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Graph des logarithmischen Integrals

In dem Mathematik ist der logarithmisches Integral oder integraler Logarithmus${displaystyle mathrm {li} (x)}$ ein Spezialfunktion. Das logarithmische Integral tritt bei Problemen im Physik und hat Zahl theoretisch Bedeutung, wie es in der Primzahlsatz wie ein schätzen der Zahl Primzahlen kleiner als ein vorgegebener Wert.

Definition

Das logarithmisches Integral ist echt ${Anzeigestil x>0,xeq 1}$ als Integral definiert:

${displaystyle mathrm {li} (x)=int _{0}^{x}{frac {mathrm {d} t}{ln(t)}}~,}$

in welchem ${displaystyle ln }$ das natürlicher Logarithmus ist.

Der Integrand hat a Singularität vor dem ${Anzeigestil t=1}$, und für ${Anzeigestil x>1}$ das Integral muss verstanden werden als a Cauchy Hauptwert:

${displaystyle mathrm {li} (x)=lim _{varepsilon downarrow 0}left(int _{0}^{1-varepsilon }{frac {{m {d}}t}{ln t}} int _{1 varepsilon }^{x}{frac {{m {d}}t}{ln t}}ight).}$

Das logarithmische Integral ist eng mit dem Exponentialintegral${displaystyle mathrm {Ei}}$:

${displaystyle mathrm {li} (x)=mathrm {Ei} (ln x)}$.

Aus dieser Beziehung, a Serienentwicklung für das logarithmische Integral erhalten wir:

${displaystyle mathrm {li} (x)=gamma ln |ln x| Summe _{k=1}^{infty }{frac {(ln x)^{k}}{kcdot k!}},}$

in welchem ${Anzeigestil Gamma =0{,}57721ldots}$ das Euler-Mascheronia-Konstante ist.

Verschobenes logarithmisches Integral

Eine verschobene Version des logarithmischen Integrals wird als bezeichnet logarithmisches Integral von Euler, vor dem ${Anzeigestil x>2}$ definiert als:

${displaystyle mathrm {Li} (x)=mathrm {li} (x)-mathrm {li} (2),}$

oder als Integral:

${displaystyle mathrm {Li} (x)=int _{2}^{x}{frac {{m {d}}t}{ln t}}~.}$

Diese Funktion ist eine sehr gute Annäherung an die de Primzahlenzählfunktion prime${displaystyle pi(x)}$, was die Zahl der Primzahlen kleiner als die Zahl . darstellt ${Anzeigestil x.}$

Siehe auch

• Primzahlsatz