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Die Steigung der Funktion f(X,ja) = −(cos²X cos²ja)² präsentiert als Projektion des Vektorfeld auf der unteren Ebene

Beim Mathematiker Analyse gibt dem Gradient von a Funktion von mehr Variablen, ein Skalarfeld, das Richtung in denen die Funktion variiert am stärksten und die Größe der Variation. Der Gradient, der normalerweise Kartesischen Koordinaten das Vektor ist von partielle Ableitungen, ist die Verallgemeinerung in mehr Maße des Konzepts Derivat.

Definition

Unterhalb der Steigung einer reellen Funktion ${displaystyle f}$ von ${displaystyle n}$ reelle Variablen ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$ in einem Punkt ${Anzeigestil a}$ von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ versteht man das Vektor${displaystyle mathrm {grad} f}$ mit als Komponenten die partielle Ableitungen von ${displaystyle f}$ im ${Anzeigestil a}$, So:

${displaystyle mathrm {grad} f=left({frac {partial f}{partial x_{1}}},{frac {partial f}{partial x_{2}}},ldots ,{frac {partial f}{partial x_{n}}}Nacht)}$

Der Gradient wird oft mit dem Formaloperator notiert nabla:

${displaystyle mathrm {grad} f=abla f}$

Wenn diese partiellen Ableitungen in (a offene Teilmenge von) ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ existieren, bestimmt die Steigung von ${displaystyle f}$ ein Vektorfeld.

Formal ist der Gradient gleich der mehrdimensionalen Ableitung von ${displaystyle f}$ (sehen Unterscheidbarkeit).

Beispiel

Für die dreidimensionale Funktion ${displaystyle f:mathbb {R} ^{3} oder mathbb {R} }$ ist deshalb:

${displaystyle mathrm {grad} f=abla f=left({frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}},{frac {partial f}{partial z}}ight) }$

Annehmen ${displaystyle f}$ wird gegeben von:

${Anzeigestil f(x,y,z)=x^{6}-y-xz}$,

dann wird der Gradient von ${displaystyle f}$ gegeben von:

${displaystyle abla f=(6x^{5}-z,-1,-x)}$,

was für ein Vektorfeld in drei Dimensionen.

Stärkste Variation

Mit jedem (orientiert) Richtung von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ kommt ein Richtungsableitung von ${displaystyle f}$ im ${Anzeigestil a}$ Spiel. wenn ${displaystyle f}$ ist differenzierbar in ${Anzeigestil a}$, dann bestimmen Richtung und Orientierung des Gradienten den Maximalwert dieser Richtungsableitungen.

Gekrümmte Räume

Auf einen General glatte Sorte man merkt ${displaystyle mathrm {d} f}$ für die eine Form (Kovektorfeld) deren Komponenten, bezogen auf ein gegebenes Koordinatensystem, die partiellen Ableitungen von sind ${displaystyle f}$ in diesem Koordinatensystem.

Auf einen Riemann Sorte liefert die metrischer Tensor${displaystyle g}$ eine eindeutige Beziehung zwischen Kovektoren und Vektoren, so dass die Steigung dort wieder als a Vektorfeld Kann verstanden werden:

${displaystyle g(abla f,v)=(mathrm {d} f)(v)=sum _{i}{partielles f über partielles x^{i}}v^{i}}$