WikiDer > Интеграция чехарда

В числовой анализ, чехарда интеграции это метод для численного интегрирования дифференциальные уравнения формы

${displaystyle {ddot {x}} = d ^ {2} x / dt ^ {2} = A (x)}$,

или эквивалентно формы

${displaystyle {точка {v}} = dv / dt = A (x),; {точка {x}} = dx / dt = v}$,

особенно в случае динамическая система из классическая механика.

Этот метод известен под разными названиями в разных дисциплинах. В частности, он похож на скорость Верле метод, который является вариантом Интеграция Верле. Интеграция Leapfrog эквивалентна обновлению позиций ${displaystyle x (t)}$ и скорости ${displaystyle v (t) = {точка {x}} (t)}$ в чередующиеся моменты времени, смещенные таким образом, что они "чехарда"друг над другом.

Интеграция Leapfrog - метод второго порядка, в отличие от Интегрирование Эйлера, который является только первым порядком, но требует того же количества вычислений функции на шаг. В отличие от интегрирования Эйлера, оно устойчиво для колебательного движения, пока шаг по времени ${displaystyle Delta t}$ постоянно, и ${displaystyle Delta tleq 2 / omega}$.^[1]

Используя коэффициенты Йошиды, многократно применяя интегратор чехарда с правильными временными шагами, можно сгенерировать интегратор гораздо более высокого порядка.

Алгоритм

При интегрировании чехарда уравнения для обновления положения и скорости следующие:

${displaystyle {egin {align} a_ {i} & = A (x_ {i}), v_ {i + 1/2} & = v_ {i-1/2} + a_ {i}, Delta t, x_ {i + 1} & = x_ {i} + v_ {i + 1/2}, дельта t, конец {выровнен}}}$

куда ${displaystyle x_ {i}}$ позиция на шаге ${displaystyle i}$, ${displaystyle v_ {i + 1/2,}}$ скорость или первая производная от ${displaystyle x}$, на шаге ${displaystyle i + 1/2,}$, ${displaystyle a_ {i} = A (x_ {i})}$ это ускорение или вторая производная от ${displaystyle x}$, на шаге ${displaystyle i}$, и ${displaystyle Delta t}$ размер каждого временного шага. Эти уравнения можно выразить в форме, которая также дает скорость с целыми шагами:^[2]

${displaystyle {egin {align} x_ {i + 1} & = x_ {i} + v_ {i}, Delta t + {frac {1} {2}}, a_ {i}, Delta t ^ {, 2}, v_ {i + 1} & = v_ {i} + {frac {1} {2}} (a_ {i} + a_ {i + 1}), Delta t.end {выровнено}}}$

Однако даже в этой синхронизированной форме временной шаг ${displaystyle Delta t}$ должен быть постоянным, чтобы поддерживать стабильность.^[3]

Синхронизированная форма может быть преобразована в форму «кик-дрифт-кик»;

${displaystyle {egin {выравнивается} v_ {i + 1/2} & = v_ {i} + a_ {i} {frac {Delta t} {2}}, x_ {i + 1} & = x_ {i} + v_ {i + 1/2} Delta t, v_ {i + 1} & = v_ {i + 1/2} + a_ {i + 1} {frac {Delta t} {2}}, конец {выровнен }}}$

который в основном используется там, где требуются переменные временные шаги. Разделение расчета ускорения на начало и конец шага означает, что при увеличении разрешения по времени в два раза (${displaystyle Delta tightarrow Delta t / 2}$), то требуется только одно дополнительное (затратное в вычислительном отношении) вычисление ускорения.

Одно из применений этого уравнения - моделирование силы тяжести, поскольку в этом случае ускорение зависит только от положения гравитирующих масс (а не от их скоростей), хотя интеграторы более высокого порядка (такие как Методы Рунге – Кутты) используются чаще.

Применительно к задачам механики резкая интеграция имеет два основных преимущества. Первый - это обратимость во времени метода чехарды. Можно интегрироваться вперед п шаги, а затем измените направление интеграции и интегрируйте в обратном направлении п шаги для достижения той же исходной позиции. Вторая сила - это симплектический природа, что означает, что он сохраняет (слегка измененную) энергию динамических систем. Это особенно полезно при вычислении орбитальной динамики, как и во многих других схемах интегрирования, таких как (порядок-4) Рунге-Кутта метод, не экономят энергию и позволяют системе существенно дрейфовать с течением времени.

Из-за его обратимости во времени и потому, что это симплектический интегратор, интеграция чехарда также используется в Гамильтониан Монте-Карло, метод построения случайных выборок из распределения вероятностей, общая нормализация которого неизвестна.^[4]

Алгоритмы Ёсида

Интегратор чехарда может быть преобразован в интеграторы более высокого порядка с использованием методов, связанных с Харуо Ёсида. В этом подходе чехарда применяется к нескольким различным временным шагам. Оказывается, что при последовательном использовании правильных временных шагов ошибки устраняются и могут быть легко получены интеграторы гораздо более высокого порядка.^[5][6]

Интегратор Йошида 4-го порядка

Один шаг в интеграторе Yoshida 4-го порядка требует четырех промежуточных шагов. Положение и скорость вычисляются в разное время. Требуется только три (дорогостоящих в вычислительном отношении) расчета ускорения.

Уравнения для интегратора 4-го порядка для обновления положения и скорости:

${displaystyle {egin {выровнено} x_ {i} ^ {1} & = x_ {i} + c_ {1}, v_ {i}, Delta t, v_ {i} ^ {1} & = v_ {i} + d_ {1}, a (x_ {i} ^ {1}), Delta t, x_ {i} ^ {2} & = x_ {i} ^ {1} + c_ {2}, v_ {i} ^ {1}, Дельта t, v_ {i} ^ {2} & = v_ {i} ^ {1} + d_ {2}, a (x_ {i} ^ {2}), Дельта t, x_ {i} ^ {3} & = x_ {i} ^ {2} + c_ {3}, v_ {i} ^ {2}, Delta t, v_ {i} ^ {3} & = v_ {i} ^ {2} + d_ {3}, a (x_ {i} ^ {3}), Delta t, x_ {i + 1} и эквивалент x_ {i} ^ {4} = x_ {i} ^ {3} + c_ {4}, v_ {i} ^ {3}, Delta t, v_ {i + 1} и эквивалент v_ {i} ^ {4} = v_ {i} ^ {3} end {выровнено}}}$

куда ${displaystyle x_ {i}, v_ {i}}$ - начальная позиция и скорость, ${displaystyle x_ {i} ^ {n}, v_ {i} ^ {n}}$ промежуточное положение и скорость на промежуточном этапе ${displaystyle n}$, ${displaystyle a (x_ {i} ^ {n})}$ это ускорение в положении ${displaystyle x_ {i} ^ {n}}$, и ${displaystyle x_ {i + 1}, v_ {i + 1}}$ - конечное положение и скорость при одном шаге Ёсида 4-го порядка.

Коэффициенты ${displaystyle (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, c_ {4})}$ и ${displaystyle (d_ {1}, d_ {2}, d_ {3})}$ получены в ^[6] (см. уравнение (4.6))

${displaystyle {egin {выравнивается} w_ {0} & Equiv - {frac {sqrt [{3}] {2}} {2- {sqrt [{3}] {2}}}}, w_ {1} & Equiv { frac {1} {2- {sqrt [{3}] {2}}}}, c_ {1} & = c_ {4} Equiv {frac {w_ {1}} {2}}, c_ {2} = c_ {3} Equiv {frac {w_ {0} + w_ {1}} {2}}, d_ {1} & = d_ {3} Equiv w_ {1}, d_ {2} Equiv w_ {0} конец {выровнено}}}$

Все промежуточные шаги образуют единый ${displaystyle Delta t}$ шаг, который подразумевает, что сумма коэффициентов равна единице: ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {4} c_ {i} = 1}$ и ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {3} d_ {i} = 1}$. Обратите внимание, что положение и скорость вычисляются в разное время, а некоторые промежуточные шаги выполняются назад во времени. Чтобы проиллюстрировать это, мы приводим численные значения ${displaystyle c_ {n}}$ коэффициенты: ${displaystyle c_ {1} = 0,6756, c_ {2} = - 0,1756, c_ {3} = - 0,1756, c_ {4} = 0,6756.}$

Смотрите также

• Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• Симплектическая интеграция
• Интегрирование Эйлера
• Интеграция Верле
• Интеграция Рунге – Кутты

Рекомендации

внешняя ссылка

• [1], Физика Дрексельского университета