WikiDer > Теорема Какутаниса (теория меры) - Википедия

В теория меры, филиал математика, Теорема Какутани фундаментальный результат о эквивалентность или же взаимная особенность счетного меры продукта. Это дает «если и только если”Характеристика того, когда две такие меры эквивалентны, и, следовательно, она чрезвычайно полезна при попытке установить формулы замены меры для мер на функциональные пространства. Результат за счет Японский математик Шизуо Какутани. Теорема Какутани может использоваться, например, для определения того, является ли перевод Гауссова мера ${ displaystyle mu}$ эквивалентно ${ displaystyle mu}$ (только если вектор трансляции лежит в Пространство Камерона – Мартина из ${ displaystyle mu}$), или расширение ${ displaystyle mu}$ эквивалентно ${ displaystyle mu}$ (только тогда, когда абсолютное значение коэффициента расширения равно 1, что является частью Теорема Фельдмана – Гайека).

Формулировка теоремы

Для каждого ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$, позволять ${ displaystyle mu _ {n}}$ и ${ displaystyle nu _ {n}}$ быть мерой на реальной линии ${ Displaystyle mathbb {R}}$, и разреши ${ displaystyle mu = bigotimes _ {п in mathbb {N}} mu _ {n}}$ и ${ displaystyle nu = bigotimes _ {п in mathbb {N}} nu _ {n}}$ - соответствующие меры продукта на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ { infty}}$. Предположим также, что для каждого ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$, ${ displaystyle mu _ {n}}$ и ${ displaystyle nu _ {n}}$ эквивалентны (т.е. имеют одинаковые нулевые наборы). Тогда либо ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle nu}$ эквивалентны, или же они взаимно сингулярны. Более того, эквивалентность имеет место именно тогда, когда бесконечное произведение

${ displaystyle prod _ {п in mathbb {N}} int _ { mathbb {R}} { sqrt { frac { mathrm {d} mu _ {n}} { mathrm {d } nu _ {n}}}} , mathrm {d} nu _ {n}}$

имеет ненулевой предел; или, что то же самое, когда бесконечный ряд

${ displaystyle sum _ {n in mathbb {N}} log int _ { mathbb {R}} { sqrt { frac { mathrm {d} mu _ {n}} { mathrm {d} nu _ {n}}}} , mathrm {d} nu _ {n}}$

сходится.

Рекомендации

• Богачев, Владимир (1998). Гауссовы меры. Математические обзоры и монографии. 62. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / сур / 062. ISBN 0-8218-1054-5. (См. Теорему 2.12.7)
• Какутани, Шизуо (1948). «Об эквивалентности бесконечных мер произведения». Анна. Математика. 49: 214–224. Дои:10.2307/1969123.