WikiDer > Теорема Крулля о главном идеале - Википедия

В коммутативная алгебра, Теорема Крулля о главном идеале, названный в честь Вольфганг Круль (1899–1971), дает оценку высота из главный идеал в коммутативном Кольцо Нётериана. Иногда теорему называют ее немецким названием: Krulls Hautilealsatz (Satz означает «предложение» или «теорема»).

Именно, если р является нётеровым кольцом и я главный, собственный идеал р, то каждый минимальный простой идеал над я имеет высоту не более одного.

Эту теорему можно обобщить на идеалы которые не являются принципиальными, и результат часто называют Теорема Крулля о высоте. Это говорит о том, что если р является нётеровым кольцом и я является собственным идеалом, порожденным п элементы р, то каждое минимальное простое число над я имеет высоту не более п. Верно и обратное: если простой идеал имеет высоту п, то это минимальный простой идеал над идеалом, порожденным п элементы.^[1]

Теорема о главном идеале и обобщение, теорема о высоте, следуют из основная теорема теории размерности в коммутативной алгебре (прямые доказательства см. также ниже). Бурбаки Коммутативная алгебра дает прямое доказательство. Капланского Коммутативные кольца включает доказательство из-за Дэвид Рис.

Доказательства

Доказательство теоремы о главном идеале

Позволять ${ displaystyle A}$ быть нётеровым кольцом, Икс его элемент и ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ минимальное простое число над Икс. Замена А по локализации ${ Displaystyle А _ { mathfrak {p}}}$, можно предположить ${ displaystyle A}$ локально с максимальным идеалом ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$. Позволять ${ Displaystyle { mathfrak {q}} subsetneq { mathfrak {p}}}$ - строго меньший простой идеал, и пусть ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} = { mathfrak {q}} ^ {n} A _ { mathfrak {q}} cap A}$, который является ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$-первичный идеал называется п-го символическая сила из ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$. Он образует нисходящую цепочку идеалов ${ Displaystyle A supset { mathfrak {q}} supset { mathfrak {q}} ^ {(2)} supset { mathfrak {q}} ^ {(3)} supset cdots}$. Таким образом, существует нисходящая цепочка идеалов ${ Displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(п)} + (х) / (х)}$ в ринге ${ displaystyle { overline {A}} = A / (x)}$. Теперь радикальный ${ displaystyle { sqrt {(x)}}}$ является пересечением всех минимальных простых идеалов, содержащих ${ displaystyle x}$; ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ среди них. Но ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ является единственным максимальным идеалом и, следовательно, ${ displaystyle { sqrt {(x)}} = { mathfrak {p}}}$. С ${ Displaystyle (х)}$ содержит некоторую силу своего радикала, отсюда следует, что ${ displaystyle { overline {A}}}$ является артиновым кольцом, поэтому цепь ${ Displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(п)} + (х) / (х)}$ стабилизируется и поэтому есть некоторые п такой, что ${ Displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} + (x) = { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} + (x)}$. Это подразумевает:

${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} = { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} + x , { mathfrak {q}} ^ {(n)}}$,

от факта ${ Displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(п)}}$ является ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$-первичный (если ${ displaystyle y}$ в ${ Displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(п)}}$, тогда ${ displaystyle y = z + ax}$ с ${ Displaystyle г ин { mathfrak {q}} ^ {(п + 1)}}$ и ${ displaystyle a in A}$. С ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ минимально над ${ displaystyle x}$, ${ Displaystyle х not in { mathfrak {q}}}$ и так ${ displaystyle ax in { mathfrak {q}} ^ {(n)}}$ подразумевает ${ displaystyle a}$ в ${ Displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(п)}}$.) Теперь, разделив обе части на ${ Displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(п + 1)}}$ дает ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} / { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} = (x) { mathfrak {q}} ^ {(n)} / { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)}}$. Затем по Лемма Накаямы (что говорит о конечно порожденном модуле M равно нулю, если ${ displaystyle M = IM}$ для некоторого идеала я содержится в радикале), получаем ${ displaystyle M = { mathfrak {q}} ^ {(n)} / { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} = 0}$; т.е. ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} = { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)}}$ и поэтому ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {n} A _ { mathfrak {q}} = { mathfrak {q}} ^ {n + 1} A _ { mathfrak {q}}}$. Снова используя лемму Накаямы, ${ Displaystyle { mathfrak {q}} ^ {n} А _ { mathfrak {q}} = 0}$ и ${ Displaystyle А _ { mathfrak {q}}}$ - артиново кольцо; таким образом, высота ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ равно нулю. ${ displaystyle square}$

Доказательство теоремы о высоте

Теорема Крулля о высоте может быть доказана как следствие теоремы о главном идеале индукцией по числу элементов. Позволять ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {n}}$ быть элементами в ${ displaystyle A}$, ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ минимальное простое число над ${ displaystyle (x_ {1}, dots, x_ {n})}$ и ${ Displaystyle { mathfrak {q}} subsetneq { mathfrak {p}}}$ простой идеал такой, что строго между ними нет простого. Замена ${ displaystyle A}$ по локализации ${ Displaystyle А _ { mathfrak {p}}}$ мы можем предположить ${ displaystyle (А, { mathfrak {p}})}$ - локальное кольцо; обратите внимание, что тогда мы имеем ${ displaystyle { mathfrak {p}} = { sqrt {(x_ {1}, dots, x_ {n})}}}$. По минимальности ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ не может содержать все ${ displaystyle x_ {i}}$; переименовать индексы, скажем, ${ displaystyle x_ {1} not in { mathfrak {q}}}$. Поскольку каждый простой идеал, содержащий ${ displaystyle { mathfrak {q}} + (x_ {1})}$ между ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ и ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$, ${ Displaystyle { sqrt {{ mathfrak {q}} + (x_ {1})}} = { mathfrak {p}}}$ и поэтому мы можем написать для каждого ${ displaystyle i geq 2}$,

${ displaystyle x_ {i} ^ {r_ {i}} = y_ {i} + a_ {i} x_ {1}}$

с ${ displaystyle y_ {i} in { mathfrak {q}}}$ и ${ displaystyle a_ {i} in A}$. Теперь рассмотрим кольцо ${ displaystyle { overline {A}} = A / (y_ {2}, dots, y_ {n})}$ и соответствующая цепочка ${ Displaystyle { overline { mathfrak {q}}} subset { overline { mathfrak {p}}}}$ в этом. Если ${ displaystyle { overline { mathfrak {r}}}}$ является минимальным простым числом над ${ displaystyle { overline {x_ {1}}}}$, тогда ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ содержит ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2} ^ {r_ {2}}, dots, x_ {n} ^ {r_ {n}}}$ и поэтому ${ Displaystyle { mathfrak {r}} = { mathfrak {p}}}$; то есть, ${ displaystyle { overline { mathfrak {p}}}}$ является минимальным простым числом над ${ displaystyle { overline {x_ {1}}}}$ и поэтому, согласно теореме об основном идеале Крулля, ${ displaystyle { overline { mathfrak {q}}}}$ - минимальное простое число (над нулем); ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ является минимальным простым числом над ${ displaystyle (y_ {2}, dots, y_ {n})}$. По индуктивному предположению ${ Displaystyle OperatorName {HT} ({ mathfrak {q}}) Leq N-1}$ и поэтому ${ Displaystyle OperatorName {HT} ({ mathfrak {p}}) Leq N}$. ${ displaystyle square}$

Рекомендации

• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике. 150. Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра, Нью-Йорк: Бенджамин, см., в частности, раздел (12.I), с. 77
• http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/supDim.pdf