WikiDer > Lagrange-Multiplikator

Der Begriff Lagrange-Multiplikator ist ein Konzept und eine Technik aus dem Mathematik (und das Studium von mathematische Optimierung) benannt nach dem Mathematiker Joseph Louis Lagrange. Der Name bezieht sich auf eine bestimmte Art von Hilfsvariable, die bei dieser Technik eingeführt wird und sowohl die Formulierung als auch die Lösung des Optimierungsproblems stark vereinfacht.

Erläuterung

Abbildung 1: Suchen Sie die ${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle y}$ für die die Funktion ${Anzeigestil f(x,y)}$ maximal ist und für die die Anforderung ${Anzeigestil g(x,y)=c}$ (in Rot angezeigt) ist erfüllt.

Viele Optimierungsprobleme haben die Form:

Funktion maximieren ${Anzeigestil f(x,y)}$

unter der Bedingung ${Anzeigestil g(x,y)=c}$.

In Worten: Finde den Punkt ${Anzeigestil(x,y)}$ das auf der Kurve${Anzeigestil g(x,y)=c}$ befindet und für die die Funktion ${displaystyle f}$ ist maximal. Dieses Problem ist in den Bildern rechts dargestellt.

Wenn aus der Bedingung abgeleitet werden kann, wie eine der Variablen von der anderen abhängt, zum Beispiel ${Anzeigestil y=y(x)}$, kann diese Beziehung in die zu maximierende Funktion eingesetzt werden, sodass das Problem nur eine Variable hat:

maximieren ${Anzeigestil f(x,y(x))}$.

Wenn nicht, kann das Problem manchmal durch die Einführung einer neuen Variablen gelöst werden ${ Anzeigestil Lambda }$, die sogenannte Lagrange-Multiplikator, und die Funktion ${Anzeigestil Lambda ,}$Lagrange-Funktion genannt, zu berücksichtigen, definiert durch:

${Anzeigestil Lambda (x,y,lambda)=f(x,y) Lambda {Groß (}c-g(x,y){Groß)}}$

Jetzt scheint es eine Lösung zu geben ${Anzeigestil(x,y)}$ des ursprünglichen Problems, notwendigerweise a ${ Anzeigestil Lambda }$ existiert für was ${Anzeigestil (x,y,lambda)}$ ein stationären Punkt ist von der Funktion ${Anzeigestil Lambda (x,y,lambda)}$.

Diese Neuformulierung des Problems hat zwei Vorteile: Das ursprüngliche Problem wird auf ein völlig standardisiertes und gut untersuchtes Problem reduziert, nämlich die Suche nach den stationären Punkten einer Funktion, und außerdem erscheinen die in dieser Formulierung zu lösenden Gleichungen in vielen Fällen einfacher als im ursprünglichen Wortlaut.

Intuitive Erklärung

Abbildung 2: Alternative Darstellung zu Abbildung 1. Die rote Linie zeigt wieder die Anforderung ${Anzeigestil g(x,y)=c}$ wieder, und der Wert ist die Funktion ${Anzeigestil f(x,y)}$ wird jetzt als Höhe angezeigt. Die blauen Linien sind Umriss, also Linien, entlang derer der Wert von ${displaystyle f}$ ist konstant. Die Lösung ergibt sich daraus, wo die rote Linie die blaue Konturlinie berührt.

Oben wurde festgestellt, dass jede Lösung des ursprünglichen Variationsproblems durch einen stationären Punkt der Lagrange-Funktion gegeben ist ${Anzeigestil Lambda }$. (Umgekehrt gilt dies nicht: Nicht jeder stationäre Punkt von ${Anzeigestil Lambda }$ gibt eine Lösung des ursprünglichen Variationsproblems.) Um diese Aussage intuitiv zu verstehen, kann man das folgende Argument anführen. Betrachten Sie die Linien, entlang derer die Funktion ${displaystyle f}$ hat einen konstanten Wert: ${Anzeigestil f(x,y)=d}$. Nimmt man die Funktionswerte von ${displaystyle f}$ auf der z-Achse sind diese Linien die Umriss. Im Bild rechts sind zwei so gezeichnet (also für zwei verschiedene Funktionswerte ${displaystyle d_{1}}$ und ${displaystyle d_{2}}$). Nehmen wir nun an, wir gehen entlang der roten Kurve ${Anzeigestil g(x,y)=c}$. Das ist die Menge von Punkten, die die Anforderung erfüllen. Im Allgemeinen (während dieser Wanderung) ist der Wert von ${displaystyle f}$ steigen oder sinken. Das heißt, an diesen Stellen schneidet die Kurve die Höhenlinien. An dem Punkt der Kurve, an dem ${displaystyle f}$ extrem ist, ändert sich die Höhe nicht mehr (erreicht ihr Minimum/Maximum) und somit berührt die Höhenlinie dort die Kurve ${Anzeigestil g(x,y)=c}$. Seit der Gradient einer Funktion senkrecht zu den Linien steht, entlang derer diese Funktion konstant ist, impliziert der vorherige Satz, dass an dem gewünschten Punkt – ${Anzeigestil f(x,y)}$ extremal und ${Anzeigestil g(x,y)=c}$ – die Steigungen von ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ parallel sein. Die Lösung des Problems hat daher die besondere Eigenschaft

${displaystyle left({frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}}ight)=-lambda left({frac {partial g}{partial x}},{frac {partial g}{teilweise j}}nacht)}$

Hier die Konstante ${ Anzeigestil Lambda }$ daraus die senkrechten Vektoren (die Gradienten) parallel aber nicht unbedingt die gleiche Größe/die gleiche Richtung zeigend.

Jetzt sehen wir, dass die Aussage im vorherigen Abschnitt tatsächlich Sinn macht. Dort wurde festgestellt, dass die Lösung des Problems durch stationäre Punkte der Lagrange-Funktion gegeben ist, d. h. Punkte, für die

${displaystyle abla _{x,y,lambda}Lambda (x,y,lambda)=0}$

(die notation ${displaystyle abla _{x,y,lambda }}$ bezieht sich wieder auf den Gradienten, also beide Ableitungen zu ${Anzeigestil x}$, und zu ${displaystyle y}$, wenn das zu ${ Anzeigestil Lambda }$ muss null sein.) Wenn wir den Ausdruck für die Lagrange-Funktion verwenden ${Anzeigestil Lambda }$ ausfüllen, sehen wir, dass die Ableitungen zu ${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle y}$ implizieren, dass

${displaystyle abla _{x,y}f=-lambda abla_{x,y}g}$

Das ist genau die obige Aussage, dass auf der Ebene der Lösung die senkrechten Vektoren zu den Höhenlinien von ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ parallel sein. Andererseits ist die Ableitung zu ${ Anzeigestil Lambda }$ gibt die ursprüngliche Anforderung zurück, die ist

${Anzeigestil g(x,y)=c}$.

Dies bestätigt (zumindest intuitiv), dass jede Lösung ${Anzeigestil(x,y)}$ des ursprünglichen Problems entspricht a ${Anzeigestil (x,y,lambda)}$ was befriedigt ${displaystyle ablaLambda=0}$.

Typischerweise werden jedoch mehrere Lösungen gefunden für ${displaystyle ablaLambda=0}$, von denen nur eine oder wenige Lösungen das ursprüngliche Problem erfüllen. (Dies ist analog zum Suchen nach Extrema einer Funktion. Die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion Null wird, sind lokal Extrema, und normalerweise sind nur ein oder zwei Punkte globale Extrema.)

Einfaches Beispiel

Abbildung 3: Einfaches Beispiel.

Für welche(n) Punkt(e) auf der Einheitskreis ist die Summe der Koordinaten maximal?Für dieses Problem gilt: ${Anzeigestil f(x,y)=x y}$ die zu maximierende Funktion unter der Bedingung ${Anzeigestil g(x,y)=x^{2} y^{2}=1=c}$. Da die Linien der Konstanten ${Anzeigestil x y}$ sind durch Geraden gegeben, mit Steigung${Anzeigestil -1}$, sieht man fast auf den ersten Blick, dass die Tangentialpunkte zwischen einer dieser Höhenlinien und dem Kreis durch die Punkte ${displaystyle ({ frac {1}{2}}{sqrt {2}},{ frac {1}{2}}{sqrt {2}})}$ und ${displaystyle (-{ frac {1}{2}}{sqrt {2}},-{ frac {1}{2}}{sqrt {2}})}$. Der erste von beiden ist der Punkt, an dem ${displaystyle f}$ ist maximal.

Die Lösung mit einem Lagrange-Multiplikator ist wie folgt.

Die Lagrange-Funktion ist

${Anzeigestil Lambda (x,y,lambda )=f(x,y) Lambda (c-g(x,y))=x y Lambda (1-x^{2}-y^{2})}$

Setze die Ableitungen von ${Anzeigestil Lambda }$ zu ${Anzeigestil x}$ und zu ${displaystyle y}$ gleich 0:

${displaystyle {frac {partielles Lambda }{partielles x}}=1-2lambda x=0}$

${displaystyle {frac {partial Lambda }{partial y}}=1-2lambda y=0}$

Die Ableitung zu ${ Anzeigestil Lambda }$ gibt die Bedingung zurück

${Displaystil x^{2} y^{2}=1}$

Die ersten beiden Gleichungen implizieren, dass ${Anzeigestil x=y}$, und wenn man dies in der Bedingung ausfüllt, folgt daraus ${Anzeigestil 2x^{2}=1}$; So ${displaystyle x=pm { frac {1}{2}}{sqrt {2}}}$.

Die Punkte, an denen ${displaystyle f}$ nimmt einen extremen Wert an, also auch ${displaystyle ({ frac {1}{2}}{sqrt {2}},{ frac {1}{2}}{sqrt {2}})}$ und ${displaystyle (-{ frac {1}{2}}{sqrt {2}},-{ frac {1}{2}}{sqrt {2}})}$. Nicht jedes Extremal der Lagrange-Funktion ist eine Lösung des ursprünglichen Problems. Das Maximum von ${Anzeigestil x y}$ wird für die erste dieser beiden Möglichkeiten erreicht.

Bedeutung der Multiplikatoren, wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen

Bei vielen Problemen hat auch der konkrete Wert des Lagrange-Multiplikators eine Bedeutung. Bedenken Sie zunächst Folgendes:

${displaystyle -{frac {partielles Lambda }{partielles c}}=Lambda}$

${ Anzeigestil Lambda }$ sagt also aus, inwieweit sich der Wert des erreichten Maximums ändert, wenn die Anforderung ${Anzeigestil g(x,y)=c}$ ändert sich um einen anderen Wert für ${Anzeigestil c}$ erlauben. Eine typische Situation in der Wirtschaftswissenschaft, in der Lagrange-Multiplikatoren verwendet werden, ist eine Frage der Form: gegeben Budget, wie können wir eine bestimmte Menge (die wirtschaftlicher Nutzen) maximieren. In diesem Fall (bei der Lösung des Problems) gibt der Wert des Lagrange-Multiplikators an, um wie viel sich der Nutzen bei einer Budgetanpassung ändert.

Siehe auch

• extrem

Verweise

• (und) Lagrange-Multiplikatoren auf der Wolfram-Website.
• (und) http://eom.springer.de/L/l057190.htm

(Verallgemeinern Sie auch die Situation mit mehreren Anforderungen, die mehrere Lagrange-Multiplikatoren erfordert.)

Externe Links

• (und) Konzeptionelle Einführung
• (und) Lehrbuch über Lagrange-Multiplikatoren
• (NL) Beispielübung aus der Wirtschaft

Interaktiv

• (und) Video-Lektion auf Langrange-Multiplikatoren, angewendet auf ein konkretes Beispiel aus der Wirtschaftswissenschaft.