WikiDer > Теорема Радона – Никодима

Radon–Nikodym theorem

В математика, то Теорема Радона – Никодима это результат теория меры который выражает взаимосвязь между двумя мерами, определенными на одном измеримое пространство. А мера это установить функцию который присваивает постоянную величину измеримым подмножествам измеримого пространства. Примеры меры включают площадь и объем, где подмножества представляют собой наборы точек; или вероятность события, которая представляет собой подмножество возможных результатов в более широком вероятностное пространство.

Один из способов получить новую меру из уже заданной - присвоить плотность каждой точке пространства, а затем интегрировать над измеримым подмножеством интереса. Это можно выразить как

куда ν определяется ли новая мера для любого измеримого подмножества А и функция ж - плотность в данной точке. Интеграл по существующей мере μ, который часто может быть каноническим Мера Лебега на Реальная линия или n-мерный Евклидово пространство п (в соответствии с нашими стандартными представлениями о длине, площади и объеме). Например, если ж представленная массовая плотность и μ была мерой Лебега в трехмерном пространстве 3, тогда ν(А) равнялась бы общей массе в пространственной области А.

Теорема Радона – Никодима по существу утверждает, что при определенных условиях любая мера ν можно выразить таким образом относительно другой меры μ на том же месте. Функция ж затем называется Производная Радона – Никодима и обозначается .[1] Важное приложение находится в теория вероятности, ведущий к функция плотности вероятности из случайная переменная.

Теорема названа в честь Иоганн Радон, который доказал теорему для частного случая, когда основное пространство п в 1913 г., а для Отто Никодим который доказал общий случай в 1930 г.[2] В 1936 г. Ганс Фройденталь обобщил теорему Радона – Никодима, доказав Спектральная теорема Фрейденталя, в результате Пространство Рисса теория; в нем как частный случай содержится теорема Радона – Никодима.[3]

А Банахово пространство Y говорят, что имеет Радон – Никодим свойство если также выполняется обобщение теоремы Радона – Никодима, mutatis mutandis, для функций со значениями в Y. Все Гильбертовы пространства обладают свойством Радона – Никодима.

Формальное описание

Теорема Радона – Никодима

В Теорема Радона – Никодима включает в себя измеримое пространство на котором два σ-конечные меры определены, и В нем говорится, что если (т.е. является абсолютно непрерывный относительно ), то существует -измеримая функция , такое, что для любого измеримого множества ,

Производная Радона – Никодима

Функция ж удовлетворяющее указанному выше равенству однозначно определенный вплоть до а μ-нулевой набор, то есть если грамм - другая функция, обладающая тем же свойством, то ж = грамм μ-почти всюду. Функция ж обычно пишется и называется Производная Радона – Никодима. Выбор обозначений и названия функции отражает тот факт, что функция аналогична производная в исчисление в том смысле, что он описывает скорость изменения плотности одной меры по отношению к другой (способ Определитель якобиана используется в многопараметрической интеграции).

Распространение на подписанные или сложные меры

Аналогичную теорему можно доказать для подписанный и комплексные меры: а именно, что если μ - неотрицательная σ-конечная мера, а ν конечнозначная знаковая или комплексная мера такая, что νμ, т.е. ν является абсолютно непрерывный относительно μ, то есть μ-интегрируемая вещественная или комплексная функция грамм на Икс такое, что для каждого измеримого множества А,

Примеры

В следующих примерах набор Икс - действительный интервал [0,1], а это Борелевская сигма-алгебра на Икс.

  1. это мера длины на Икс. присваивает каждому подмножеству Y из Икс, вдвое длиннее Y. Потом, .
  2. это мера длины на Икс. присваивает каждому подмножеству Y из Икс, количество точек из множества {0.1, ..., 0.9}, содержащихся в Y. Потом, не является абсолютно непрерывным относительно поскольку он присваивает ненулевую меру точкам нулевой длины. Действительно, производной нет : не существует конечной функции, которая при интегрировании, например, из к , дает для всех .
  3. , куда - мера длины на X и это Мера Дирака на 0 (он присваивает меру 1 любому набору, содержащему 0, и меру 0 любому другому набору). Потом, абсолютно непрерывна относительно , и - производная равна 0 при и 1 в .[4]

Характеристики

  • Позволять ν, μ, и λ - σ-конечные меры на одном и том же пространстве с мерой. Если νλ и μλ (ν и μ оба абсолютно непрерывный относительно λ), тогда
  • Если ν ≪ μ ≪ λ, тогда
  • В частности, если μν и νμ, тогда
  • Если μλ и грамм это μ-интегрируемая функция, затем
  • Если ν конечная знаковая или комплексная мера, то

Приложения

Теория вероятности

Теорема очень важна для расширения идей теория вероятности от масс вероятностей и плотностей вероятностей, определенных над действительными числами, к вероятностные меры определены над произвольными множествами. Он сообщает, можно ли и как перейти от одной вероятностной меры к другой. В частности, функция плотности вероятности из случайная переменная является производной Радона – Никодима индуцированной меры по некоторой базовой мере (обычно Мера Лебега за непрерывные случайные величины).

Например, его можно использовать для доказательства существования условное ожидание для вероятностных мер. Последнее само по себе является ключевым понятием в теория вероятности, в качестве условная возможность это просто его частный случай.

Финансовая математика

Среди других областей, финансовая математика широко использует теорему, в частности, через Теорема Гирсанова. Такие изменения вероятностной меры являются краеугольным камнем рациональное ценообразование из производные и используются для преобразования фактических вероятностей в вероятности нейтральные к риску вероятности.

Информационные расхождения

Если μ и ν меры превышают Икс, и μ ≪ ν

  • В Дивергенция Кульбака – Лейблера из μ к ν определяется как
  • За α> 0, α ≠ 1 то Расхождение Реньи порядка α из μ к ν определяется как

Предположение об σ-конечности

Теорема Радона – Никодима предполагает, что мера μ относительно которого вычисляется скорость изменения ν σ-конечно. Вот пример, когда μ не является σ-конечным, и теорема Радона – Никодима неверна.

Рассмотрим Борелевская σ-алгебра на реальная линия. Пусть счетная мера, μ, борелевского множества А быть определенным как количество элементов А если А конечно, и иначе. Это можно проверить μ действительно мера. Это не так σ-конечный, так как не каждое борелевское множество является не более чем счетным объединением конечных множеств. Позволять ν быть обычным Мера Лебега на этой борелевской алгебре. Потом, ν абсолютно непрерывна относительно μ, поскольку для набора А надо μ(А) = 0 только если А это пустой набор, а потом ν(А) также равен нулю.

Предположим, что выполняется теорема Радона – Никодима, т.е. для некоторой измеримой функции ж надо

для всех борелевских множеств. Принимая А быть одноэлементный набор, А = {а}, и используя указанное выше равенство, находим

для всех действительных чисел а. Отсюда следует, что функция ж, поэтому мера Лебега ν, равна нулю; противоречие.

Доказательство

В этом разделе дается теоретико-мерное доказательство теоремы. Существует также функционально-аналитическое доказательство с использованием методов гильбертова пространства, которое впервые было дано фон Нейман.

Для конечных мер μ и ν, идея состоит в том, чтобы рассмотреть функции ж с f dμ. Супремум всех таких функций вместе с теорема о монотонной сходимости, то дает производную Радона – Никодима. Дело в том, что оставшаяся часть μ сингулярна относительно ν следует из технического факта о конечных мерах. После того, как результат установлен для конечных мер, распространяясь на σ-конечные, подписанные и сложные меры могут быть выполнены естественным образом. Подробности приведены ниже.

Для конечных мер

Создание кандидата с расширенной оценкой Сначала предположим μ и ν обе конечнозначные неотрицательные меры. Позволять F быть набором этих измеримых функций расширенного значения ж  : Икс → [0, ∞] такой, что:

F ≠ ∅, поскольку он содержит хотя бы нулевую функцию. Теперь позвольте ж1,  ж2F, и предположим А - произвольное измеримое множество, и определим:

Тогда есть

и поэтому, Максимум{ж1,  ж2} ∈ F.

Теперь позвольте { жп } - последовательность функций из F такой, что

Заменив жп с максимумом первого п функций, можно считать, что последовательность { жп } растет. Позволять грамм - расширеннозначная функция, определяемая как

По Лебегу теорема о монотонной сходимости, надо

для каждого АΣ, и поэтому, граммF. Также по построению грамм,

Доказательство равенства Теперь, поскольку граммF,

определяет неотрицательную меру на Σ. Чтобы доказать равенство, покажем, что ν0 = 0.

Предполагать ν0 ≠ 0; тогда, поскольку μ конечно, есть ε > 0 такой, что ν0(Икс) > ε μ(Икс). Чтобы вывести противоречие из ν0 ≠ 0, мы ищем положительный набор пΣ для подписанной меры ν0ε μ (т.е. измеримое множество п, все измеримые подмножества которых имеют неотрицательные ν0ε μ мера), где также п имеет положительный μ-мера. Концептуально мы ищем набор п, куда ν0ε μ в каждой части п. Удобный подход - использовать Разложение Хана (пN) для подписанной меры ν0ε μ.

Обратите внимание, что для каждого АΣ надо ν0(Ап) ≥ ε μ(Ап), и поэтому,

куда 1п это индикаторная функция из п. Также обратите внимание, что μ(п) > 0 по желанию; если μ(п) = 0, то (поскольку ν абсолютно непрерывна по отношению к μ) ν0(п) ≤ ν(п) = 0, так ν0(п) = 0 и

что противоречит тому факту, что ν0(Икс) > εμ(Икс).

Тогда, поскольку также

грамм + ε 1пF и удовлетворяет

Это невозможно; поэтому исходное предположение, что ν0 ≠ 0 должно быть ложным. Следовательно, ν0 = 0, по желанию.

Ограничение конечными значениями Теперь, поскольку грамм является μ-интегрируемый, набор {ИксИкс : грамм(Икс) = ∞} является μ-ноль. Следовательно, если ж определяется как

тогда ж обладает желаемыми свойствами.

Уникальность Что касается уникальности, пусть ж, грамм : Икс → [0, ∞) быть измеримыми функциями, удовлетворяющими

для каждого измеримого множества А. Потом, граммж является μ-интегрируемый, и

В частности, для А = {ИксИкс : ж(Икс) > грамм(Икс)}, или же {ИксИкс : ж(Икс) < грамм(Икс)}. Следует, что

и так, что (граммж )+ = 0 μ-почти всюду; то же самое верно для (граммж ), и поэтому, ж  = грамм μ-почти везде, по желанию.

За σ-конечные положительные меры

Если μ и ν находятся σ-конечно, тогда Икс можно записать как объединение последовательности {Bп}п из непересекающиеся множества в Σ, каждый из которых имеет конечную меру при обоих μ и ν. Для каждого п, в конечном случае существует Σ-измеримая функция жп  : Bп → [0, ∞) такой, что

для каждого Σ-измеримое подмножество А из Bп. Сумма этих функций тогда является требуемой функцией, такой что .

Что касается уникальности, так как каждый из жп является μ-почти везде уникальна, ж.

Для подписанных и сложных мер

Если ν это σ-конечная знаковая мера, то ее можно разложить по Хану – Жордану ν = ν+ν где одна из мер конечна. Применяя предыдущий результат к этим двум мерам, мы получаем две функции: грамм, час : Икс → [0, ∞), удовлетворяющую теореме Радона – Никодима для ν+ и ν соответственно, по крайней мере один из которых μ-интегрируемый (т.е. его интеграл по μ конечно). Тогда ясно, что ж = граммчас удовлетворяет требуемым свойствам, включая уникальность, поскольку оба грамм и час уникальны до μ-почти везде равенство.

Если ν это комплексная мера, его можно разложить как ν = ν1 + я2, где оба ν1 и ν2 конечнозначные знаковые меры. Применяя приведенный выше аргумент, получаем две функции: грамм, час : Икс → [0, ∞), удовлетворяющий требуемым свойствам для ν1 и ν2, соответственно. Четко, ж  = грамм + ах это требуемая функция.

Теорема Лебега о разложении

Теорема разложения Лебега показывает, что условия теоремы Радона – Никодима могут быть найдены даже в ситуации, которая кажется более общей. Рассмотрим σ-конечную положительную меру на мерном пространстве и σ-конечная знаковая мера на , не предполагая абсолютной преемственности. Тогда существуют уникальные подписанные меры и на такой, что , , и . Тогда теорема Радона – Никодима может быть применена к паре .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (Третье изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 419–427. ISBN 0-471-00710-2.
  2. ^ Никодым, О. (1930). "Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon" (PDF). Fundamenta Mathematicae (На французском). 15: 131–179. Дои:10.4064 / FM-15-1-131-179. JFM 56.0922.02. Получено 2018-01-30.
  3. ^ Заанен, Адриан К. (1996). Введение в теорию операторов в пространствах Рисса. Springer. ISBN 3-540-61989-5.
  4. ^ «Расчет производной Радона Никодима». Обмен стеком. 7 апреля 2018.

Рекомендации

  • Ланг, Серж (1969). Анализ II: Реальный анализ. Эддисон-Уэсли. Содержит доказательство того, что векторные меры принимают значения в банаховом пространстве.
  • Ройден, Х.Л.; Фитцпатрик, П. М. (2010). Реальный анализ (4-е изд.). Пирсон. Содержит ясное доказательство на случай, если мера ν не является σ-конечным.
  • Шилов, Г. Э .; Гуревич, Б. Л. (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход. Ричард А. Сильверман, пер. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
  • Stein, Elias M .; Шакарчи, Рами (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства. Принстонские лекции по анализу. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11386-9. Содержит доказательство обобщения.
  • Тешл, Джеральд. «Темы реального и функционального анализа». (конспект лекций).

В статье использован материал теоремы Радона – Никодима о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.