WikiDer > Состояние KMS

Состояние Кубо – Мартина – Швингера, изображенное на памятнике перед Варшавского университета Центр Новых Технологий

в статистическая механика из квантово-механический системы и квантовая теория поля, свойства системы в тепловом равновесии могут быть описаны математическим объектом, называемым Кубо-Мартин-Швингер штат или, чаще, Состояние KMS: состояние, удовлетворяющее Состояние KMS. Кубо (1957) ввел условие, Мартин и Швингер (1959) использовал это для определения термодинамический Функции Грина, и Рудольф Хааг, М. Виннинк и Н. М. Гугенгольц (1967) использовал это условие для определения состояний равновесия и назвал его условием KMS.

Обзор

Самый простой случай для изучения - случай конечномерного Гильбертово пространство, при котором не встречаются осложнения типа фазовые переходы или спонтанное нарушение симметрии. В матрица плотности из тепловое состояние дан кем-то

${ displaystyle rho _ { beta, mu} = { frac {e ^ {- beta left (H- mu N right)}} { mathrm {Tr} left [e ^ {- beta left (H- mu N right)} right]}} = { frac {e ^ {- beta left (H- mu N right)}} {Z ( beta, mu)}}}$

где ЧАС это Гамильтониан оператор и N это оператор числа частиц (или плата оператор, если мы хотим быть более общими) и

${ displaystyle Z ( beta, mu) { stackrel { mathrm {def}} {=}} mathrm {Tr} left [e ^ {- beta left (H- mu N верно-верно]}$

это функция распределения. Мы предполагаем, что N ездит с ЧАС, или другими словами, это число частиц консервированный.

в Картинка Гейзенберга, матрица плотности не меняется со временем, но операторы зависят от времени. В частности, перевод оператора А на τ в будущее дает оператор

${ displaystyle alpha _ { tau} (A) { stackrel { mathrm {def}} {=}} e ^ {iH tau} Ae ^ {- iH tau}}$.

Сочетание перевод времени с внутренняя симметрия "вращение" дает более общий

${ displaystyle alpha _ { tau} ^ { mu} (A) { stackrel { mathrm {def}} {=}} e ^ {i left (H- mu N right) tau} Ae ^ {- i left (H- mu N right) tau}}$

Немного алгебраических манипуляций показывает, что ожидаемые значения

${ Displaystyle left langle alpha _ { tau} ^ { mu} (A) B right rangle _ { beta, mu} = mathrm {Tr} left [ rho alpha _ { tau} ^ { mu} (A) B right] = mathrm {Tr} left [ rho B alpha _ { tau + i beta} ^ { mu} (A) right] = left langle B alpha _ { tau + i beta} ^ { mu} (A) right rangle _ { beta, mu}}$

для любых двух операторов А и B и любое вещественное τ (в конце концов, мы работаем с конечномерными гильбертовыми пространствами). Мы использовали тот факт, что матрица плотности коммутирует с любой функцией от (ЧАС - μN) и что след циклический.

Как указывалось ранее, с бесконечномерными гильбертовыми пространствами мы сталкиваемся с множеством проблем, таких как фазовые переходы, спонтанное нарушение симметрии, операторы, которые не являются класс трассировки, расходящиеся статистические суммы и т. д.

В сложные функции из z, ${ displaystyle left langle alpha _ {z} ^ { mu} (A) B right rangle}$ сходится в комплексной полосе ${ Displaystyle - бета < Im {z} <0}$ в то время как ${ displaystyle left langle B alpha _ {z} ^ { mu} (A) right rangle}$ сходится в комплексной полосе ${ Displaystyle 0 < Im {z} < beta}$ если мы сделаем определенные технические предположения, такие как спектр из ЧАС - μN ограничен снизу и его плотность не увеличивается экспоненциально (см. Температура Хагедорна). Если функции сходятся, то они должны быть аналитический внутри полосы они определены как их производные,

${ displaystyle { frac {d} {dz}} left langle alpha _ {z} ^ { mu} (A) B right rangle = i left langle alpha _ {z} ^ { mu} left ( left [H- mu N, A right] right) B right rangle}$

и

${ displaystyle { frac {d} {dz}} left langle B alpha _ {z} ^ { mu} (A) right rangle = i left langle B alpha _ {z} ^ { mu} left ( left [H- mu N, A right] right) right rangle}$

существует.

Однако мы все еще можем определить Состояние KMS как любое состояние, удовлетворяющее

${ displaystyle left langle alpha _ { tau} ^ { mu} (A) B right rangle = left langle B alpha _ { tau + i beta} ^ { mu} ( A) right rangle}$

с участием ${ displaystyle left langle alpha _ {z} ^ { mu} (A) B right rangle}$ и ${ displaystyle left langle B alpha _ {z} ^ { mu} (A) right rangle}$ будучи аналитическими функциями z внутри их доменных полос.

${ displaystyle left langle alpha _ { tau} ^ { mu} (A) B right rangle}$ и ${ displaystyle left langle B alpha _ { tau + i beta} ^ { mu} (A) right rangle}$ граница распространение значения рассматриваемых аналитических функций.

Это дает правильный термодинамический предел большого объема и большого числа частиц. Если есть фазовый переход или спонтанное нарушение симметрии, состояние KMS не является уникальным.

Матрица плотности состояния KMS связана с унитарные преобразования включая перевод времени (или перевод времени и внутренняя симметрия преобразование для ненулевых химических потенциалов) через Теория Томиты – Такесаки.

использованная литература

• Хааг, Рудольф; Виннинк, М .; Гугенгольц, Н. (1967), «О состояниях равновесия в квантовой статистической механике», Коммуникации по математической физике, 5 (3): 215–236, Bibcode:1967CMaPh ... 5..215H, CiteSeerX 10.1.1.460.6413, Дои:10.1007 / BF01646342, ISSN 0010-3616, Г-Н 0219283, S2CID 120899390
• Кубо, Р. (1957), "Статистико-механическая теория необратимых процессов. I. Общая теория и простые приложения к проблемам магнитного поля и проводимости", Журнал Физического общества Японии, 12 (6): 570–586, Bibcode:1957JPSJ ... 12..570K, Дои:10.1143 / JPSJ.12.570
• Мартин, Пол С .; Швингер, Джулиан (1959), "Теория систем многих частиц. I", Физический обзор, 115 (6): 1342–1373, Bibcode:1959ПхРв..115.1342М, Дои:10.1103 / PhysRev.115.1342