WikiDer > Превращение Лежандра

Legendre transformation

Функция

ж (Икс)

определяется на интервале

[а, б]

. Различия

px - ж (Икс)

занимает максимум в

Икс'

. Таким образом,

ж *(п) = px '- f (x')

.

В математика и физика, то Превращение Лежандра, названный в честь Адриан-Мари Лежандр, является инволютивный трансформация на настоящий-ценный выпуклые функции одной действительной переменной. В физических задачах он используется для преобразования функций одной величины (например, положения, давления или температуры) в функции сопряженное количество (импульс, объем и энтропия соответственно). Таким образом, он обычно используется в классическая механика вывести Гамильтониан формализм из Лагранжиан формализм и в термодинамика вывести термодинамические потенциалы, а также в решении дифференциальные уравнения нескольких переменных.

Для достаточно гладких функций на вещественной прямой преобразование Лежандра $е *$ функции $ж$ может быть задано с точностью до аддитивной константы условием, что первые производные функций являются обратными функциями друг друга. Это можно выразить в Обозначение производной Эйлера так как

{ displaystyle Df = left (Df ^ {*} right) ^ {- 1} ~,}

или, что то же самое, как ${ displaystyle f '(f ^ {* prime} (x ^ {*})) = x ^ {*}}$ и ${ Displaystyle е ^ {* простое} (е '(х)) = х}$ в Обозначения Лагранжа.

Обобщение преобразования Лежандра на аффинные пространства и невыпуклые функции известно как выпуклый сопряженный (также называемое преобразованием Лежандра – Фенхеля), которое можно использовать для построения функции выпуклая оболочка.

Определение

Позволять $я \subset ℝ$ быть интервал, и $ж : я \to ℝ$ а выпуклая функция; тогда это Преобразование Лежандра это функция $е * : Я* \to ℝ$ определяется

{ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = sup _ {x in I} (x ^ {*} xf (x)), quad x ^ {*} in I ^ {* }}

где ${ displaystyle sup}$ это супремум, а домен ${ displaystyle I ^ {*}}$ является

{ Displaystyle I ^ {*} = left {x ^ {*} in mathbb {R}: sup _ {x in I} (x ^ {*} xf (x)) < infty вправо } ~.}

Преобразование всегда четко определено, когда ${ displaystyle f (x)}$ является выпуклый.

Обобщение на выпуклые функции $ж : Икс \to ℝ$ на выпуклом множестве $Икс \subset ℝ п$ просто: $е * : ИКС* \to ℝ$ есть домен

{ Displaystyle X ^ {*} = left {x ^ {*} in mathbb {R} ^ {n}: sup _ {x in X} ( langle x ^ {*}, x rangle -f (x)) < infty right }}

и определяется

{ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = sup _ {x in X} ( langle x ^ {*}, x rangle -f (x)), quad x ^ {* } в X ^ {*} ~,}

где ${ Displaystyle langle х ^ {*}, х rangle}$ обозначает скалярное произведение из $Икс *$ и $Икс$ .

Функция $ж *$ называется выпуклый сопряженный функция $ж$ . По историческим причинам (уходящим корнями в аналитическую механику) сопряженная переменная часто обозначается $п$ , вместо того $Икс *$ . Если выпуклая функция $ж$ определяется на всей линии и везде дифференцируемый, тогда

{ displaystyle f ^ {*} (p) = sup _ {x in I} (px-f (x)) = left (px-f (x) right) | _ {x = (f ' ) ^ {- 1} (p)}}

можно интерпретировать как отрицание $у$ -перехват из касательная линия к график из $ж$ что имеет наклон $п$ .

Преобразование Лежандра - это применение двойственность отношения между точками и линиями. Функциональные отношения, указанные $ж$ можно одинаково хорошо представить как набор $(Икс, у)$ точек или как набор касательных линий, определяемых их значениями наклона и пересечения.

Понимание преобразования в терминах производных

Для дифференцируемых выпуклых функций ${ displaystyle f}$ на вещественной прямой с обратимой первой производной преобразование Лежандра ${ displaystyle f ^ {*}}$ может быть задано с точностью до аддитивной константы условием, что первые производные функций являются обратными функциями друг друга.

Чтобы увидеть это, сначала обратите внимание, что если ${ displaystyle f}$ дифференцируема и ${ displaystyle { overline {x}}}$ это критическая точкафункции ${ Displaystyle х mapsto p cdot х-е (х)}$ , то супремум достигается при ${ displaystyle { overline {x}}}$ (по выпуклости). Следовательно, ${ displaystyle f ^ {*} (p) = p cdot { overline {x}} - f ({ overline {x}})}$ .

Предположим, что ${ displaystyle f '}$ обратим и пусть ${ displaystyle h}$ обозначим его обратное. Тогда для каждого ${ displaystyle p}$ , смысл ${ displaystyle h (p)}$ единственная критическая точка ${ Displaystyle х mapsto px-f (x)}$ . Действительно, ${ displaystyle f '(h (p)) = p}$ и так ${ Displaystyle п-е '(ч (п)) = 0}$ . Следовательно, у нас есть ${ displaystyle f ^ {*} (p) = p cdot h (p) -f (h (p))}$ для каждого ${ displaystyle p}$ . Дифференцируя по ${ displaystyle p}$ мы нашли

{ displaystyle (f ^ {*}) '(p) = h (p) + p cdot h' (p) -f '(h (p)) cdot h' (p).}

поскольку ${ displaystyle f '(час (p)) = p}$ это упрощает ${ Displaystyle (е ^ {*}) '(р) = ч (р)}$ .Другими словами, ${ Displaystyle (е ^ {*}) '}$ и ${ displaystyle f '}$ являются обратными.

В общем, если ${ displaystyle g '}$ является инверсией ${ displaystyle f '}$ , тогда ${ displaystyle g '= (е ^ {*})'}$ и поэтому интеграция обеспечивает постоянную ${ displaystyle c}$ так что ${ displaystyle f ^ {*} = g + c}$ .

Практически, учитывая $ж (Икс)$ , параметрический график $xf'(Икс) - ж (Икс)$ против $ж'(Икс)$ составляет график $г (п)$ против $п$ .

В некоторых случаях (например, термодинамические потенциалы, ниже) используется нестандартное требование, равное альтернативному определению $ж *$ с знак минус,

{ Displaystyle f (x) -f ^ {*} (p) = xp.}

Характеристики

Преобразование Лежандра выпуклой функции выпукло.

Покажем это для случая дважды дифференцируемой

ж

с ненулевой (и, следовательно, положительной из-за выпуклости) двойной производной.

Для фиксированного

п

, позволять

Икс

максимизировать

px - ж (Икс)

. потом

ж *(п) = px - ж (Икс)

, отмечая, что

Икс

зависит от

п

. Таким образом,

{ displaystyle f ^ { prime} (x) = p ~.}

Производная от

ж

сам дифференцируем с положительной производной и, следовательно, строго монотонен и обратим.

Таким образом

Икс = г (п)

где

{ Displaystyle г эквив (е ^ { простое}) ^ {- 1}}

, означающий, что

г

определяется так, что

{ displaystyle f '(g (p)) = p}

.

Обратите внимание, что

г

также дифференцируема со следующей производной,

{ displaystyle { frac {dg (p)} {dp}} = { frac {1} {f '' (g (p))}} ~.}

Таким образом

ж *(п) = pg (п) - ж (г (п))

композиция дифференцируемых функций, следовательно, дифференцируемая.

Применяя правило продукта и Правило цепи дает

{ displaystyle { begin {align} { frac {d (f ^ {*})} {dp}} & = g (p) + left (p-f '(g (p)) right) cdot { frac {dg (p)} {dp}} [4pt] & = g (p), end {align}}}

давая

{ displaystyle { frac {d ^ {2} (f ^ {*})} {dp ^ {2}}} = { frac {dg (p)} {dp}} = { frac {1} { f '' (g (p))}}> 0,}

так

ж *

выпуклый.

Отсюда следует, что преобразование Лежандра является инволюция, т.е. $ж ** = ж$ :

Используя приведенные выше равенства для

г (п)

,

ж *(п)

и его производная,

{ displaystyle { begin {align} f ^ {**} (x) & {} = left (x cdot p_ {s} -f ^ {*} (p_ {s}) right) _ {| { frac {d} {dp}} f ^ {*} (p = p_ {s}) = x} [5pt] & {} = g (p_ {s}) cdot p_ {s} -f ^ {*} (p_ {s}) [5pt] & {} = f (g (p_ {s})) [5pt] & {} = f (x) ~. end {выровнено}} }

Примеры

Пример 1

е^Икс отображается красным цветом, а его преобразование Лежандра - синим пунктиром.

В экспоненциальная функция ${ Displaystyle е (х) = е ^ {х}}$ имеет ${ Displaystyle е ^ {*} (п) = п ( пер-1)}$ как преобразование Лежандра, поскольку их соответствующие первые производные $е Икс$ и $пер п$ являются обратными функциями друг друга.

Этот пример показывает, что соответствующие домены функции и ее преобразования Лежандра не обязательно должны согласовываться.

Пример 2

Позволять $ж (Икс) = сх 2$ определенная на, где $c > 0$ фиксированная константа.

За $Икс *$ фиксированная функция $Икс$ , $Икс * Икс - ж (Икс) = Икс * Икс - сх 2$ имеет первую производную $Икс * - 2 сх$ и вторая производная $-2 c$ ; есть одна стационарная точка в $Икс = Икс */2 c$ , что всегда максимум.

Таким образом, $я * = ℝ$ и

{ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = { frac {{x ^ {*}} ^ {2}} {4c}} ~.}

Первые производные от $ж$ , 2 $сх$ , и из $ж *$ , $Икс */(2 c)$ , являются функциями, обратными друг другу. Ясно, кроме того,

{ displaystyle f ^ {**} (x) = { frac {1} {4 (1 / 4c)}} x ^ {2} = cx ^ {2} ~,}

а именно $ж ** = ж$ .

Пример 3

Позволять $ж (Икс) = Икс 2$ для $Икс \in я = [2, 3]$ .

За $Икс *$ фиксированный, $Икс * Икс - ж (Икс)$ продолжается на $я$ компактный, следовательно, он всегда принимает на нем конечный максимум; это следует из того $я * = ℝ$ .

Стационарная точка на $Икс = Икс */2$ находится в домене $[2, 3]$ если и только если $4 \leq Икс * \leq 6$ , иначе максимум берется либо при $Икс = 2$ , или $Икс = 3$ . Это следует из того

{ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = { begin {case} 2x ^ {*} - 4, & x ^ {*} <4 { frac {{x ^ {*}} ^ {2}} {4}}, & 4 leqslant x ^ {*} leqslant 6, 3x ^ {*} - 9, & x ^ {*}> 6. end {cases}}}

Пример 4

Функция $ж (Икс) = сх$ выпукло, для каждого $Икс$ (строгая выпуклость не требуется для корректного определения преобразования Лежандра). Ясно $Икс * Икс - ж (Икс) = (Икс * - c) Икс$ никогда не ограничивается сверху как функция $Икс$ , если только $Икс * - c = 0$ . Следовательно $ж *$ определяется на $я * = {c$ } и $ж *(c) = 0$ .

Можно проверить инволютивность: конечно $Икс * Икс - ж *(Икс *)$ всегда ограничен как функция $Икс * \in {c$ }, следовательно $я ** = ℝ$ . Тогда для всех $Икс$ надо

{ displaystyle sup _ {x ^ {*} in {c }} (xx ^ {*} - f ^ {*} (x ^ {*})) = xc,}

и, следовательно $ж **(Икс) = сх = ж (Икс)$ .

Пример 5: несколько переменных

Позволять

{ displaystyle f (x) = langle x, Ax rangle + c}

быть определенным на $Икс = ℝ п$ , где $А$ - вещественная положительно определенная матрица.

потом $ж$ выпуклый, а

{ Displaystyle langle p, x rangle -f (x) = langle p, x rangle - langle x, Ax rangle -c,}

имеет градиент $п - 2 Топор$ и Гессен $-2 А$ , что отрицательно; следовательно, стационарная точка $Икс = А -1 п /2$ это максимум.

У нас есть $Икс * = ℝ п$ , и

{ displaystyle f ^ {*} (p) = { frac {1} {4}} langle p, A ^ {- 1} p rangle -c.}

Поведение дифференциалов при преобразованиях Лежандра

Преобразование Лежандра связано с интеграция по частям, $pdx = d (px) - xdp$ .

Позволять $ж$ быть функцией двух независимых переменных $Икс$ и $у$ , с дифференциалом

{ displaystyle df = { partial f over partial x} , dx + { partial f over partial y} , dy = p , dx + v , dy.}

Предположим, что он выпуклый в $Икс$ для всех $у$ , так что можно выполнить преобразование Лежандра в $Икс$ , с участием $п$ переменная, сопряженная с $Икс$ . Поскольку новая независимая переменная $п$ , дифференциалы $dx$ и $dy$ переходить к $дп$ и $dy$ , т.е. строим другую функцию, дифференциал которой выражается через новый базис $дп$ и $dy$ .

Таким образом, мы рассматриваем функцию $г (п, у) = ж - px$ так что

{ Displaystyle dg = df-p , dx-x , dp = -x , dp + v , dy}

{ displaystyle x = - { frac { partial g} { partial p}}}

{ displaystyle v = { frac { partial g} { partial y}}.}

Функция $-г (п, у)$ преобразование Лежандра $ж (Икс, у)$ , где только независимая переменная $Икс$ был вытеснен $п$ . Это широко используется в термодинамике, как показано ниже.

Приложения

Аналитическая механика

Преобразование Лежандра используется в классическая механика вывести Гамильтонова формулировка от Лагранжева формулировка, и наоборот. Типичный лагранжиан имеет вид

{ Displaystyle L (v, q) = { tfrac {1} {2}} langle v, Mv rangle -V (q),}

где ${ Displaystyle (v, q)}$ координаты на $р п \times р п$ , $M$ - положительная вещественная матрица, а

{ displaystyle langle x, y rangle = sum _ {j} x_ {j} y_ {j}.}

Для каждого $q$ фиксированный, ${ Displaystyle L (v, q)}$ является выпуклой функцией от ${ displaystyle v}$ , в то время как ${ Displaystyle V (q)}$ играет роль константы.

Следовательно, преобразование Лежандра ${ Displaystyle L (v, q)}$ как функция $v$ - функция Гамильтона,

{ Displaystyle H (p, q) = { tfrac {1} {2}} langle p, M ^ {- 1} p rangle + V (q)}

.

В более общем контексте ${ Displaystyle (v, q)}$ - локальные координаты на касательный пучок ${ Displaystyle Т { mathcal {M}}}$ многообразия ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ . Для каждого $q$ , ${ Displaystyle L (v, q)}$ является выпуклой функцией касательного пространства $V q$ . Преобразование Лежандра дает гамильтониан ${ Displaystyle Н (п, д)}$ как функция координат $(п, q)$ из котангенсный пучок ${ Displaystyle Т ^ {*} { mathcal {M}}}$ ; внутренний продукт, используемый для определения преобразования Лежандра, наследуется от соответствующего канонического симплектическая структура. В этой абстрактной постановке преобразование Лежандра соответствует тавтологический однообразный.

Термодинамика

Стратегия использования преобразований Лежандра в термодинамике состоит в переходе от функции, которая зависит от переменной, к новой (сопряженной) функции, которая зависит от новой переменной, сопряженной с исходной. Новая переменная - это частная производная исходной функции по исходной переменной. Новая функция - это разница между исходной функцией и произведением старой и новой переменных. Обычно это преобразование полезно, поскольку оно сдвигает зависимость, например, энергии от обширная переменная к его сопряженной интенсивной переменной, которой обычно легче управлять в физическом эксперименте.

Например, внутренняя энергия является явной функцией обширные переменные энтропия, объем, и химический состав

{ Displaystyle U = U left (S, V, {N_ {i} } right),}

который имеет полный дифференциал

{ displaystyle dU = T , dS-P , dV + sum mu _ {i} , dN_ {i}.}

Используя (нестандартное) преобразование Лежандра внутренней энергии, $U$ , по объему, $V$ , можно определить энтальпия так как

{ Displaystyle H = U + PV , = H left (S, P, {N_ {i} } right),}

которое является явной функцией давления, $п$ . Энтальпия содержит всю ту же информацию, что и внутренняя энергия, но с ней часто легче работать в ситуациях, когда давление постоянно.

Аналогичным образом можно сместить зависимость энергии от обширной переменной энтропии, $S$ , к (часто более удобной) интенсивной переменной $Т$ , в результате чего Гельмгольца и Гиббс свободные энергии. Свободная энергия Гельмгольца, $А$ , и энергия Гиббса, $г$ , получаются преобразованием Лежандра внутренней энергии и энтальпии соответственно,

{ displaystyle A = U-TS ~,}

{ Displaystyle G = H-TS = U + PV-TS ~.}

Свободная энергия Гельмгольца часто является наиболее полезным термодинамическим потенциалом, когда температура и объем поддерживаются постоянными, в то время как энергия Гиббса часто является наиболее полезной, когда температура и давление поддерживаются постоянными.

Пример - переменный конденсатор

Другой пример из физика, рассмотрим параллельную пластину конденсатор, в котором пластины могут перемещаться относительно друг друга. Такой конденсатор позволил бы передавать электрическую энергию, которая хранится в конденсаторе, во внешнюю механическую работу, выполняемую сила действующие на пластины. Можно думать об электрическом заряде как об аналоге «заряда» газ в цилиндр, в результате чего механический сила оказал поршень.

Вычислите силу, действующую на пластины, как функцию $Икс$ , расстояние, которое их разделяет. Чтобы найти силу, вычислите потенциальную энергию, а затем примените определение силы как градиент функции потенциальной энергии.

Энергия, запасенная в конденсаторе емкость $C (Икс)$ и зарядить $Q$ является

{ displaystyle U (Q, mathbf {x}) = { frac {1} {2}} QV = { frac {1} {2}} { frac {Q ^ {2}} {C ( mathbf {x})}}, ~}

где зависимость от площади пластин, диэлектрической проницаемости материала между пластинами и расстояния $Икс$ абстрагируются как емкость $C (Икс)$ . (Для конденсатора с параллельными пластинами это пропорционально площади пластин и обратно пропорционально расстоянию между ними.)

Сила $F$ между пластинами из-за электрического поля тогда

{ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {x}) = - { frac {dU} {d mathbf {x}}} ~.}

Если конденсатор не подключен к какой-либо цепи, то обвинения на пластинах остаются постоянными при движении, а сила отрицательная градиент из электростатический энергия

{ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {x}) = { frac {1} {2}} { frac {dC} {d mathbf {x}}} { frac {Q ^ {2} } {C ^ {2}}}.}

Однако предположим, что вместо этого Напряжение между пластинами $V$ поддерживается постоянным путем подключения к аккумулятор, который является резервуаром для заряда при постоянной разности потенциалов; теперь заряд переменный вместо напряжения его Лежандровское сопряжение. Чтобы найти силу, сначала вычислите нестандартное преобразование Лежандра,

{ Displaystyle U ^ {*} = U- left ({ frac { partial U} { partial Q}} right) { bigg |} _ { mathbf {x}} cdot Q = U- { frac {1} {2C ( mathbf {x})}} left ({ frac { partial Q ^ {2}} { partial Q}} right) { bigg |} _ { mathbf {x}} cdot Q = U-QV = { frac {1} {2}} QV-QV = - { frac {1} {2}} QV = - { tfrac {1} {2}} V ^ {2} C ( mathbf {x}).}

Теперь сила становится отрицательным градиентом этого преобразования Лежандра, все еще направленным в том же направлении,

{ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {x}) = - { frac {dU ^ {*}} {d mathbf {x}}} ~.}

Две сопряженные энергии оказываются друг напротив друга только из-за линейность из емкость- кроме сейчас $Q$ больше не является константой. Они отражают два разных пути накопления энергии в конденсаторе, что приводит, например, к одному и тому же «притяжению» между пластинами конденсатора.

Теория вероятности

В теория больших отклонений, то функция оценки определяется как преобразование Лежандра логарифма функция, производящая момент случайной величины. Важное применение функции ставок - вычисление хвостовых вероятностей сумм i.i.d. случайные переменные.

Микроэкономика

Преобразование Лежандра естественным образом возникает в микроэкономика в процессе поиска поставка $S (п)$ некоторого продукта по фиксированной цене $п$ на рынке, зная функция стоимости $C (Q)$ , то есть затраты производителя на создание / добычу / и т. д. $Q$ единиц данного продукта.

Простая теория объясняет форму кривой предложения исключительно на основе функции затрат. Предположим, что рыночная цена за единицу нашего продукта равна $п$ . Для компании, продающей этот товар, лучшая стратегия - наладить производство. $Q$ так что его прибыль максимальна. Мы можем максимизировать прибыль

{ displaystyle { text {прибыль}} = { text {доход}} - { text {затраты}} = PQ-C (Q)}

дифференцируя по $Q$ и решение

{ displaystyle P-C '(Q_ {opt}) = 0.}

$Q выбрать$ представляет собой оптимальное количество $Q$ товаров, которые производитель готов поставить, то есть саму поставку:

{ Displaystyle S (P) = Q_ {opt} (P) = (C ^ {'}) ^ {- 1} (P)}

.

Если мы рассмотрим максимальную прибыль как функцию цены, ${ displaystyle { text {прибыль}} _ { text {max}} (P)}$ , мы видим, что это преобразование Лежандра функции стоимости ${ Displaystyle C (Q)}$ .

Геометрическая интерпретация

Для строго выпуклая функция, преобразование Лежандра можно интерпретировать как отображение между график функции и семейства касательные графа. (Для функции одной переменной касательные хорошо определены на всех, но не более счетно много точек, поскольку выпуклая функция дифференцируемый на всех, но не более чем на счетное количество очков.)

Уравнение прямой с склон $п$ и $у$ -перехват $б$ дан кем-то $у = px + б$ . Чтобы эта прямая касалась графика функции $ж$ в момент $(Икс 0, ж (Икс 0))$ требует

{ displaystyle f left (x_ {0} right) = px_ {0} + b}

и

{ displaystyle p = f '(x_ {0}).}

Функция ${ displaystyle f '}$ строго монотонна как производная строго выпуклой функции. Второе уравнение можно решить относительно ${ displaystyle x_ {0} = f ^ { prime -1} (p)}$ , позволяя устранить $Икс 0$ с первого раза и решение для $у$ -перехват $б$ касательной в зависимости от ее наклона $п$ ,

{ displaystyle b = f left (f ^ { prime -1} left (p right) right) -p cdot f ^ { prime -1} left (p right) = - f ^ { star} (p).}

Вот, ${ displaystyle f ^ { star}}$ обозначает преобразование Лежандра $ж$ .

В семья касательных графика $ж$ параметризованный $п$ поэтому дается

{ displaystyle y = px-f ^ { star} (p),}

или, неявно записанные, решениями уравнения

{ Displaystyle F (x, y, p) = y + f ^ { star} (p) -px = 0 ~.}

График исходной функции может быть восстановлен из этого семейства линий как конверт этой семьи, требуя

{ Displaystyle { partial F (x, y, p) over partial p} = f ^ { star prime} (p) -x = 0.}

Устранение $п$ из этих двух уравнений дает

{ displaystyle y = x cdot f ^ { star prime -1} (x) -f ^ { star} left (f ^ { star prime -1} (x) right).}

Идентификация $у$ с $ж (Икс)$ и распознав правую часть предыдущего уравнения как преобразование Лежандра $ж *$ , дает

{ Displaystyle е (х) = е ^ { звезда звезда} (х) ~.}

Преобразование Лежандра в более чем одном измерении

Для дифференцируемой вещественнозначной функции на открыто подмножество $U$ из $р п$ Лежандровое сопряжение пары $(U, ж)$ определяется как пара $(V, г)$ , где $V$ это изображение $U$ под градиент отображение $Df$ , и $г$ функция на $V$ задается формулой

{ displaystyle g (y) = left langle y, x right rangle -f (x), qquad x = left (Df right) ^ {- 1} (y)}

где

{ displaystyle left langle u, v right rangle = sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} cdot v_ {k}}

это скалярное произведение на $р п$ . Многомерное преобразование можно интерпретировать как кодирование выпуклая оболочка функции эпиграф с точки зрения его поддерживающие гиперплоскости.^[1]

В качестве альтернативы, если $Икс$ это векторное пространство и $Y$ это его двойное векторное пространство, то для каждой точки $Икс$ из $Икс$ и $у$ из $Y$ , есть естественное отождествление котангенсные пространства $Т * Икс Икс$ с $Y$ и $Т * Y у$ с $Икс$ . Если $ж$ является действительной дифференцируемой функцией над $Икс$ , то его внешняя производная, $df$ , это раздел котангенсный пучок $Т * Икс$ и поэтому мы можем построить карту из $Икс$ к $Y$ . Аналогично, если $г$ является действительной дифференцируемой функцией над $Y$ , тогда $dg$ определяет карту из $Y$ к $Икс$ . Если обе карты оказываются обратными друг другу, мы говорим, что у нас есть преобразование Лежандра. Понятие о тавтологический однообразный обычно используется в этой настройке.

Когда функция недифференцируема, преобразование Лежандра все еще может быть расширено и известно как преобразование Преобразование Лежандра-Фенхеля. В этой более общей настройке теряются некоторые свойства: например, преобразование Лежандра больше не является своим собственным обратным (если нет дополнительных предположений, таких как выпуклость).

Преобразование Лежандра на многообразиях

Позволять $M$ быть гладкое многообразие, и разреши $TM$ обозначить его касательный пучок. Позволять $L : TM \to р$ - гладкая функция, которую мы будем называть лагранжианом. Превращение Лежандра $L$ является морфизмом векторных расслоений $F L : TM \to Т * M$ определяется следующим образом. Предположим, что $п = тусклый M$ и это $U \subseteq M$ это диаграмма. потом $U \times р п$ это диаграмма на $TM$ , и для любой точки $(Икс, v)$ на этой диаграмме преобразование Лежандра $L$ определяется

{ displaystyle mathbf {F} L (x, v) = left (x, { frac { partial L} { partial v}} (x, v) right).}

В связанная энергетическая функция это функция $E : TM \to р$ определяется

{ Displaystyle Е (х, v) = langle v, mathbf {F} L (x, v) rangle -L (x, v),}

где угловые скобки обозначают естественное сочетание касательного и котангенсного вектора. Преобразование Лежандра может быть далее обобщено до функции из векторного расслоения над $M$ в его двойную связку.^[2]

Другие свойства

Масштабирующие свойства

Преобразование Лежандра имеет следующие свойства масштабирования: Для $а > 0$ ,

{ Displaystyle f (x) = a cdot g (x) Rightarrow f ^ { star} (p) = a cdot g ^ { star} left ({ frac {p} {a}} верно)}

{ displaystyle f (x) = g (a cdot x) Rightarrow f ^ { star} (p) = g ^ { star} left ({ frac {p} {a}} right). }

Отсюда следует, что если функция однородный по степени $р$ то его образ при преобразовании Лежандра является однородной функцией степени $s$ , где $1/ р + 1/ s = 1$ . (С $ж (Икс) = Икс р / р$ , с участием $р > 1$ , подразумевает $ж *(п) = п s / s$ .) Таким образом, единственный моном, степень которого инвариантна относительно преобразования Лежандра, является квадратичным.

Поведение при переводе

{ Displaystyle f (x) = g (x) + b Rightarrow f ^ { star} (p) = g ^ { star} (p) -b}

{ displaystyle f (x) = g (x + y) Rightarrow f ^ { star} (p) = g ^ { star} (p) -p cdot y}

Поведение при инверсии

{ displaystyle f (x) = g ^ {- 1} (x) Rightarrow f ^ { star} (p) = - p cdot g ^ { star} left ({ frac {1} {p }}верно)}

Поведение при линейных преобразованиях

Позволять $А : р п \to р м$ быть линейное преобразование. Для любой выпуклой функции $ж$ на $р п$ , надо

{ Displaystyle (Аф) ^ { звезда} = е ^ { звезда} А ^ { звезда}}

где $А *$ это сопряженный оператор из $А$ определяется

{ displaystyle left langle Ax, y ^ { star} right rangle = left langle x, A ^ { star} y ^ { star} right rangle,}

и $Af$ это продвигать из $ж$ вместе $А$

{ displaystyle (Af) (y) = inf {f (x): x in X, Ax = y }.}

Замкнутая выпуклая функция $ж$ симметричен относительно заданного множества $г$ из ортогональные линейные преобразования,

{ Displaystyle е (Ах) = е (х), ; forall x, ; forall A in G}

если и только если $ж *$ симметричен относительно $г$ .

Инфимальная свертка

В инфимальная свертка двух функций $ж$ и $г$ определяется как

{ Displaystyle влево (е звезда _ { инф} г вправо) (х) = инф влево {е (ху) + г (у) , | , у в mathbf {R} ^ {n} right }.}

Позволять $ж 1, ..., ж м$ - собственные выпуклые функции на $р п$ . потом

{ displaystyle left (f_ {1} star _ { inf} cdots star _ { inf} f_ {m} right) ^ { star} = f_ {1} ^ { star} + cdots + f_ {m} ^ { star}.}

Неравенство Фенхеля

Для любой функции $ж$ и его выпуклый сопряженный $ж *$ Неравенство Фенхеля (также известный как Неравенство Фенхеля – Юнга) выполняется для каждого $Икс \in Икс$ и $п \in Икс *$ , т.е. независимый $Икс, п$ пары,

{ displaystyle left langle p, x right rangle leq f (x) + f ^ { star} (p).}

Смотрите также

использованная литература

^ «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2015-03-12. Получено 2011-01-26.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)
^ Марсден, Джеррод Э. и Ратиу, Тюдор, Введение в механику и симметрию: базовое описание классических механических систем, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98643-2, DOI 10.1007 / 978-0-387-21792-5.

Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (2008). Методы математической физики. 2. Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0471504399.
Арнольд Владимир Игоревич (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-96890-3.
Фенчел, В. (1949). «О сопряженных выпуклых функциях», Мочь. J. Math 1: 73-77.
Рокафеллар, Р. Тиррелл (1996) [1970]. Выпуклый анализ. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01586-4.
Zia, R. K. P .; Redish, E. F .; Маккей, С. Р. (2009). «Осмысление преобразования Лежандра». Американский журнал физики. 77 (7): 614. arXiv:0806.1147. Bibcode:2009AmJPh..77..614Z. Дои:10.1119/1.3119512.

дальнейшее чтение

Нильсен, Франк (01.09.2010). «Преобразование Лежандра и информационная геометрия» (PDF). Получено 2016-01-24.
Тушетт, Хьюго (2005-07-27). «В двух словах о трансформации Лежандра-Феншеля» (PDF). Получено 2016-01-24.
Тушетт, Хьюго (21 ноября 2006 г.). «Элементы выпуклого анализа» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-02-01. Получено 2016-01-24.

внешние ссылки

[1] «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2015-03-12. Получено 2011-01-26.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)

[2] Марсден, Джеррод Э. и Ратиу, Тюдор, Введение в механику и симметрию: базовое описание классических механических систем, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98643-2, DOI 10.1007 / 978-0-387-21792-5.

[1]

[2]

Navigation