WikiDer > Теория Томиты – Такесаки - Википедия

Tomita–Takesaki theory - Wikipedia

В теории алгебры фон Неймана, часть математической области функциональный анализ, Теория Томиты – Такесаки это метод построения модульные автоморфизмы алгебр фон Неймана из полярное разложение определенной инволюции. Это важно для теории факторы III типа, и привела к хорошей теории структуры для этих ранее трудноразрешимых объектов.

Теория была введена Минору Томита (1967), но за его работой было трудно следить, и она в основном не публиковалась, и на нее не обращали внимания, пока Масамичи Такэсаки (1970) написал отчет о теории Томиты.

Модульные автоморфизмы состояния

Предположим, что M является алгеброй фон Неймана, действующей в гильбертовом пространстве ЧАС, а Ω - циклический и разделяющий вектор из ЧАС нормы 1. (Циклический Значит это МОм плотно в ЧАС, и разделение означает, что карта из M к МОм инъективно.) Мы пишем для государства из M, так что ЧАС построен из с использованием Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала.

Мы можем определить неограниченный антилинейный оператор S0 на ЧАС с доменом МОм установив для всех м в M, и аналогично можно определить неограниченный антилинейный оператор F0 на ЧАС с доменом M'Ω установив за м в M', куда M' это коммутант из M.

Эти операторы замыкаемы, и мы обозначим их замыкания через S и F = S*. У них есть полярные разложения

куда является антилинейной изометрией, называемой модульным сопряжением, и положительный самосопряженный оператор, называемый модульный оператор.

Основной результат теории Томиты – Такесаки гласит:

для всех т и это

коммутант M.

Существует 1-параметрическое семейство модульные автоморфизмы из M связанный с государством , определяется

Коцикл Конна

Группа модулярных автоморфизмов алгебры фон Неймана M зависит от выбора состояния φ. Конн обнаружил, что изменение состояния не меняет образа модульного автоморфизма в группа внешних автоморфизмов из M. Точнее, учитывая два точных состояния φ и ψ функции M, мы можем найти унитарные элементы тыт из M для всех реальных т такой, что

так что модульные автоморфизмы отличаются внутренними автоморфизмами, и, более того, тыт удовлетворяет условию 1-коцикла

В частности, существует канонический гомоморфизм из аддитивной группы вещественных чисел в группу внешних автоморфизмов матрицы M, который не зависит от выбора верного состояния.

KMS состояния

Период, термин Состояние KMS происходит из условия Кубо – Мартина – Швингера в квантовая статистическая механика.

А Состояние KMS φ на алгебре фон Неймана M с заданной 1-параметрической группой автоморфизмов αт состояние, фиксируемое автоморфизмами, такое, что для каждой пары элементов А, B из M существует ограниченная непрерывная функция F в полосе 0 ≤ Im (т) ≤ 1, голоморфная внутри, такая, что

Такесаки и Виннинк показали, что состояние φ (точное полуконечное нормальное) является состоянием KMS для 1-параметрической группы модулярных автоморфизмов . Более того, это характеризует модульные автоморфизмы отображения φ.

(Часто в теории состояний KMS используется дополнительный параметр, обозначаемый буквой β. В приведенном выше описании он был нормализован до 1 путем изменения масштаба однопараметрического семейства автоморфизмов.)

Структура факторов III типа

Выше мы видели, что существует канонический гомоморфизм δ из группы вещественных чисел в группу внешних автоморфизмов алгебры фон Неймана, заданный модулярными автоморфизмами. Ядро алгебры δ - важный инвариант алгебры. Для простоты предположим, что алгебра фон Неймана является фактором. Тогда возможности ядра δ таковы:

  • Вся настоящая линия. В этом случае δ тривиально, а фактор относится к типу I или II.
  • Собственная плотная подгруппа вещественной прямой. Тогда фактор называется фактором III типа.0.
  • Дискретная подгруппа, порожденная некоторыми Икс > 0. Тогда фактор называется фактором III типа.λ при 0 <λ = exp (−2π/Икс) <1, а иногда и коэффициент Пауэрса.
  • Тривиальная группа 0. Тогда фактор называется фактором III типа.1. (Это в некотором смысле общий случай.)

Гильбертовые алгебры

Основные результаты теории Томиты – Такесаки доказаны с использованием левой и правой гильбертовых алгебр.

А левая гильбертова алгебра является алгеброй с инволюцией ИксИкс и внутренний продукт (,) такой, что

  1. Левое умножение на фиксированное аА - ограниченный оператор.
  2. ♯ - присоединенный; другими словами (ху, z) = (у, Иксz).
  3. Инволюция закрыто
  4. Подалгебра, охватываемая всеми произведениями ху плотно в А.

А правая гильбертова алгебра определяется аналогично (с инволюцией ♭) с обращением левого и правого в приведенных выше условиях.

А Гильбертова алгебра является левой гильбертовой алгеброй такая, что, кроме того, является изометрией, другими словами (Икс, у) = (у, Икс).

Примеры:

  • Если M является алгеброй фон Неймана, действующей в гильбертовом пространстве ЧАС с циклическим разделяющим вектором v, затем положите А = Мв и определим (xv)(yv) = xyv и (xv) = Икс*v. Ключевым открытием Томиты было то, что это делает А в левую гильбертову алгебру, так, в частности, замыкание оператора имеет полярное разложение, как указано выше. Вектор v это личность А, так А является унитальной левой гильбертовой алгеброй.
  • Если грамм является локально компактной группой, то векторное пространство всех непрерывных комплексных функций на грамм с компактным носителем является правой гильбертовой алгеброй, если умножение задается сверткой, и Икс(грамм) = Икс(грамм−1)*.

Рекомендации

  • Борхерс, Х. Дж. (2000), "О революционном изменении квантовой теории поля с помощью модулярной теории Томиты", Журнал математической физики, 41 (6): 3604–3673, Bibcode:2000JMP .... 41.3604B, Дои:10.1063/1.533323, МИСТЕР 1768633
  • Bratteli, O .; Робинсон, Д. (1987), Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1, второе издание, Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
  • Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, ISBN 978-0-12-185860-5[постоянная мертвая ссылка]
  • Диксмье, Жак (1981), алгебры фон Неймана, Математическая библиотека Северной Голландии, 27, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-86308-9, МИСТЕР 0641217
  • Иноуэ, А. (2001) [1994], "Теория Томита – Такесаки", Энциклопедия математики, EMS Press
  • Накано, Хидегоро (1950), «Гильбертовые алгебры», Математический журнал Тохоку, Вторая серия, 2: 4–23, Дои:10.2748 / tmj / 1178245666, МИСТЕР 0041362
  • Штерн, А. (2001) [1994], «Алгебра Гильберта», Энциклопедия математики, EMS Press
  • Саммерс, С. Дж. (2006), «Модульная теория Томиты – Такесаки», во Франсуазе, Жан-Пьер; Naber, Gregory L .; Цун, Цоу Шеунг (ред.), Энциклопедия математической физики, Academic Press / Elsevier Science, Oxford, arXiv:math-ph / 0511034, Bibcode:2005math.ph..11034S, ISBN 978-0-12-512660-1, МИСТЕР 2238867
  • Такэсаки, М. (1970), Теория модулярных гильбертовых алгебр Томиты и ее приложения, Конспект лекций по математике, 128, Спрингер, Дои:10.1007 / BFb0065832, ISBN 978-3-540-04917-3
  • Такесаки, Масамичи (2003), Теория операторных алгебр. II, Энциклопедия математических наук, 125, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42914-2, МИСТЕР 1943006
  • Томита, Минору (1967), "О канонических формах алгебр фон Неймана", Пятый симпозиум по функциональному анализу. (Университет Тохоку, Сендай, 1967) (на японском языке), Tôhoku Univ., Sendai: Math. Ин-т. С. 101–102. МИСТЕР 0284822
  • Томита, М. (1967), Квазистандартные алгебры фон Неймана, мимографированная заметка, неопубликованная