WikiDer > Локальная асимптотическая нормальность

Local asymptotic normality

В статистика, локальная асимптотическая нормальность является свойством последовательности статистические модели, что позволяет этой последовательности быть асимптотически приближенный по модель нормального местоположения, после изменения масштаба параметра. Важный пример, когда выполняется локальная асимптотическая нормальность, - это случай iid выборка из регулярная параметрическая модель.

Понятие локальной асимптотической нормальности было введено Ле Кам (1960).

Определение

Последовательность параметрические статистические модели { пп, θ: θ ∈ Θ} называется локально асимптотически нормальный (LAN) в θ если есть матрицы рп и яθ и случайный вектор Δп, θ ~ N(0, яθ) такое, что для каждой сходящейся последовательности часпчас,[1]

где производная - это Производная Радона – Никодима, который является формализованной версией отношение правдоподобия, и где о это тип большой O в вероятностной записи. Другими словами, местное отношение правдоподобия должно сходиться в распределении к нормальной случайной величине, среднее значение которой равно минус половине дисперсии:

Последовательности распределений и находятся смежный.[1]

Пример

Самый простой пример модели LAN - это модель iid, вероятность которой дважды непрерывно дифференцируема. Предполагать { Икс1, Икс2, …, Иксп} - это образец идентификатора, где каждый Икся имеет функцию плотности ж(Икс, θ). Функция правдоподобия модели равна

Если ж дважды непрерывно дифференцируемо в θ, тогда

Подключение , дает

Посредством Центральная предельная теорема, первый член (в скобках) сходится по распределению к нормальной случайной величине Δθ ~ N(0, яθ), тогда как закон больших чисел выражение во вторых скобках сходится по вероятности к яθ, какой Информационная матрица Фишера:

Таким образом, определение локальной асимптотической нормальности выполнено, и мы подтвердили, что параметрическая модель с iid-наблюдениями и дважды непрерывно дифференцируемым правдоподобием обладает свойством LAN.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б ван дер Ваарт (1998, стр. 103–104).

Рекомендации

  • Ибрагимов И.А .; Гасьминский, Р.З. (1981). Статистическое оценивание: асимптотическая теория. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90523-5.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Ле Кам, Л. (1960). «Локально асимптотически нормальные семейства распределений». Статистические публикации Калифорнийского университета. 3: 37–98.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • ван дер Ваарт, А. (1998). Асимптотическая статистика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78450-4.CS1 maint: ref = harv (связь)