WikiDer > Первичный идеал - Википедия

Primary ideal - Wikipedia

В математика, конкретно коммутативная алгебра, правильный идеальный Q из коммутативное кольцо А как говорят начальный если когда-нибудь ху является элементом Q тогда Икс или же уп также является элементом Q, для некоторых п > 0. Например, в кольцо целых чисел Z, (пп) является примарным идеалом, если п - простое число.

Понятие примарных идеалов важно в теории коммутативных колец, потому что каждый идеал Кольцо Нётериана имеет первичное разложение, то есть может быть записано как пересечение конечного числа примарных идеалов. Этот результат известен как Теорема Ласкера – Нётер. Как следствие,[1] ан неприводимый идеал нётерского кольца является первичным.

Существуют различные методы обобщения примарных идеалов на некоммутативные кольца,[2] но чаще всего эта тема исследуется для коммутативных колец. Поэтому кольца в этой статье предполагаются коммутативными кольцами с единицей.

Примеры и свойства

  • Определение можно перефразировать более симметрично: идеальный является первичным, если и когда , у нас есть или же или же . (Здесь обозначает радикальный из .)
  • Идеальный Q из р является первичным тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в р/Q нильпотентен. (Сравните это со случаем простых идеалов, где п простое тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в р/п фактически равен нулю.)
  • Любой главный идеал первична, причем идеал первичен тогда и только тогда, когда он первичен и полупервичный.
  • Каждый первичный идеал первобытный.[3]
  • Если Q первичный идеал, то радикальный из Q обязательно первичный идеал п, и этот идеал называется связанный основной идеал из Q. В этой ситуации, Q как говорят п-начальный.
    • С другой стороны, идеал с простым радикалом не обязательно первичен: например, если , , и , тогда прост и , но у нас есть , , и для всех n> 0, поэтому не является первичным. Первичное разложение является ; Вот является -первичный и является -начальный.
      • Идеал, радикал которого максимальныйвпрочем, первична.
      • Каждый идеал Q с радикальным п является содержится в самом маленьком п-первоначальный идеал: все элементы а такой, что топор ∈ Q для некоторых Икс ∉ п. Наименьший п-первичный идеал, содержащий пп называется пth символическая сила из п.
  • Если п является максимальным простым идеалом, то любой идеал, содержащий степень п является п-начальный. Не все п-первичные идеалы должны быть п; например идеальный (Иксу2) является п-первоначально для идеала п = (Иксу) в ринге k[Иксу], но это не сила п.
  • Если А это Кольцо Нётериана и п простой идеал, то ядро , карта из А к локализация из А в п, является пересечением всех п-первичные идеалы.[4]
  • Конечное непустое произведение -первичные идеалы -первичное, но бесконечное произведение -первичные идеалы не могут быть -начальный; поскольку, например, в нётеровом локальном кольце с максимальным идеалом , (Теорема Крулля о пересечении) где каждый является -начальный. Фактически, в нётеровом кольце непустое произведение -первоначальные идеалы является -первичный тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число такой, что .[5]

Сноски

  1. ^ Точнее, этот факт обычно используют для доказательства теоремы.
  2. ^ См. Ссылки на Чаттерс-Хаджарнавис, Гольдман, Гортон-Хизерли и Лезье-Круазо.
  3. ^ Доказательство второй части см. В статье Фукса.
  4. ^ Атья – Макдональд, следствие 10.21
  5. ^ Бурбаки, Гл. IV, § 2, упражнение 3.

Рекомендации

  • Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, стр. 50, ISBN 978-0-201-40751-8
  • Бурбаки, Коммутативный альгебр.
  • Chatters, A. W .; Хаджарнавис, К. Р. (1971), "Некоммутативные кольца с примарным разложением", Кварта. J. Math. Oxford Ser. (2), 22: 73–83, Дои:10.1093 / qmath / 22.1.73, ISSN 0033-5606, МИСТЕР 0286822
  • Гольдман, Оскар (1969), "Кольца и модули частных", J. Алгебра, 13: 10–47, Дои:10.1016/0021-8693(69)90004-0, ISSN 0021-8693, МИСТЕР 0245608
  • Гортон, Кристина; Хизерли, Генри (2006), «Обобщенные первичные кольца и идеалы», Математика. Паннон., 17 (1): 17–28, ISSN 0865-2090, МИСТЕР 2215638
  • О первобытных идеалах, Ладислас Фукс
  • Lesieur, L .; Круазо, Р. (1963), Algèbre noethérienne некоммутативный (на французском языке), Mémor. Sci. Math., Fasc. CLIV. Gauthier-Villars & Cie, Editeur -Imprimeur-Libraire, Париж, стр. 119, МИСТЕР 0155861

внешняя ссылка