${ displaystyle gamma (s, z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k!}} { frac {z ^ {s + k}} {s + k}} = { frac {z ^ {s}} {s}} M (s, s + 1, -z),}$

куда M Куммера конфлюэнтная гипергеометрическая функция.

Связь с конфлюэнтной гипергеометрической функцией Куммера

Когда настоящая часть z положительный,

${ Displaystyle гамма (s, z) = s ^ {- 1} z ^ {s} e ^ {- z} M (1, s + 1, z)}$

куда

${ Displaystyle M (1, s + 1, z) = 1 + { frac {z} {(s + 1)}} + { frac {z ^ {2}} {(s + 1) (s + 2)}} + { frac {z ^ {3}} {(s + 1) (s + 2) (s + 3)}} + cdots}$

имеет бесконечный радиус сходимости.

Снова с конфлюэнтные гипергеометрические функции и используя личность Куммера,

${ displaystyle { begin {align} Gamma (s, z) & = e ^ {- z} U (1-s, 1-s, z) = { frac {z ^ {s} e ^ {- z}} { Gamma (1-s)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- u}} {u ^ {s} (z + u)}} { rm {d}} u = & = e ^ {- z} z ^ {s} U (1,1 + s, z) = e ^ {- z} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- u} (z + u) ^ {s-1} { rm {d}} u = e ^ {- z} z ^ {s} int _ {0} ^ { infty} e ^ {-zu} (1 + u) ^ {s-1} { rm {d}} u. end {выравнивается}}}$

Для фактического вычисления числовых значений, Непрерывная дробь Гаусса предоставляет полезное расширение:

${ displaystyle gamma (s, z) = { cfrac {z ^ {s} e ^ {- z}} {s - { cfrac {sz} {s + 1 + { cfrac {z} {s + 2 - { cfrac {(s + 1) z} {s + 3 + { cfrac {2z} {s + 4 - { cfrac {(s + 2) z} {s + 5 + { cfrac {3z) } {s + 6- ddots}}}}}}}}}}}}}}.}$

Эта цепная дробь сходится для всех сложных zпри условии, что s не является отрицательным целым числом.

Верхняя гамма-функция имеет непрерывную дробь

${ Displaystyle Gamma (s, z) = { cfrac {z ^ {s} e ^ {- z}} {z + { cfrac {1-s} {1 + { cfrac {1} {z + { cfrac {2-s} {1 + { cfrac {2} {z + { cfrac {3-s} {1+ ddots}}}}}}}}}}}}}}$^[9]

и

${ Displaystyle Gamma (s, z) = { cfrac {z ^ {s} e ^ {- z}} {1 + z-s + { cfrac {s-1} {3 + z-s + { cfrac {2 (s-2)} {5 + z-s + { cfrac {3 (s-3)} {7 + z-s + { cfrac {4 (s-4)} {9 + z-s + ddots) }}}}}}}}}}}$^{[нужна цитата]}

Теорема умножения

Следующее теорема умножения Справедливо:

${ displaystyle { begin {align} Gamma (s, z) & = { frac {1} {t ^ {s}}} sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac { left (1 - { frac {1} {t}} right) ^ {i}} {i!}} Gamma (s + i, tz) & = Gamma (s, tz) - (tz ) ^ {s} e ^ {- tz} sum _ {i = 1} ^ { infty} { frac { left ({ frac {1} {t}} - 1 right) ^ {i} } {i}} L_ {i-1} ^ {(si)} (tz). end {выравнивается}}}$

Программная реализация

Неполные гамма-функции доступны в различных системы компьютерной алгебры.

Однако, даже если они недоступны напрямую, неполные значения функций можно вычислить с помощью функций, обычно включенных в электронные таблицы (и пакеты компьютерной алгебры). В Excel, например, их можно рассчитать с помощью Гамма-функция в сочетании с Гамма-распределение функция.

Нижняя неполная функция: ${ displaystyle gamma (s, x)}$ = EXP (ГАММАЛЬН (ы)) * ГАММАРАСП (x; s; 1; ИСТИНА)

Верхняя неполная функция: ${ displaystyle Gamma (s, x)}$ = EXP (ГАММАЛЬН (ы)) * (1-ГАММАРАСП (x; s; 1; ИСТИНА)).

Это следует из определения Кумулятивная функция распределения гамма-распределения.

Регуляризованные гамма-функции и случайные величины Пуассона

Две связанные функции - это регуляризованные гамма-функции:

${ Displaystyle P (s, x) = { frac { gamma (s, x)} { Gamma (s)}},}$

${ Displaystyle Q (s, x) = { frac { Gamma (s, x)} { Gamma (s)}} = 1-P (s, x).}$

${ Displaystyle P (s, x)}$ это кумулятивная функция распределения за Гамма случайные величины с параметр формы ${ displaystyle s}$ и параметр масштаба 1.

Когда ${ displaystyle s}$ целое число, ${ displaystyle Q (s, lambda)}$ - кумулятивная функция распределения для Пуассоновские случайные величины: Если ${ displaystyle X}$ это ${ displaystyle { rm {Poi}} ( lambda)}$ случайная величина тогда

${ displaystyle Pr (X$

Эта формула может быть получена путем многократного интегрирования по частям.

Производные

Используя приведенное выше интегральное представление, производная верхней неполной гамма-функции ${ displaystyle Gamma (s, x)}$ относительно Икс является

${ displaystyle { frac { partial Gamma (s, x)} { partial x}} = - x ^ {s-1} e ^ {- x}}$

Производная по первому аргументу ${ displaystyle s}$ дан кем-то^[10]

${ Displaystyle { frac { partial Gamma (s, x)} { partial s}} = ln x Gamma (s, x) + x , T (3, s, x)}$

а вторую производную по

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} Gamma (s, x)} { partial s ^ {2}}} = ln ^ {2} x Gamma (s, x) + 2x [ ln x , T (3, s, x) + T (4, s, x)]}$

где функция ${ Displaystyle Т (м, с, х)}$ это частный случай G-функция Мейера

${ Displaystyle Т (м, s, х) = G_ {м-1, , м} ^ {, м, , 0} ! left ( left. { begin {matrix} 0,0, dots, 0 s-1, -1, dots, -1 end {matrix}} ; right | , x right).}$

Этот особый случай имеет внутренние закрытие собственные свойства, потому что его можно использовать для выражения все последовательные производные. В целом,

${ displaystyle { frac { partial ^ {m} Gamma (s, x)} { partial s ^ {m}}} = ln ^ {m} x Gamma (s, x) + mx , sum _ {n = 0} ^ {m-1} P_ {n} ^ {m-1} ln ^ {mn-1} x , T (3 + n, s, x)}$

куда ${ Displaystyle P_ {j} ^ {n}}$ это перестановка определяется Символ Поххаммера:

${ displaystyle P_ {j} ^ {n} = left ({ begin {array} {l} n j end {array}} right) j! = { frac {n!} {(nj )!}}.}$

Все такие производные можно последовательно генерировать из:

${ Displaystyle { frac { partial T (m, s, x)} { partial s}} = ln x ~ T (m, s, x) + (m-1) T (m + 1, s ,Икс)}$

и

${ displaystyle { frac { partial T (m, s, x)} { partial x}} = - { frac {1} {x}} [T (m-1, s, x) + T ( m, s, x)]}$

Эта функция ${ Displaystyle Т (м, с, х)}$ можно вычислить из его представления в виде ряда, действительного для ${ Displaystyle | г | <1}$,

${ displaystyle T (m, s, z) = - { frac {(-1) ^ {m-1}} {(m-2)!}} { frac {{ rm {d}} ^ { m-2}} {{ rm {d}} t ^ {m-2}}} left [ Gamma (st) z ^ {t-1} right] { Big |} _ {t = 0 } + sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} z ^ {s-1 + n}} {n! (- sn) ^ {m-1} }}}$

с пониманием того, что s не является отрицательным целым числом или нулем. В таком случае необходимо использовать лимит. Результаты для ${ Displaystyle | г | geq 1}$ можно получить аналитическое продолжение. Некоторые частные случаи этой функции можно упростить. Например, ${ Displaystyle T (2, s, x) = Gamma (s, x) / x}$, ${ Displaystyle х , Т (3,1, х) = { rm {E}} _ {1} (х)}$, куда ${ Displaystyle { rm {E}} _ {1} (х)}$ это Экспоненциальный интеграл. Эти производные и функция ${ Displaystyle Т (м, с, х)}$ обеспечивают точные решения ряда интегралов путем повторного дифференцирования интегрального определения верхней неполной гамма-функции.^[11][12]Например,

${ displaystyle int _ {x} ^ { infty} { frac {t ^ {s-1} ln ^ {m} t} {e ^ {t}}} { rm {d}} t = { frac { partial ^ {m}} { partial s ^ {m}}} int _ {x} ^ { infty} { frac {t ^ {s-1}} {e ^ {t} }} { rm {d}} t = { frac { partial ^ {m}} { partial s ^ {m}}} Gamma (s, x)}$

Эту формулу можно продолжить надутый или обобщить на огромный класс Преобразования Лапласа и Меллин трансформируется. В сочетании с система компьютерной алгебры, использование специальных функций обеспечивает мощный метод решения определенных интегралов, в частности тех, которые встречаются в практических инженерных приложениях (см. Символическая интеграция Больше подробностей).

Неопределенные и определенные интегралы

Следующие неопределенные интегралы легко получить, используя интеграция по частям (с постоянная интеграции опущено в обоих случаях):

${ displaystyle int x ^ {b-1} gamma (s, x) mathrm {d} x = { frac {1} {b}} left (x ^ {b} gamma (s, x) ) - gamma (s + b, x) right),}$

${ displaystyle int x ^ {b-1} Gamma (s, x) mathrm {d} x = { frac {1} {b}} left (x ^ {b} Gamma (s, x) ) - Gamma (s + b, x) right).}$

Нижняя и верхняя неполные гамма-функции связаны через преобразование Фурье:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { gamma left ({ frac {s} {2}}, z ^ {2} pi right)} {(z ^ {2} pi) ^ { frac {s} {2}}}} e ^ {- 2 pi ikz} mathrm {d} z = { frac { Gamma left ({ frac {1 -s} {2}}, k ^ {2} pi right)} {(k ^ {2} pi) ^ { frac {1-s} {2}}}}.}.}$

Это следует, например, за счет подходящей специализации (Градштейн и Рыжик 2015, §7.642) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFGradshteynRyzhik2015 (помощь).

Примечания

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 6.5». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. МИСТЕР 0167642. LCCN 65-12253. «Неполная гамма-функция». §6.5.
• Алласия, Джампьетро; Безенги, Рената (1986). «Численный расчет неполных гамма-функций по правилу трапеций». Нумер. Математика. 50 (4): 419–428. Дои:10.1007 / BF01396662. S2CID 121964300.
• Аморе, Паоло (2005). «Асимптотические и точные представления в виде ряда для неполной гамма-функции». Europhys. Латыш. 71 (1): 1–7. arXiv:math-ph / 0501019. Bibcode:2005ЭЛ ..... 71 .... 1А. Дои:10.1209 / epl / i2005-10066-6. МИСТЕР 2170316. S2CID 1921569.
• Г. Арфкен и Х. Вебер. Математические методы для физиков. Харкорт / Академик Пресс, 2000. (См. Главу 10.)
• ДиДонато, Армидо Р .; Моррис-младший, Альфред Х. (декабрь 1986 г.). «Вычисление отношений неполных гамма-функций и их обратных». Транзакции ACM на математическом ПО. 12 (4): 377–393. Дои:10.1145/22721.23109. S2CID 14351930.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Баракат, Ричард (1961). «Оценка неполной гамма-функции мнимого аргумента полиномами Чебышева». Математика. Comp. 15 (73): 7–11. Дои:10.1090 / s0025-5718-1961-0128058-1. МИСТЕР 0128058.
• Царский Петр; Поласек, Мартин (1998). "Неполная гамма F_m (х) функции для вещественных и сложных аргументов ". J. Comput. Phys. 143 (1): 259–265. Bibcode:1998JCoPh.143..259C. Дои:10.1006 / jcph.1998.5975. МИСТЕР 1624704.
• Чаудри, М. Аслам; Зубайр, С. М. (1995). «О разложении обобщенных неполных гамма-функций с приложениями к преобразованиям Фурье». J. Comput. Appl. Математика. 59 (101): 253–284. Дои:10.1016 / 0377-0427 (94) 00026-з. МИСТЕР 1346414.
• ДиДонато, Армидо Р .; Моррис-младший, Альфред Х. (сентябрь 1987 г.). «АЛГОРИТМ 654: подпрограммы FORTRAN для вычисления неполных соотношений гамма-функций и их обратных». Транзакции ACM на математическом ПО. 13 (3): 318–319. Дои:10.1145/29380.214348. S2CID 19902932.CS1 maint: ref = harv (связь) (Смотрите также www.netlib.org/toms/654).
• Früchtl, H .; Отто, П. (1994). «Новый алгоритм для оценки неполной гамма-функции на векторных компьютерах». ACM Trans. Математика. Softw. 20 (4): 436–446. Дои:10.1145/198429.198432. S2CID 16737306.
• Гаучи, Уолтер (1998). «Неполная гамма-функция времен Трикоми». Atti Convegni Lincei. 147: 203–237. МИСТЕР 1737497.
• Гаучи, Уолтер (1999). «Примечание о рекурсивном вычислении неполных гамма-функций». ACM Trans. Математика. Softw. 25 (1): 101–107. Дои:10.1145/305658.305717. МИСТЕР 1697463. S2CID 36469885.
• Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «8.35.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. С. 908–911. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Джонс, Уильям Б .; Трон, В. Дж. (1985). «О вычислении неполных гамма-функций в комплексной области». J. Comput. Appl. Математика. 12-13: 401–417. Дои:10.1016/0377-0427(85)90034-2. МИСТЕР 0793971.
• «Неполная гамма-функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Матар, Ричард Дж. (2004). «Численное представление неполной гамма-функции комплексного аргумента». Численные алгоритмы. 36 (3): 247–264. arXiv:математика / 0306184. Bibcode:2004НуАлг..36..247М. Дои:10.1023 / B: NUMA.0000040063.91709.58. МИСТЕР 2091195. S2CID 30860614.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Miller, Allen R .; Московиц, Ира С. (1998). «О некоторых обобщенных неполных гамма-функциях». J. Comput. Appl. Математика. 91 (2): 179–190. Дои:10.1016 / s0377-0427 (98) 00031-4.
• Пэрис, Р. Б. (2010), «Неполная гамма-функция», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МИСТЕР 2723248
• Пэрис, Р. Б. (2002). «Равномерное асимптотическое разложение для неполной гамма-функции». J. Comput. Appl. Математика. 148 (2): 323–339. Bibcode:2002JCoAM.148..323P. Дои:10.1016 / S0377-0427 (02) 00553-8. МИСТЕР 1936142.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Такенага, Рой (1966). «Об оценке неполной гамма-функции». Математика. Comp. 20 (96): 606–610. Дои:10.1090 / S0025-5718-1966-0203911-3. МИСТЕР 0203911.
• Темме, Нико (1975). «Равномерные асимптотические разложения неполных гамма-функций и неполных бета-функций». Математика. Comp. 29 (132): 1109–1114. Дои:10.1090 / S0025-5718-1975-0387674-2. МИСТЕР 0387674.
• Террас, Рихо (1979). «Определение неполных гамма-функций посредством аналитического интегрирования». J. Comput. Phys. 31 (1): 146–151. Bibcode:1979JCoPh..31..146T. Дои:10.1016/0021-9991(79)90066-4. МИСТЕР 0531128.
• Трикоми, Франческо Г. (1950). "Sulla funzione gamma incompleta". Анна. Мат. Pura Appl. 31: 263–279. Дои:10.1007 / BF02428264. МИСТЕР 0047834. S2CID 120404791.
• Трикоми, Ф. Г. (1950). "Asymptotische Eigenschaften der unvollst. Гаммафункция". Математика. Z. 53 (2): 136–148. Дои:10.1007 / bf01162409. МИСТЕР 0045253. S2CID 121234109.
• ван Деун, Йорис; Охлаждает, Рональд (2006). «Устойчивое повторение неполной гамма-функции с мнимым вторым аргументом». Нумер. Математика. 104 (4): 445–456. Дои:10.1007 / s00211-006-0026-1. МИСТЕР 2249673. S2CID 43780150.
• Виницки, Серж (2003). «Вычисление неполной гамма-функции с произвольной точностью». Лект. Нет. Комп. Наука. Конспект лекций по информатике. 2667: 790–798. Дои:10.1007 / 3-540-44839-x_83. ISBN 978-3-540-40155-1. МИСТЕР 2110953.
• Вайсштейн, Эрик В. «Неполная гамма-функция». MathWorld.

внешняя ссылка

• ${ Displaystyle P (а, х)}$ — Калькулятор регуляризованной нижней неполной гамма-функции
• ${ Displaystyle Q (а, х)}$ — Калькулятор регулярной верхней неполной гамма-функции
• ${ Displaystyle гамма (а, х)}$ — Калькулятор нижней неполной гамма-функции
• ${ Displaystyle Gamma (а, х)}$ — Калькулятор неполной верхней гамма-функции
• формулы и тождества неполной гамма-функции functions.wolfram.com