WikiDer > Kronecker-Symbol

In dem Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist der Kronecker-Symbol, geschrieben als ${displaystyle left({frac {a}{n}}ight)}$ oder (ein|nein), eine Verallgemeinerung der Jacobi-Symbol für alle ganze Zahlennein.

Das Kronecker-Symbol wurde eingeführt von Leopold Kronecker.

Definition

spät nein ein Nicht-Null gerade Zahl mit Primfaktorzerlegung sein

${displaystyle ucdot {p_{1}}^{e_{1}}cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$,

wahr Sie ein Einheit (was bedeutet, Sie 1 oder −1) ist, und p_ich das Primzahlen sein. spät ein eine ganze Zahl sein.

Das Kronecker-Symbol (ein|nein) ist definiert durch

${displaystyle left({frac {a}{n}}ight)=left({frac {a}{u}}ight)prod _{i=1}^{k}left({frac {a}{p_{ i}}}Nacht)^{e_{i}}.}$

Vor dem ungerade Zahlenp_ich, ist die Zahl (ein|p_ich) nur das normale Legendre-Symbol. Dies lässt den Fall übrig, in dem p_ich = 2. Wir definieren (ein'|2) von

${displaystyle left({frac {a}{2}}ight)={ egin{cases}0&{mbox{if }}a{mbox{ ist gerade,}}/1&{mbox{if }}aequiv pm 1{pmod {8}},/-1&{mbox{as }}aequiv pm 3{pmod {8}}.end{cases}}}$

Da dies das Jacobi-Symbol erweitert, wird die Menge (ein|Sie) nur 1, wenn Sie = 1. Wann Sie = −1, definieren wir dies durch

${displaystyle left({frac {a}{-1}}ight)={ egin{cases}-1&{mbox{if }}a<0,/1&{mbox{if }}ageq 0.end{cases}} }$

Schließlich nehmen wir

${displaystyle left({frac {a}{0}}ight)={ egin{cases}1&{ ext{if }}a=pm 1,/0&{ ext{else.}}end{cases}}}$

Diese Erweiterungen reichen aus, um das Kronecker-Symbol für alle Integer-Werte zu verwenden nein definieren.

Siehe auch

• Kronecker Delta