WikiDer > Список формул, содержащих π

Ниже приводится список важных формул, включающих математическая константа π. В списке присутствуют только формулы, значение которых установлено либо в статье, либо в самой формуле, либо в статье число Пи, или статья Приближения π.

Евклидова геометрия

${ displaystyle pi = { frac {C} {d}}}$

куда C это длина окружности из круг, d это диаметр.

${ displaystyle A = pi r ^ {2}}$

куда А это площадь круга и р это радиус.

${ displaystyle V = {4 over 3} pi r ^ {3}}$

куда V объем сфера и р это радиус.

${ Displaystyle SA = 4 pi r ^ {2}}$

куда SA площадь поверхности сферы и р это радиус.

Физика

• В космологическая постоянная:

${ displaystyle Lambda = {{8 pi G} over {3c ^ {2}}} rho}$

• Принцип неопределенности Гейзенберга:

${ displaystyle Delta x , Delta p geq { frac {h} {4 pi}}}$

• Уравнение поля Эйнштейна из общая теория относительности:

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} g _ { mu nu} R + Lambda g _ { mu nu} = {8 pi G over c ^ {4 }} Т _ { mu nu}}$

• Закон Кулона для электрическая сила:

${ displaystyle F = { frac {| q_ {1} q_ {2} |} {4 pi varepsilon _ {0} r ^ {2}}}}$

• Магнитная проницаемость свободного пространства:

${ displaystyle mu _ {0} = 4 pi cdot 10 ^ {- 7} , mathrm {N} / mathrm {A} ^ {2}}$

• Период простого маятник с небольшой амплитудой:

${ displaystyle T приблизительно 2 pi { sqrt { frac {L} {g}}}}$

• Третий закон движения планет Кеплера:

${ displaystyle { frac {R ^ {3}} {T ^ {2}}} = { frac {GM} {4 pi ^ {2}}}}$

• В коробление формула:

${ displaystyle F = { frac { pi ^ {2} EI} {L ^ {2}}}}$

Формулы, дающие π

Интегралы

${ displaystyle 2 int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {1-x ^ {2}}} , dx = pi}$ (объединяя две половинки ${ Displaystyle у (х) = { sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}$ чтобы получить площадь круга радиуса ${ displaystyle r = 1}$)

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {sech} (x) , dx = pi}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} int _ {t} ^ { infty} e ^ {- 1 / 2t ^ {2} -x ^ {2} + xt} , dx , dt = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {t} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2} -1 / 2x ^ {2} + xt} , dx , dt = pi}$

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {dx} { sqrt {1-x ^ {2}}}} = pi}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} = pi}$ (интегральная форма арктан по всей его области, давая период загар).

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi}}}$ (видеть Гауссов интеграл).

${ displaystyle oint { frac {dz} {z}} = 2 pi i}$ (когда путь интегрирования один раз наматывается против часовой стрелки вокруг 0. См. также Интегральная формула Коши).

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx = pi}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} {x ^ {4} (1-x) ^ {4} over 1 + x ^ {2}} , dx = {22 over 7} - число Пи }$ (смотрите также Доказательство того, что 22/7 превышает π).

Отметим, что с симметричными подынтегральными выражениями ${ Displaystyle f (-x) = f (x)}$, формулы вида ${ displaystyle int _ {- a} ^ {a} f (x) , dx}$ также можно перевести в формулы ${ displaystyle 2 int _ {0} ^ {a} f (x) , dx}$.

Эффективная бесконечная серия

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {k!} {(2k + 1) !!}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {2 ^ {k} k! ^ {2}} {(2k + 1)!}} = { Frac { pi} {2}}}$ (смотрите также Двойной факториал)

${ displaystyle 12 sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} (6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k)! (k!) ^ { 3} 640320 ^ {3k + 3/2}}} = { frac {1} { pi}}}$ (видеть Алгоритм Чудновского)

${ displaystyle { frac {2 { sqrt {2}}} {9801}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(4k)! (1103 + 26390k)} {(k !) ^ {4} 396 ^ {4k}}} = { frac {1} { pi}}}$ (видеть Шриниваса Рамануджан, Рамануджан – Сато серия)

Следующие примеры эффективны для вычисления произвольных двоичных цифр π:

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {16 ^ {k}}} left ({ frac {4} {8k + 1}} - { frac { 2} {8k + 4}} - { frac {1} {8k + 5}} - { frac {1} {8k + 6}} right) = pi}$ (видеть Формула Бейли – Борвейна – Плуфа)

${ displaystyle { frac {1} {2 ^ {6}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {{(-1)} ^ {n}} {2 ^ {10n }}} left (- { frac {2 ^ {5}} {4n + 1}} - { frac {1} {4n + 3}} + { frac {2 ^ {8}} {10n + 1}} - { frac {2 ^ {6}} {10n + 3}} - { frac {2 ^ {2}} {10n + 5}} - { frac {2 ^ {2}} {10n +7}} + { frac {1} {10n + 9}} right) = pi}$

Другая бесконечная серия

${ displaystyle zeta (2) = { frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2 }}} + { frac {1} {4 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {6}}}$ (смотрите также Базельская проблема и Дзета-функция Римана)

${ displaystyle zeta (4) = { frac {1} {1 ^ {4}}} + { frac {1} {2 ^ {4}}} + { frac {1} {3 ^ {4 }}} + { frac {1} {4 ^ {4}}} + cdots = { frac { pi ^ {4}} {90}}}$

${ displaystyle zeta (2n) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {2n}}} , = { frac {1} {1 ^ {2n }}} + { frac {1} {2 ^ {2n}}} + { frac {1} {3 ^ {2n}}} + { frac {1} {4 ^ {2n}}} + cdots = (- 1) ^ {n + 1} { frac {B_ {2n} (2 pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}}$ , куда B_2п это Число Бернулли.

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {3 ^ {n} -1} {4 ^ {n}}} , zeta (n + 1) = pi}$^[1]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1 - { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {7}} + { frac {1} {9}} - cdots = arctan {1} = { frac { pi} {4 }}}$ (видеть Формула Лейбница для числа пи)

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n ^ {2}}} = { frac {1} {1 ^ { 2}}} - { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} - { frac {1} {4 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {12}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {(2n) ^ {2}}} = { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {4 ^ {2}}} + { frac {1} {6 ^ {2}}} + { frac {1} {8 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {24}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} right) ^ {2} = { frac { 1} {1 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + { frac {1} {5 ^ {2}}} + { frac {1} {7 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {8}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} right) ^ {3} = { frac { 1} {1 ^ {3}}} - { frac {1} {3 ^ {3}}} + { frac {1} {5 ^ {3}}} - { frac {1} {7 ^ {3}}} + cdots = { frac { pi ^ {3}} {32}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} right) ^ {4} = { frac { 1} {1 ^ {4}}} + { frac {1} {3 ^ {4}}} + { frac {1} {5 ^ {4}}} + { frac {1} {7 ^ {4}}} + cdots = { frac { pi ^ {4}} {96}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} right) ^ {5} = { frac { 1} {1 ^ {5}}} - { frac {1} {3 ^ {5}}} + { frac {1} {5 ^ {5}}} - { frac {1} {7 ^ {5}}} + cdots = { frac {5 pi ^ {5}} {1536}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} right) ^ {6} = { frac { 1} {1 ^ {6}}} + { frac {1} {3 ^ {6}}} + { frac {1} {5 ^ {6}}} + { frac {1} {7 ^ {6}}} + cdots = { frac { pi ^ {6}} {960}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(4n + 1) (4n + 3)}} = { frac {1} {1 cdot 3}} + { frac {1} {5 cdot 7}} + { frac {1} {9 cdot 11}} + cdots = { frac { pi} {8}}}$

${ displaystyle pi = 1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {4}} - { frac {1} {5} } + { frac {1} {6}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {8}} + { frac {1} {9}} - { frac { 1} {10}} + { frac {1} {11}} + { frac {1} {12}} - { frac {1} {13}} + cdots}$ (Эйлер, 1748 г.)

После первых двух слагаемых знаки определяются следующим образом: Если в знаменателе стоит простое число вида 4м - 1, знак положительный; если знаменатель - простое число вида 4м + 1, знак отрицательный; для составных чисел знак равен произведению знаков его множителей.^[2]

Также:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {F_ {2n}} {n ^ {2} { binom {2n} {n}}}} = { frac {4 пи ^ {2}} {25 { sqrt {5}}}}}$

куда ${ displaystyle F_ {n}}$ это п-го Число Фибоначчи.

Некоторые формулы, относящиеся π и номера гармоник даны здесь.

Машинные формулы

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = arctan 1}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = arctan { frac {1} {2}} + arctan { frac {1} {3}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 2 arctan { frac {1} {2}} - arctan { frac {1} {7}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 2 arctan { frac {1} {3}} + arctan { frac {1} {7}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 4 arctan { frac {1} {5}} - arctan { frac {1} {239}}}$ (оригинал Мачина формула)

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 5 arctan { frac {1} {7}} + 2 arctan { frac {3} {79}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 6 arctan { frac {1} {8}} + 2 arctan { frac {1} {57}} + arctan { frac {1 } {239}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 12 arctan { frac {1} {49}} + 32 arctan { frac {1} {57}} - 5 arctan { frac { 1} {239}} + 12 arctan { frac {1} {110443}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 44 arctan { frac {1} {57}} + 7 arctan { frac {1} {239}} - 12 arctan { frac { 1} {682}} + 24 arctan { frac {1} {12943}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {2}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} arctan { frac {1} {F_ {2n + 1}}} = arctan { frac {1} {1}} + arctan { frac {1} {2}} + arctan { frac {1} {5}} + arctan { frac {1} {13}} + cdots }$

куда ${ displaystyle F_ {n}}$ это п-го Число Фибоначчи.

Бесконечная серия

Некоторые бесконечные серии с участием π:^[3]

${ displaystyle pi = { frac {1} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {((2n)!) ^ {3} (42n + 5)} {(n!) ^ {6} {16} ^ {3n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {4} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (4n)! (21460n + 1123)} {(n!) ^ {4} { 441} ^ {2n + 1} {2} ^ {10n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {4} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(6n + 1) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} ^ {3 }} {{4 ^ {n}} (п!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {32} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {{ sqrt {5}} - 1} {2}} right) ^ {8n} { frac { (42n { sqrt {5}} + 30n + 5 { sqrt {5}} - 1) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} ^ {3}} {{ 64 ^ {n}} (n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {27} {4Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {2} {27}} right) ^ {n} { frac {(15n + 2) left ( { frac {1} {2}} right) _ {n} left ({ frac {1} {3}} right) _ {n} left ({ frac {2} {3}} right) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {15 { sqrt {3}}} {2Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {4} {125}} right) ^ {n} { frac {(33n + 4) left ( { frac {1} {2}} right) _ {n} left ({ frac {1} {3}} right) _ {n} left ({ frac {2} {3}} right) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {85 { sqrt {85}}} {18 { sqrt {3}} Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {4} {85}} right) ^ {n} { frac {(133n + 8) left ( { frac {1} {2}} right) _ {n} left ({ frac {1} {6}} right) _ {n} left ({ frac {5} {6}} right) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {5 { sqrt {5}}} {2 { sqrt {3}} Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {4} {125}} right) ^ {n} { frac {(11n + 1) left ( { frac {1} {2}} right) _ {n} left ({ frac {1} {6}} right) _ {n} left ({ frac {5} {6}} right) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {2 { sqrt {3}}} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(8n + 1) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} left ( { frac {1} {4}} right) _ {n} left ({ frac {3} {4}} right) _ {n}} {(n!) ^ {3} {9} ^ {n}}}}$
${ displaystyle pi = { frac { sqrt {3}} {9Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(40n + 3) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} left ( { frac {1} {4}} right) _ {n} left ({ frac {3} {4}} right) _ {n}} {(n!) ^ {3} {49} ^ {2n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {2 { sqrt {11}}} {11Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(280n + 19) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} left ( { frac {1} {4}} right) _ {n} left ({ frac {3} {4}} right) _ {n}} {(n!) ^ {3} {99} ^ {2n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac { sqrt {2}} {4Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(10n + 1) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} left ( { frac {1} {4}} right) _ {n} left ({ frac {3} {4}} right) _ {n}} {(n!) ^ {3} {9} ^ {2n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {4 { sqrt {5}}} {5Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(644n + 41) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} left ( { frac {1} {4}} right) _ {n} left ({ frac {3} {4}} right) _ {n}} {(n!) ^ {3} 5 ^ { п} {72} ^ {2n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {4 { sqrt {3}}} {3Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (28n + 3) left ({ frac {1} {2}} right ) _ {n} left ({ frac {1} {4}} right) _ {n} left ({ frac {3} {4}} right) _ {n}} {(n! ) ^ {3} {3 ^ {n}} {4} ^ {n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {4} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (20n + 3) left ({ frac {1} {2}} right ) _ {n} left ({ frac {1} {4}} right) _ {n} left ({ frac {3} {4}} right) _ {n}} {(n! ) ^ {3} {2} ^ {2n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {72} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (4n)! (260n + 23)} {(n!) ^ {4} 4 ^ {4n} 18 ^ {2n}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {3528} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (4n)! (21460n + 1123)} {(n!) ^ {4} 4 ^ {4n} 882 ^ {2n}}}}$

куда ${ Displaystyle (х) _ {п}}$ это Символ Поххаммера для растущего факториала. Смотрите также Рамануджан – Сато серия.

Бесконечные продукты

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = left ( prod _ {p Equiv 1 { pmod {4}}} { frac {p} {p-1}} right) cdot left ( prod _ {p Equiv 3 { pmod {4}}} { frac {p} {p + 1}} right) = { frac {3} {4}} cdot { гидроразрыв {5} {4}} cdot { frac {7} {8}} cdot { frac {11} {12}} cdot { frac {13} {12}} cdots,}$ (Эйлер)

где числители - нечетные простые числа; каждый знаменатель кратен четырем ближайшим к числителю.

${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} { frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} = { frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} cdot { frac {4} {3}} cdot { frac {4} {5}} cdot { frac {6} {5}} cdot { frac {6} {7}} cdot { frac {8} {7}} cdot { frac {8} {9}} cdots = { frac {4} {3}} cdot { frac { 16} {15}} cdot { frac {36} {35}} cdot { frac {64} {63}} cdots = { frac { pi} {2}}}$ (смотрите также Уоллис продукт)

Формула Вьете:

${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}} cdot { frac { sqrt {2 + { sqrt {2}}}} {2}} cdot { frac { sqrt { 2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} {2}} cdot cdots = { frac {2} { pi}}}$

Формулы арктангенса

${ displaystyle { frac { pi} {2 ^ {k + 1}}} = arctan { frac { sqrt {2-a_ {k-1}}} {a_ {k}}}, qquad qquad k geq 2}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = sum _ {k geq 2} arctan { frac { sqrt {2-a_ {k-1}}} {a_ {k}}} ,}$

куда ${ displaystyle a_ {k} = { sqrt {2 + a_ {k-1}}}}$ такой, что ${ displaystyle a_ {1} = { sqrt {2}}}$.

Непрерывные дроби

${ Displaystyle pi = {3 + { cfrac {1 ^ {2}} {6 + { cfrac {3 ^ {2}} {6 + { cfrac {5 ^ {2}} {6 + { cfrac {7 ^ {2}} {6+ ddots ,}}}}}}}}}}$

${ displaystyle pi = { cfrac {4} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {3 + { cfrac {2 ^ {2}} {5 + { cfrac {3 ^ {2}} } {7 + { cfrac {4 ^ {2}} {9+ ddots}}}}}}}}}}$

${ displaystyle pi = { cfrac {4} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {2 + { cfrac {3 ^ {2}} {2 + { cfrac {5 ^ {2}} } {2 + { cfrac {7 ^ {2}} {2+ ddots}}}}}}}}}}$

${ displaystyle 2 pi = {6 + { cfrac {2 ^ {2}} {12 + { cfrac {6 ^ {2}} {12 + { cfrac {10 ^ {2}} {12+ { cfrac {14 ^ {2}} {12 + { cfrac {18 ^ {2}} {12+ ddots}}}}}}}}}}}}$

Подробнее о третьей идентичности см. Формула непрерывной дроби Эйлера.

(Смотрите также Непрерывная дробь и Обобщенная цепная дробь.)

Разное

${ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n}}$ (Приближение Стирлинга)

${ Displaystyle е ^ {я pi} + 1 = 0}$ (Тождество Эйлера)

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} varphi (k) sim { frac {3n ^ {2}} { pi ^ {2}}}}$ (видеть Функция Эйлера)

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { frac { varphi (k)} {k}} sim { frac {6n} { pi ^ {2}}}}$ (видеть Функция Эйлера)

${ displaystyle Gamma left ({1 over 2} right) = { sqrt { pi}}}$ (смотрите также Гамма-функция)

${ displaystyle pi = { frac { Gamma left ({1/4} right) ^ {4/3} operatorname {agm} (1, { sqrt {2}}) ^ {2/3 }} {2}}}$ (где agm - среднее арифметико-геометрическое)

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} { frac {1} {n ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {n} (n { bmod {k}}) = 1 - { frac { pi ^ {2}} {12}}}$ (куда ${ textstyle п { bmod {k}}}$ это остаток при разделении п кk)

${ displaystyle pi = lim _ {n rightarrow infty} { frac {4} {n ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {n} { sqrt {n ^ {2 } -k ^ {2}}}}$ (Сумма Римана для оценки площади единичного круга)

${ displaystyle pi = lim _ {n rightarrow infty} { frac {2 ^ {4n}} {n {2n choose n} ^ {2}}}}$ (к Приближение Стирлинга)

Смотрите также

• Список тем, связанных с π

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Питер Борвейн, Удивительное число Пи
• Казуя Като, Нобусигэ Курокава, Сайто Такеши: Теория чисел 1: мечта Ферма. Американское математическое общество, Провиденс, 1993 г., ISBN 0-8218-0863-X.