WikiDer > Уравнения Колмогорова (процесс марковского скачка)

Kolmogorov equations (Markov jump process)

В контексте марковский процесс с непрерывным временем, то Уравнения Колмогорова, включая Колмогоровские прямые уравнения и Колмогоровские обратные уравнения, представляют собой пару систем дифференциальные уравнения которые описывают временную эволюцию вероятность , куда (пространство состояний) и - окончательное и начальное время соответственно.

Уравнения

В случае счетный пространство состояний мы положили на месте . Колмогоровские прямые уравнения читать

,

куда это матрица скорости перехода (также известная как матрица генератора),

пока Колмогоровские обратные уравнения находятся

Функции непрерывны и дифференцируемы по обоим аргументам по времени. Они представляют собой вероятность того, что система, которая была в состоянии вовремя переходит в состояние в более позднее время . Непрерывные количества удовлетворить

Фон

Оригинальный вывод уравнений Колмогорова [1] начинается с Уравнение Чепмена-Колмогорова (Колмогоров назвал это Основное уравнение) для непрерывных во времени и дифференцируемых марковских процессов на конечном дискретном пространстве состояний. В этой постановке предполагается, что вероятности являются непрерывными и дифференцируемыми функциями . Также предполагаются адекватные предельные свойства для производных. Вальщик [2] выводит уравнения при несколько иных условиях, начиная с концепции чисто разрывный марковский процесс и формулируя их для более общих пространств состояний. Вальщик [2] доказывает существование решений вероятностного характера для Колмогоровские прямые уравнения и Колмогоровские обратные уравнения в естественных условиях.

Связь с производящей функцией

По-прежнему в случае дискретного состояния, позволяя и предполагая, что система изначально находится в состоянии, The Колмогоровские прямые уравнения описать начальную задачу для нахождения вероятностей процесса с учетом величин . Мы пишем куда , тогда

Для случая чистого процесса смерти с постоянными скоростями единственными ненулевыми коэффициентами являются . Сдача

система уравнений в этом случае может быть преобразована в виде уравнение в частных производных за с начальным условием . После некоторых манипуляций система уравнений выглядит так:[3]

История

Краткую историческую справку можно найти на Уравнения Колмогорова.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Колмогоров, А. (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Mathematische Annalen. 104: 415–458. Дои:10.1007 / BF01457949.
  2. ^ а б Феллер, Вилли (1940) "Об интегродифференциальных уравнениях чисто разрывных марковских процессов", Труды Американского математического общества, 48 (3), 488-515 JSTOR 1990095
  3. ^ Бейли, Норман Т.Дж. (1990) Элементы случайных процессов в приложениях к естествознанию, Wiley. ISBN 0-471-52368-2 (стр.90)