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Das Izbash-Formel ist eine Formel zur Stabilitätsberechnung von hydraulischer Baustein im fließenden Wasser.

Die Fließstabilität von körnigem Material kann mit dem Schild Formel oder die Izbash-Formel. Ersteres eignet sich eher für feinkörniges Material (wie Sand und Kies), während die Izbash-Formel eher für größeres Gestein geeignet ist. Die Izbash-Formel wurde entwickelt von Sergej Wladimirowitsch Izbash.In allgemeiner Form lautet die Formel^[1]

${displaystyle {frac {u_{c}}{sqrt {Delta gd}}}=1.7}$ ... oder ... ${Displaystil Delta d=0,7{frac {u^{2}}{2g}}}$

in welchem:

Sie_c = Strömungsgeschwindigkeit in der Nähe des Steins

Δ = relativ Dichte des Steins (= (ρ_so -ρ_w)/ρ_w) in welchem ρ_so die Dichte des Steins und ρ_w die Dichte des Wassers ist

G = Beschleunigung des Schwere

d = Durchmesser des Steins

Der Koeffizient 1,7 ist die von Izbash gemessene experimentelle Konstante. Tatsächlich enthält diese Konstante zwei Komponenten, nämlich einen Effekt für die Reibung, Trägheit usw. und eine Komponente, die den turbulenten Charakter der Strömung beschreibt. Die Verwendung des Koeffizienten 1,7 ist daher nur in Strömungen zulässig, bei denen die Turbulenz lokal durch die Rauheit des hydraulischen Bausteins erzeugt wird. In anderen Fällen muss dies angepasst werden.

Herleitung der Izbash-Formel

Kräfte auf einem Stein

Izbash betrachtete die Kräfte, die auf einen Felsen in der Strömung einwirken. Dies sind drei aktive Kräfte und zwei passive Kräfte. Die wirkenden Kräfte sind die Auftriebskraft f_l, die Reibungskraft f_so und die Widerstandskraft f_d. Die passiven Kräfte sind Gewicht W und die Widerstandskraft f_f. Betrachten wir nun das Momentengleichgewicht um Punkt A, dann f_f weg (weil der Arm Null ist) Die aktiven Kräfte können ausgeschrieben werden als:

${displaystyle { egin{matrix}F_{D}&={frac {1}{2}}C_{D}ho _{w}u^{2}A_{D}/F_{S}&={frac { 1}{2}}C_{F}ho _{w}u^{2}A_{S}/F_{L}&={frac {1}{2}}C_{L}ho _{w}u ^{2}A_{L}end{matrix}}Quad {Biggr ]}Quad Fsim ho _{w}u^{2}d^{2}}$

Die gesamte aktive Kraft ist also proportional zu ρ_wSie²d².Die verbleibende passive Kraft ist proportional zu (ρ_w-ρ_w)G²d. Und wenn dies gleichgesetzt wird, folgt daraus Sie_c²=kΔgd. Diese Formel kann auch in der Form wie oben auf der Seite geschrieben werden; der Koeffizient wurde durch Messungen ermittelt und beträgt 1,7.

Berechnungsbeispiel

Frage: Welche Gesteinsgröße wird benötigt, um den Boden eines Kanals von 1 m Tiefe bei einer durchschnittlichen Fließgeschwindigkeit von 2 m/s zu verteidigen?

Dies lässt sich leicht ermitteln, indem Sie die Formel umschreiben und die Werte eingeben. Die Izbash-Formel verlangt jedoch die Geschwindigkeit "in der Nähe des Steins", die nicht genau definiert ist. In der Praxis kann hierfür ein Wert von ca. 1 x Steindurchmesser oberhalb der Schutzschicht angesetzt werden. Bei einem normalen logarithmischen Strömungsprofil sind dies ca. 85 % der Durchschnittsgeschwindigkeit. Das ergibt einen Steindurchmesser von 6,3 cm (die Formel von Schilde ergibt in diesem Fall 6,5 cm).

Einschränkungen

Die Formel verwendet die Geschwindigkeit in der Nähe des Steins. Dies ist insbesondere bei rutschigen Böden und größeren Wassertiefen nicht einfach festzustellen. In diesen Fällen gilt die Formel von Schilde die Vorliebe.

Pilarczyk

Da der Koeffizient 0,7 sehr allgemein ist, hat Pilarczyk die Formel um 1985 angepasst, um genauere Berechnungen zu ermöglichen. ^[2] Diese Erweiterung hat die Form:

${displaystyle Delta d=0,035{frac {Phi }{Psi }}{frac {K_{t}K_{h}}{K_{s}}}{frac {u^{2}}{2g}}}$

in welchem:

Φ = Stabilitätsparameter, passt die Formel für verschiedene Strukturtypen an:

• φ = 1,25 am Ende der Ente einzelne Steinschicht
• φ = 1,0 am Ende eines Zinkstücks
• φ = 0,75 für zweilagigen Steinaufbau
• φ = 0,50 für durchgehende Zinkstücke
• der konservativste Wert ist 1,5.

Ψ = Der Schildparameter, dieser ist 0,035 für Schutt und 0,05 .für Steine

k_t = Turbulenzfaktor

• k_t = 0,67 für turbulente Strömung
• k_t = 1,0 für normale Turbulenz
• k_t = 1,5 in Flussbiegungen
• k_t = 2,0 - 2,5 in scharfen Flussbiegungen (Krümmungsradius < 5-fache Flussbreite)
• k_t = 3,0 bei hoher Turbulenz (Schneckendüsen)
• k_t = 4,0 extrem hohe Turbulenz (Schraubenradius bei festgemachten Schiffen)

k_ha = Tiefenfaktor

• gilt normalerweise ${displaystyle K_{h}={frac {2}{log({frac {12h}{K_{s}}})^{2}}}}$
• k_ha für ein nicht ausgereiftes Geschwindigkeitsprofil: ${displaystyle (1 {frac {h}{d}})^{0.2}}$

k_so= Steilheitsfaktor

Steigungseffekt auf die Stabilität

Die destabilisierende Wirkung einer Böschung lässt sich in zwei Komponenten aufteilen. In der nachfolgenden Erläuterung ist φ die Steigung der natürlichen Steigung des Bettmaterials. Es gibt eine Komponente entlang der Neigung (W sinα), die das effektive Gewicht senkrecht zur Neigung (Wcosα) reduziert. Ist die Steigung in die gleiche Richtung wie die Strömung (Abbildung b), dann ist die Stärke F(α_aufrecht) = Wcosα tanφ - Wsinα (Anmerkung: bei umgekehrter Strömung ist das Gestein stabiler und F=Wcosα tans Wsinα.) Die Beziehung zwischen F(α) und F(0) ergibt den Festigkeitsreduktionsfaktor:

${displaystyle K(alpha _{parallel})={frac {F(alpha _{parallel})}{F(0)}}={frac {Wcos alpha ein phi -Wsin alpha }{W ein phi }}={ frac {sin(phi -alpha)}{sin phi}}}$

Das gleiche Verfahren kann für einen Querneigungswinkel unter einem Winkel α durchgeführt werden, siehe Abbildung c. aber jetzt müssen die Komponenten als Vektoren hinzugefügt werden.

${displaystyle K(alpha)={frac {F(alpha)}{F(0)}}={sqrt {frac {cos ^{2}alpha an ^{2}phi -sin ^{2}alpha }{ an ^{2}phi }}}={sqrt {1-{frac {sin ^{2}alpha }{sin ^{2}phi }}}}}$

Bild d zeigt beide Reduktionsfaktoren für einen Wert von φ=40 Grad.

Da in dieser Version der Izbash-Formel ein Tiefenfaktor K_ha enthalten ist, kann die Geschwindigkeit als Durchschnittsgeschwindigkeit über den Steinen genommen werden, in der ursprünglichen Izbash-Formel war dies die Geschwindigkeit "in der Nähe des Steins", die nicht genau definiert war.

Wirkung von Turbulenzen

Relativgeschwindigkeit in einem Wirbel in der Nähe eines Gesteins ^[3]

Turbulenz hat auch einen großen Einfluss auf die Stabilität. Turbulente Wirbel geben dem Stein lokal eine große Geschwindigkeit, so dass einerseits Auftriebskraft und andererseits keine Auftriebskraft vorhanden ist. Dadurch wird der Stein sozusagen aus dem Bett geworfen. Siehe auch das Detail. In diesem Beispiel liegt der Stein auf der Koordinate (0,0). Links gibt es eine Relativgeschwindigkeit, also eine Auftriebskraft nach oben, rechts keine Relativgeschwindigkeit, also keine Auftriebskraft. Auf den Stein wirkt also ein Moment im Uhrzeigersinn, der dazu führt, dass er (zusammen mit der normalen Auftriebskraft der Hauptströmung) herausgedreht wird. Dies zeigt, warum sich ab einer bestimmten Geschwindigkeit nicht alle Steine ​​sofort in Bewegung setzen, sondern erst, wenn ein "passender" Wirbel dazukommt.

Detailschussgeschwindigkeit auf einen Stein ^[3]

Diese Zahlen sind Messungen der Fließgeschwindigkeit in einer vertikalen Ebene über einem Felsen. Die Durchflussmenge ist von links nach rechts. Dargestellt ist die Geschwindigkeit nach Abzug der Durchschnittsgeschwindigkeit, also eigentlich die Sie' und der v ' (für eine Erklärung siehe das Lemma über turbulente Strömung.

Der Einfluss von Turbulenzen auf die Stabilität ist daher besonders groß, wenn die Größe der turbulenten Wirbel in der Größenordnung der Größe des Gesteins liegt.

Es ist möglich, die Izbash-Formel zu modifizieren, um den Effekt von Turbulenzen genauer zu berücksichtigen ^[4] Ein Stein am Boden bewegt sich nur, wenn die Gesamtgeschwindigkeit (dh die Durchschnittsgeschwindigkeit plus die zusätzliche Geschwindigkeit durch den turbulenten Wirbel) einen bestimmten Wert überschreitet. Untersuchungen haben gezeigt, dass es bei dieser extremen Geschwindigkeit um ${displaystyle {overline {u}} 3sigma = (1 3r){overline {u}}}$ ist wo ${Displaystil-Sigma}$ die Standardabweichung der Geschwindigkeit ist und r das relative Turbulenzen ist. In der ursprünglichen Izbash-Formel enthält der Koeffizient 1,7 einen Anteil, der für die Turbulenz verantwortlich ist. Die Izbash-Formel kann wie folgt umgeschrieben werden:

${displaystyle Delta d=0.7{frac {u^{2}}{2g}}=c_{iz}{frac {left[u(1 3r)ight]^{2}}{2g}}}$

Für Turbulenzen durch die Bodenrauhigkeit kann man einen Wert für die relative Turbulenz von annehmen r=0.075, die obige Formel ausgefüllt führt zu c_iz= 0,47. Dadurch entsteht eine Izbash-Formel mit einem expliziten Parameter für die Tubulenz:

${Displaystil Delta d=0,47{frac {left[u(1 3r)ight]^{2}}{2g}}}$

Dadurch ist es möglich, die Izbash-Formel auch dort anzuwenden, wo die Turbulenzen nicht allein durch die Bodenrauhigkeit verursacht werden, zum Beispiel bei Schiffen und Schiffspropellern. Bei Schiffen, die in einem (engen) Kanal fahren, gibt es eine starke Rücklauf mit erhöhter Turbulenz. Der Wert der relativen Turbulenz ist in diesem Fall r = 0,2. ^[5] Für die Turbulenzen durch a Schraubenradius beraten werden r = 0,45. ^[5] Da die relative Turbulenz in der Formel quadriert ist, wird deutlich, dass bei einem Schneckenstrahl eine wesentlich stärkere Ablagerung benötigt wird als bei "normaler" Strömung.

Für "Nicht-Standard"-Fälle mit a Turbulenzmodell, z.B. a k-epsilon-Modell der Wert von r berechnen. Dies kann dann in die oben modifizierte Izbash-Formel eingegeben werden, um die erforderliche Steingröße zu bestimmen.