WikiDer > Обозначения для дифференцирования

В дифференциальное исчисление, нет единой униформы обозначение для дифференцирования. Вместо этого несколько разных обозначений для производная из функция или же Переменная были предложены разными математиками. Полезность каждой нотации зависит от контекста, и иногда бывает выгодно использовать более одной нотации в данном контексте. Наиболее распространенные обозначения для дифференцирования (и его противоположной операции - антидифференцировка или неопределенная интеграция) перечислены ниже.

Обозначения Лейбница

Исходные обозначения, используемые Готфрид Лейбниц используется во всей математике. Это особенно часто встречается, когда уравнение у = ж(Икс) рассматривается как функциональная связь между зависимые и независимые переменные у и Икс. Обозначения Лейбница делают это отношение явным, записывая производную как

${displaystyle {frac {dy} {dx}}.}$

Функция, значение которой при Икс является производной от ж в Икс поэтому написано

${displaystyle {frac {df} {dx}} (x) {ext {or}} {frac {df (x)} {dx}} {ext {or}} {frac {d} {dx}} f (x ).}$

Высшие производные записываются как

${displaystyle {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}}, {frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}}}, {frac {d ^ {4} y} {dx ^ {4}}}, ldots, {frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}}.}$

Это наводящий на размышления прием записи, который происходит от формальных манипуляций с символами, например,

${displaystyle {frac {dleft ({frac {dleft ({frac {dy} {dx}} ight)} {dx}} ight)} {dx}} = left ({frac {d} {dx}} ight) ^ {3} y = {frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}}}.}$

С логической точки зрения эти равенства не являются теоремами. Вместо этого они просто определения обозначений.

Значение производной от у в какой-то момент Икс = а может быть выражено двумя способами, используя обозначение Лейбница:

${displaystyle left. {frac {dy} {dx}} ight | _ {x = a} = {frac {dy} {dx}} (a)}$.

Обозначения Лейбница позволяют указать переменную для дифференцирования (в знаменателе). Это особенно полезно при рассмотрении частные производные. Это также делает Правило цепи легко запомнить и узнать:

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {dy} {du}} cdot {frac {du} {dx}}.}$

Обозначения Лейбница для различения не требуют присвоения значения таким символам, как dx или же dy сами по себе, и некоторые авторы не пытаются присвоить этим символам значение. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые. Позже авторы приписывали им другие значения, например бесконечно малые в нестандартный анализ или же внешние производные.

Некоторые авторы и журналы устанавливают дифференциальный символ d в римский шрифт вместо курсив: dИкс. В ISO / IEC 80000 Руководство по научному стилю рекомендует этот стиль.

Обозначение Лейбница для антидифференцировки

Лейбниц представил интегральный символ ∫ в Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae, образец (оба с 1675 г.). Теперь это стандартный символ для интеграция.

${displaystyle {egin {align} int y ', dx & = int f' (x), dx = f (x) + C_ {0} = y + C_ {0} int y, dx & = int f (x), dx = F (x) + C_ {1} iint y, dx ^ {2} & = int left (int y, dxight) dx = int _ {X imes X} f (x), dx = int F (x ), dx = g (x) + C_ {2} underbrace {int dots int} _ {!! n} y, underbrace {dxdots dx} _ {n} & = int _ {underbrace {X imes cdots imes X} _ {n}} f (x), dx = int s (x), dx = S (x) + C_ {n} конец {выровнено}}}$

Обозначения Лагранжа

Одно из наиболее распространенных современных обозначений дифференциации связано с Жозеф Луи Лагранж. В обозначениях Лагранжа главный знак обозначает производную. Если ж является функцией, то ее производная, вычисляемая на Икс написано

${displaystyle f '(x)}$.

Лагранж впервые использовал обозначения в неопубликованных работах, а в печати они появились в 1770 году.^[1]

Высшие производные обозначаются дополнительными штрихами, как в ${displaystyle f '' (x)}$ для вторая производная и ${displaystyle f '' '(x)}$ для третья производная. Использование повторяющихся штрихов со временем становится громоздким. Некоторые авторы продолжают использовать римские цифры, обычно в нижнем регистре,^[2][3] как в

${displaystyle f ^ {mathrm {iv}} (x), f ^ {mathrm {v}} (x), f ^ {mathrm {vi}} (x), ldots,}$

для обозначения производных четвертого, пятого, шестого и более высоких порядков. Другие авторы используют арабские цифры в скобках, как в

${displaystyle f ^ {(4)} (x), f ^ {(5)} (x), f ^ {(6)} (x), ldots.}$

Эти обозначения также позволяют описать п-я производная, где п это переменная. Это написано

${displaystyle f ^ {(n)} (x).}$

Символы Юникода, относящиеся к нотации Лагранжа, включают

• U + 2032 ◌′ ОСНОВНОЙ (производная)
• U + 2033 ◌″ ДВОЙНОЙ ПРАЙМ (двойная производная)
• U + 2034 ◌‴ ТРОЙНОЙ ПРАЙМ (третья производная)
• U + 2057 ◌⁗ ЧЕТВЕРКА ПРАЙМ (четвертая производная)

Когда есть две независимые переменные для функции ж(Икс,у) можно следовать следующему соглашению:^[4]

${displaystyle {egin {align} f ^ {prime} & = {frac {df} {dx}} = f_ {x} f_ {prime} & = {frac {df} {dy}} = f_ {y} f ^ {простое число} & = {гидроразрыв {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} = f_ {xx} f_ {простое число} ^ {простое число} & = {гидроразрыв {частичное ^ {2} f} {частичный xpartial y}} = f_ {xy} f_ {простое простое число} & = {frac {d ^ {2} f} {dy ^ {2}}} = f_ {yy} ,, end {выровнено} }}$

Обозначение Лагранжа для антидифференцировки

Принимая первообразную, Лагранж руководствовался обозначениями Лейбница:^[1]

${displaystyle f (x) = int f '(x), dx = int y, dx.}$

Однако, поскольку интегрирование является обратным дифференцированию, обозначения Лагранжа для производных более высокого порядка распространяются и на интегралы. Повторяющиеся интегралы от ж можно записать как

${displaystyle f ^ {(- 1)} (x)}$ для первого интеграла (его легко спутать с обратная функция ${displaystyle f ^ {- 1} (x)}$),

${displaystyle f ^ {(- 2)} (x)}$ для второго интеграла

${displaystyle f ^ {(- 3)} (x)}$ для третьего интеграла и

${displaystyle f ^ {(- n)} (x)}$ для п-й интеграл.

Обозначение Эйлера

Леонард Эйлерв обозначении используется дифференциальный оператор предложено Луи Франсуа Антуан Арбогаст, обозначенный как D (Оператор D)^[5] или же D̃ (Оператор Ньютона – Лейбница)^[6] Применительно к функции ж(Икс), он определяется

${displaystyle (Df) (x) = {frac {df (x)} {dx}}.}$

Высшие производные обозначаются степенями D, как в^[4]

${displaystyle D ^ {2} f}$ для второй производной

${displaystyle D ^ {3} f}$ для третьей производной и

${displaystyle D ^ {n} f}$ для п-я производная.

Нотация Эйлера оставляет неявной переменную, по которой выполняется дифференцирование. Однако эту переменную также можно указать явно. Когда ж является функцией переменной Икс, это делается путем написания^[4]

${displaystyle D_ {x} f}$ для первой производной,

${displaystyle D_ {x} ^ {2} f}$ для второй производной

${displaystyle D_ {x} ^ {3} f}$ для третьей производной и

${displaystyle D_ {x} ^ {n} f}$ для п-я производная.

Когда ж является функцией нескольких переменных, обычно используется "∂" скорее, чем D. Как и выше, нижние индексы обозначают взятые производные. Например, вторые частные производные функции ж(Икс, у) находятся:^[4]

${displaystyle partial _ {xx} f = {frac {partial ^ {2} f} {partial x ^ {2}}},}$

${displaystyle partial _ {xy} f = {frac {partial ^ {2} f} {partial ypartial x}},}$

${displaystyle partial _ {yx} f = {frac {partial ^ {2} f} {partial xpartial y}},}$

${displaystyle partial _ {yy} f = {frac {partial ^ {2} f} {partial y ^ {2}}}.}$

Видеть § Частные производные.

Обозначения Эйлера полезны для формулировки и решения линейные дифференциальные уравнения, поскольку это упрощает представление дифференциального уравнения, что может облегчить понимание основных элементов проблемы.

Нотация Эйлера для антидифференцировки

Обозначения Эйлера могут использоваться для антидифференцировки так же, как обозначения Лагранжа.^[7] следующее^[6]

${displaystyle D ^ {- 1} f (x)}$ для первого первообразного,

${displaystyle D ^ {- 2} f (x)}$ для второй первообразной, и

${displaystyle D ^ {- n} f (x)}$ для пй первообраз.

Обозначение Ньютона

Ньютонобозначение дифференцирования (также называемое точечная запись, а иногда грубо обозначение мухи^[8] для дифференциации) ставит точку над зависимой переменной. То есть, если у является функцией т, то производная от у относительно т является

${displaystyle {точка {y}}}$

Высшие производные представлены с использованием нескольких точек, как в

${displaystyle {ddot {y}}, {overset {...} {y}}}$

Ньютон довольно далеко расширил эту идею:^[9]

${displaystyle {egin {align} {ddot {y}} & Equiv {frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = {frac {d} {dt}} left ({frac {dy} { dt}} ight) = {frac {d} {dt}} {Bigl (} {dot {y}} {Bigr)} = {frac {d} {dt}} {Bigl (} f '(t) {Bigr )} = D_ {t} ^ {2} y = f '' (t) = y '' _ {t} {overset {...} {y}} & = {dot {ddot {y}}} Equiv {frac {d ^ {3} y} {dt ^ {3}}} = D_ {t} ^ {3} y = f '' '(t) = y' '' _ {t} {overset { , 4} {точка {y}}} & = {overset {....} {y}} = {ddot {ddot {y}}} Equiv {frac {d ^ {4} y} {dt ^ {4 }}} = D_ {t} ^ {4} y = f ^ {m {IV}} (t) = y_ {t} ^ {(4)} {overset {, 5} {точка {y}}} & = {ddot {overset {...} {y}}} = {dot {ddot {ddot {y}}}} = {ddot {dot {ddot {y}}}} Equiv {frac {d ^ {5 } y} {dt ^ {5}}} = D_ {t} ^ {5} y = f ^ {m {V}} (t) = y_ {t} ^ {(5)} {overset {, 6) } {точка {y}}} & = {overset {...} {overset {...} {y}}} Equiv {frac {d ^ {6} y} {dt ^ {6}}} = D_ {t} ^ {6} y = f ^ {m {VI}} (t) = y_ {t} ^ {(6)} {overset {, 7} {точка {y}}} & = {точка { overset {...} {overset {...} {y}}}} Equiv {frac {d ^ {7} y} {dt ^ {7}}} = D_ {t} ^ {7} y ​​= f ^ {m {VII}} (t) = y_ {t} ^ {(7)} {overset {, 10} {dot {y}}} & = {ddot {ddot {ddot {ddot {ddot {y}) }}}}} эквивалент {гидроразрыва {d ^ {10} y} {dt ^ {10}}} = D_ {t} ^ {10} y = f ^ {m {X}} (t) = y_ {t } ^ {(10)} {overset { , n} {точка {y}}} & Equiv {frac {d ^ {n} y} {dt ^ {n}}} = D_ {t} ^ {n} y = f ^ {(n)} (t) = y_ {t} ^ {(n)} конец {выровнено}}}$

Символы Юникода, относящиеся к нотации Ньютона, включают:

• U + 0307 ◌̇ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (производная)
• U + 0308 ◌̈ СОЧЕТАНИЕ ДИАРЕЗА (двойная производная)
• U + 20 дБ ◌⃛ СОЕДИНЕНИЕ ТРИ ТОЧКИ ВЫШЕ (третья производная) ← заменено на «объединение диэрезиса» + «объединение точки выше».
• U + 20DC ◌⃜ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧЕТЫРЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (четвертая производная) ← дважды заменено на «комбинированный диэрезис».
• U + 030D ◌̍ ОБЪЕДИНЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (интеграл)
• U + 030E ◌̎ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВОЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (второй интеграл)
• U + 25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК (интеграл)
• U + 20DE ◌⃞ КОМБИНИРОВАННАЯ ОГРАЖДЕНИЕ (интеграл)
• U + 1DE0 ◌ᷠ ОБЪЕДИНЕНИЕ СТРОЧНОЙ ЛАТИНСКОЙ БУКВЫ N (пth производная)

Обозначение Ньютона обычно используется, когда независимая переменная обозначает время. Если место у является функцией т, тогда ${displaystyle {точка {y}}}$ обозначает скорость^[10] и ${displaystyle {ddot {y}}}$ обозначает ускорение.^[11] Это обозначение популярно в физика и математическая физика. Он также появляется в областях математики, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения. Он популярен только для первой и второй производных, но в приложениях это обычно единственные производные, которые необходимы.

При взятии производной зависимой переменной у = ж(Икс) существует альтернативное обозначение:^[12]

${displaystyle {frac {dot {y}} {dot {x}}} = {dot {y}}: {dot {x}} Equiv {frac {dy} {dt}}: {frac {dx} {dt}) } = {frac {frac {dy} {dt}} {frac {dx} {dt}}} = {frac {dy} {dx}} = {frac {d} {dt}} {Bigl (} f (x ) {Bigr)} = Dy = f '(x) = y'}$

Ньютон разработал следующие операторы в частных производных, используя боковые точки на изогнутом X (ⵋ). Определения, данные Whiteside, приведены ниже:^[13][14]

${displaystyle {egin {align} {mathcal {X}} & = f (x, y) ,, cdot {mathcal {X}} & = x {frac {partial f} {partial x}} = xf_ {x} ,, {mathcal {X}} cdot & = y {frac {partial f} {partial y}} = yf_ {y} ,, Colon {mathcal {X}}, {ext {or}}, cdot left ( cdot {mathcal {X}} ight) & = x ^ {2} {frac {partial ^ {2} f} {partial x ^ {2}}} = x ^ {2} f_ {xx} ,, {mathcal {X}} двоеточие, {ext {или}}, слева ({mathcal {X}} cdot ight) cdot & = y ^ {2} {frac {partial ^ {2} f} {partial y ^ {2}} } = y ^ {2} f_ {yy} ,, cdot {mathcal {X}} cdot & = xy {frac {partial ^ {2} f} {partial xpartial y}} = xyf_ {xy} ,, end { выровнено}}}$

Обозначение Ньютона для интеграции

Ньютон разработал множество различных обозначений для интеграция в его Quadratura curvarum (1704) и позже работает: он написал маленькую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной (й̍ ), прямоугольник с префиксом (▭у), либо заключением члена в прямоугольник (у) для обозначения беглый или интеграл по времени (опускание).

${displaystyle {egin {align} y & = Box {dot {y}} Equiv int {dot {y}}, dt = int f '(t), dt = D_ {t} ^ {- 1} (D_ {t} y) = f (t) + C_ {0} = y_ {t} + C_ {0} {overset {, prime} {y}} & = Box yequiv int y, dt = int f (t), dt = D_ {t} ^ {- 1} y = F (t) + C_ {1} конец {выровнено}}}$

Для обозначения нескольких интегралов Ньютон использовал две маленькие вертикальные черты или простые числа (й̎) или комбинация предыдущих символов ▭й̍й̍, чтобы обозначить второй интеграл по времени (абсолютность).

${displaystyle {overset {, prime prime} {y}} = Box {overset {, prime} {y}} Equiv int {overset {, prime} {y}}, dt = int F (t), dt = D_ { t} ^ {- 2} y = g (t) + C_ {2}}$

Интегралы по времени высшего порядка были следующими:^[15]

${displaystyle {egin {выровнено} {overset {, простое простое число} {y}} & = Box {overset {, prime prime} {y}} Equiv int {overset {, prime prime} {y}}, dt = int g (t), dt = D_ {t} ^ {- 3} y = G (t) + C_ {3} {overset {, простое простое простое число} {y}} & = Box {overset {, простое простое число простое число} {y}} эквив int {overset {, простое простое число} {y}}, dt = int G (t), dt = D_ {t} ^ {- 4} y = h (t) + C_ {4 } {overset {; n} {overset {, prime} {y}}} & = Box {overset {; n-1} {overset {, prime} {y}}} Equiv int {overset {; n-1 } {overset {, prime} {y}}}, dt = int s (t), dt = D_ {t} ^ {- n} y = S (t) + C_ {n} конец {выровнено}}}$

Этот математическая запись не получили широкого распространения из-за трудностей печати и Споры об исчислении Лейбница – Ньютона.

Частные производные

Когда необходимы более конкретные типы дифференциации, например, в многомерное исчисление или же тензорный анализ, другие обозначения являются общими.

Для функции ж(Икс), мы можем выразить производную, используя индексы независимой переменной:

${displaystyle {egin {align} f_ {x} & = {frac {df} {dx}} f_ {xx} & = {frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}}. end { выровнено}}}$

Этот тип обозначений особенно полезен для частные производные функции нескольких переменных.

Частные производные обычно отличаются от обычных производных заменой дифференциального оператора d с "∂"символ. Например, мы можем указать частную производную от ж(Икс, у, z) относительно Икс, но не у или же z несколькими способами:

${displaystyle {frac {partial f} {partial x}} = f_ {x} = partial _ {x} f}$.

Что делает это различие важным, так это то, что непрямая производная, такая как ${displaystyle extstyle {frac {df} {dx}}}$ май, в зависимости от контекста, интерпретировать как скорость изменения ${displaystyle f}$ относительно ${displaystyle x}$ когда все переменные могут изменяться одновременно, тогда как с частной производной, такой как ${displaystyle extstyle {frac {partial f} {partial x}}}$ ясно, что должна изменяться только одна переменная.

Другие обозначения можно найти в различных подполях математики, физики и инженерии, см., Например, Максвелл отношения из термодинамика. Символ ${displaystyle left ({frac {partial T} {partial V}} ight) _ {S}}$ - производная от температуры Т по объему V при сохранении постоянной энтропии (нижний индекс) S, пока ${displaystyle left ({frac {partial T} {partial V}} ight) _ {P}}$ - производная температуры по объему при постоянном давлении п. Это становится необходимым в ситуациях, когда количество переменных превышает количество степеней свободы, так что нужно выбирать, какие другие переменные следует оставить фиксированными.

Частные производные высшего порядка по одной переменной выражаются как

${displaystyle {frac {partial ^ {2} f} {partial x ^ {2}}} = f_ {xx}}$

${displaystyle {frac {partial ^ {3} f} {partial x ^ {3}}} = f_ {xxx}.}$

Смешанные частные производные могут быть выражены как

${displaystyle {frac {partial ^ {2} f} {partial ypartial x}} = f_ {xy}.}$

В этом последнем случае переменные записываются в обратном порядке между двумя обозначениями, что объясняется следующим образом:

${displaystyle (f_ {x}) _ {y} = f_ {xy}}$

${displaystyle {frac {partial} {partial y}} left ({frac {partial f} {partial x}} ight) = {frac {partial ^ {2} f} {partial ypartial x}}}$

Обозначения в векторном исчислении

Векторное исчисление обеспокоенность дифференциация и интеграция из вектор или же скаляр поля. Несколько обозначений, характерных для случая трехмерных Евклидово пространство общие.

Предположить, что (Икс, у, z) дано Декартова система координат, который А это векторное поле с компонентами ${displaystyle mathbf {A} = (mathbf {A} _ {x}, mathbf {A} _ {y}, mathbf {A} _ {z})}$, и это ${displaystyle varphi = varphi (x, y, z)}$ это скалярное поле.

Дифференциальный оператор, введенный Уильям Роуэн Гамильтон, написано ∇ и позвонил дель или набла, символически определяется в виде вектора,

${displaystyle abla = left ({frac {partial} {partial x}}, {frac {partial} {partial y}}, {frac {partial} {partial z}} ight),}$

где терминология символически отражает, что оператор ∇ также будет рассматриваться как обычный вектор.

• Градиент: Градиент ${displaystyle mathrm {grad,} varphi}$ скалярного поля ${displaystyle varphi}$ - вектор, который символически выражается умножение и скалярного поля ${displaystyle varphi}$,

${displaystyle {egin {align} operatorname {grad} varphi & = left ({frac {partial varphi} {partial x}}, {frac {partial varphi} {partial y}}, {frac {partial varphi} {partial z}} } ight) & = left ({frac {partial} {partial x}}, {frac {partial} {partial y}}, {frac {partial} {partial z}} ight) varphi & = abla varphi end { выровнено}}}$

• Расхождение: Дивергенция ${displaystyle mathrm {div}, mathbf {A}}$ векторного поля А - скаляр, который символически выражается скалярное произведение и вектора А,

${displaystyle {egin {выравнивается} имя оператора {div} mathbf {A} & = {частичное A_ {x} вместо частичного x} + {частичное A_ {y} вместо частичного y} + {частичное A_ {z} вместо частичного z} & = left ({frac {partial} {partial x}}, {frac {partial} {partial y}}, {frac {partial} {partial z}} ight) cdot mathbf {A} & = abla cdot mathbf { A} конец {выровнен}}}$

• Лапласиан: Лапласиан ${displaystyle operatorname {div} operatorname {grad} varphi}$ скалярного поля ${displaystyle varphi}$ является скаляром, который символически выражается скалярным умножением ∇² и скалярное поле φ,

${displaystyle {egin {выровнено} имя оператора {div} имя оператора {grad} varphi & = abla cdot (abla varphi) & = (abla cdot abla) varphi & = abla ^ {2} varphi & = Delta varphi end { выровнен}}}$

• Вращение: Вращение ${displaystyle mathrm {curl}, mathbf {A}}$, или же ${displaystyle mathrm {rot}, mathbf {A}}$, векторного поля А - вектор, который символически выражается перекрестное произведение и вектора А,

${displaystyle {egin {align} operatorname {curl} mathbf {A} & = left ({частичное A_ {z} над {частичным y}} - {частичное A_ {y} над {частичным z}}, {частичное A_ {x } по {частичному z}} - {частичному A_ {z} по {частичному x}}, {частичному A_ {y} по {частичному x}} - {частичному A_ {x} по {частичному y}} полету) & = left ({частичное A_ {z} над {частичным y}} - {частичное A_ {y} над {частичным z}} ight) mathbf {i} + left ({частичное A_ {x} над {частичным z}} - {partial A_ {z} over {partial x}} ight) mathbf {j} + left ({partial A_ {y} over {partial x}} - {partial A_ {x} over {partial y}} ight) mathbf { k} & = {egin {vmatrix} mathbf {i} & mathbf {j} & mathbf {k} {cfrac {partial} {partial x}} & {cfrac {partial} {partial y}} & {cfrac {partial} {partial z}} A_ {x} & A_ {y} & A_ {z} end {vmatrix}} & = abla imes mathbf {A} конец {выровнено}}}$

Многие символьные операции над производными могут быть напрямую обобщены с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, единственная переменная правило продукта имеет прямой аналог в умножении скалярных полей путем применения оператора градиента, как в

${displaystyle (fg) '= f'g + fg' ~~~ Longrightarrow ~~~ abla (phi psi) = (abla phi) psi + phi (abla psi).}$

Многие другие правила исчисления одной переменной имеют аналоги векторного исчисления для градиента, дивергенции, ротора и лапласиана.

Для более экзотических типов пространств были разработаны дальнейшие обозначения. Для расчетов в Пространство Минковского, то оператор Даламбера, также называемый даламбертианом, волновым оператором или прямоугольным оператором, представлен как ${displaystyle Box}$, или как ${displaystyle Delta}$ когда не противоречит символу лапласиана.

Смотрите также

• Аналитическое общество
• Производная
• Матрица якобиана
• Матрица Гессе

Рекомендации

внешняя ссылка

• Раннее использование символов исчисления, поддерживается Джеффом Миллером.