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In dem Lineare Algebra ist der Tensorprodukt ein Mechanismus für zwei Vektorräume zu einem neuen Vektorraum zu kombinieren. Der neue Vektorraum bietet natürlich eine Domäne für beliebige bilineare Bilder die von der ausgehen kartesisches Produkt der beiden Vektorräume.

Alle beteiligten Vektorräume haben die gleichen Skalare.Körper.

Beispiel

Einfaches Beispiel mit 1x2 Matrizen:

${displaystyle { egin{bmatrix}a/b/end{bmatrix}}otimes { egin{bmatrix}c/d/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}a{ egin{bmatrix}c/d/end{bmatrix }}/b{ egin{bmatrix}c/d/end{bmatrix}}/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}ac/ad/bc/bd/end{bmatrix}}}$

Komplexeres Beispiel mit 2x2 Matrizen:

${displaystyle { egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}/a_{21}&a_{22}/end{bmatrix}}otimes { egin{bmatrix}b_{11}&b_{12}/b_{21}&b_ {22}/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}a_{11}{ egin{bmatrix}b_{11}&b_{12}/b_{21}&b_{22}/end{bmatrix}}&a_{12 }{ egin{bmatrix}b_{11}&b_{12}/b_{21}&b_{22}/end{bmatrix}}/&/a_{21}{ egin{bmatrix}b_{11}&b_{12}/ b_{21}&b_{22}/end{bmatrix}}&a_{22}{ egin{bmatrix}b_{11}&b_{12}/b_{21}&b_{22}/end{bmatrix}}/end{bmatrix }}={ egin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&a_{12}b_{11}&a_{12}b_{12}/a_{11}b_{21}&a_ {11}b_{22}&a_{12}b_{21}&a_{12}b_{22}/a_{21}b_{11}&a_{21}b_{12}&a_{22}b_{11}&a_{ 22}b_{12}/a_{21}b_{21}&a_{21}b_{22}&a_{22}b_{21}&a_{22}b_{22}/end{bmatrix}}}$

Definition

spät ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$ zwei Vektorräume über demselben Körper (Ned) / Feld (Be)${Anzeigestil K}$ sein und ${displaystyle E={e_{a}|a=1,2,ldots}}$ und ${displaystyle F={f_{b}|b=1,2,ldots}}$ jeweils Basen dieser Räume. Der Vektorraum ${Displaystil U}$ Über ${Anzeigestil K}$ wird genannt Tensorprodukt von ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$, bemerkt

${displaystyle Votimes W}$,

oder ausdrücklicher

${displaystyle Votimes_{K}W}$,

wenn in ${Displaystil U}$ ist eine Basis, die eindeutig mit dem kartesischen Produkt identifiziert werden kann ${displaystyle E imes F}$ von beiden Basen. Das Element, das entspricht ${Anzeigestil (e_{a},f_{b})}$ wird offiziell als

${displaystyle e_{a}otimes f_{b}}$

und heiß Tensorprodukt der beiden Basisvektoren. Diese Tensorprodukte bilden eine neue Klasse von Elementen, die formal eine Kombination der Basisvektoren sind.

Es ist nun möglich, ihr Tensorprodukt auch für zwei Vektoren zu definieren. Für die Vektoren

${displaystyle v=v^{1}e_{1} v^{2}e_{2} ldots in V}$ und ${displaystyle w=w^{1}f_{1} w^{2}f_{2} ldots in W}$

ist ihr Tensorprodukt definiert durch:

${displaystyle votimes w=sum _{ab}v^{a}w^{b} e_{a}otimes f_{b}}$.

Achtung. Die Schreibweise mit oberen Indizes für die Koordinaten ist in der Tensorrechnung üblich, siehe kovariante und kontravariante.

Die Elemente des Formulars ${displaystyle votimes w}$ bringe den Vektorraum ${displaystyle Votimes W}$ her.

Abmessungen

Vor dem endlich dimensional Vektorräume gilt:

${displaystyle dim Votimes W=dim Vcdot dim W}$

Dies steht im Gegensatz zu den kartesisches Produkt von Vektorräumen, für die gilt:

${Displaystil dim Vimes W = dim V dim W}$.

Anwendungen

In dem Physik, insbesondere in der analytischen Mechanik und der Relativitätstheorie, werden häufig Tensoren verwendet. Das dort verwendete Tensorkonzept entspricht dem oben skizzierten Konzept, angewendet auf eine endliche Anzahl von Kopien des TangentenbündelTM (Und sein Dual, der zusammentreffende Strahl ${Displaystil T^{*}M}$) von a Riemann-Sorteich. In diesem Zusammenhang ist ein Tensor von Rang nein ein Sektion des Tensorprodukts von nein solche Bündel. Die Koordinaten eines solchen Abschnitts sind gegeben durch eine Menge von given

${displaystyle dim M=dim TM=dim T^{*}M^{n}}$

Funktionen, die beim Übergang zu einem anderen Satz von Basisvektoren bestimmte Transformationsgesetze erfüllen. Die Unterscheidung zwischen "Kovariante" und "Gegenvariante" bezieht sich dann auf die Unterscheidung zwischen Tangentialstrahl und Cotangentialstrahl.

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung des Tensorprodukts auf beliebig Module über einen Kommutativer RingR.

Es universelles Objekt das alles kanonisch ${displaystyle n}$-fache Tensorprodukte eines Vektorraums V mit sich selbst umschlossen für

${Anzeigestil n=0,1,2,ldots}$,

heißt der universelle Algebra oder Tensoralgebra Über V.