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Es Kronecker-Produkt, bezeichnet durch ${displaystyle otimes }$, von zwei Matrizen ist in der Mathematik eine neue Matrix, die erzeugt wird, indem jedes Element der ersten Matrix durch das Produkt dieses Elements mit der zweiten Matrix ersetzt wird. Beide Matrizen können beliebige Dimensionen haben. Das Kronecker-Produkt ist eine Sonderform von a Tensorprodukt und sollte nicht mit dem gewöhnlichen verwechselt werden Matrix-Multiplikation.

Geschichte

Das Kronecker-Produkt ist nach dem Deutschen benannt MathematikerLeopold Kronecker. Es gibt jedoch wenig historische Beweise dafür, dass Kronecker den Begriff als erster verwendet hat und in der Vergangenheit wurde das Kronecker-Produkt manchmal als das Zehfuss-Matrix benannt nach Johann Georg Zehfuss.

Definition

Es Kronecker-Produkt des ${displaystyle mimen n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ und der ${displaystyle pimes q}$-Matrix ${Anzeigestil B}$ ist der ${displaystyle mp imes nq}$-Blockmatrix

${displaystyle Aotimes B={ egin{bmatrix}a_{11}B&ldots &a_{1n}B/vdots &ddots &vdots /a_{m1}B&ldots &a_{mn}Bend{bmatrix}}}$

Explizit:

${displaystyle Aotimes B={ egin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&ldots &a_{11}b_{1q}&ldots &ldots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_ {12}&ldots &a_{1n}b_{1q}/a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&ldots &a_{11}b_{2q}&ldots &ldots &a_{1n}b_{21}&a_{ 1n}b_{22}&ldots &a_{1n}b_{2q}/vdots &vdots &ddots &vdots &&&vdots &vdots &ddots &vdots /a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&ldots &a_&dots &b_ &l {1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&ldots &a_{1n}b_{pq}/vdots &vdots &&vdots &ddots &&vdots &vdots &&vdots /vdots &vdots &&vdots_{ &vdotsb} 11}l_ &a_{m1}b_{1q}&ldots &ldots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&ldots &a_{mn}b_{1q}/a_{m1 }b_{21}&a_{m1}b_{ 22}&ldots &a_{m1}b_{2q}&ldots &ldots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&ldots &a_{mn}b_{2q}/ vdots &vdots &ddots &vdots &&&vdots &vdots &ddots &vdots /ddots m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&ldots &a_{m1}b_{pq}&ldots &ldots &a_{mn}&b_{ p2}&ldots &a_{mn}b_{pq}end{bmatrix}}}$

Beispiele

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2/3&4/end{bmatrix}}otimes { egin{bmatrix}0&5/6&7/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1 imes 0&1 imes 5&2 imes 0&2 imes 5/1 imes 6&1 imes 7&2 imes 6&2 imes 7/3 imes 0&3 imes 5&4 imes 0&4 imes 5/3 imes 6&3 imes 7&4 imes 6&4 imes 7/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}0&5&0&10&6&7}&1512210/trix}$.

${displaystyle { egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}/a_{21}&a_{22}/a_{31}&a_{32}end{bmatrix}}otimes { egin{bmatrix}b_{11}&b_{ 12}&b_{13}/b_{21}&b_{22}&b_{23}end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&a_{11} b_{13}&a_{12}b_{11}&a_{12}b_{12}&a_{12}b_{13}/a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&a_{11}b_ {23}&a_{12}b_{21}&a_{12}b_{22}&a_{12}b_{23}/a_{21}b_{11}&a_{21}b_{12}&a_{21}b_{ 13}&a_{22}b_{11}&a_{22}b_{12}&a_{22}b_{13}/a_{21}b_{21}&a_{21}b_{22}&a_{21}b_{23 }&a_{22}b_{21}&a_{22}b_{22}&a_{22}b_{23}/a_{31}b_{11}&a_{31}b_{12}&a_{31}b_{13} &a_{32}b_{11}&a_{32}b_{12}&a_{32}b_{13}/a_{31}b_{21}&a_{31}b_{22}&a_{31}b_{23}&a_ {32}b_{21}&a_{32}b_{22}&a_{32}b_{23}Ende{bmatrix}}}$

Eigenschaften

Bilinear, assoziativ und distributiv bezüglich Addition

${displaystyle Aotimes (B C) = Aotimes B Aotimes Cqquad }$

${displaystyle (A B)otimes C=Aotimes C Botimes Cqquad }$

${Anzeigestil (kA)otimes B=Aotimes (kB)=k(Aotimes B)}$

${Anzeigestil (Aotimes B)otimes C=Aotimes (Botimes C)}$

${displaystyle (AB)otimes (CD)=(Aotimes C)(Botimes D)}$

in welchem ${Anzeigestil A,B,C}$ und ${Anzeigestil D}$ Matrizen sind und ${displaystyle k}$ ein Skalar.

Das Kronecker-Produkt ist es nicht kommutativ denn im Allgemeinen ${displaystyle Aotimes B}$ und ${displaystyle Botimes A}$ sind verschiedene Matrizen.${displaystyle Aotimes B}$ und ${displaystyle Botimes A}$ sind permutationsäquivalent, denn es gibt Permutationsmatrizen${Anzeigestil P}$ und ${Anzeigestil Q}$ existieren so dass

${Anzeigestil Aotimes B=P,(Botimes A),Q}$