WikiDer > Exponentielles Integral

${displaystyle mathrm {E} _{1}(x)}$ (über)
${displaystyle mathrm {Ei} (x)}$ (unten)

Das Exponentialintegral ist ein Funktion, die definiert ist als die Integral-:

${displaystyle mathrm {Ei} (x)=int _{-infty }^{x}{frac {e^{t}}{t}},{m {d}}t=-int _{-x}^ {infty }{frac {e^{-t}}{t}},{m {d}}t~.}$

Es gibt kein solches Integral primitive Funktion. Werte der Funktion ${displaystyle mathrm {Ei} (x)}$ finden Sie mit Serienentwicklungen, oder in Tabellen. Eine gute Näherung kann gefunden werden durch:

${displaystyle mathrm {Ei} (x)sim e^{-x}cdot ln(1 1/x)cdot R(x)~,}$

in welchem ${Anzeigestil R(x)}$ ein rationale Funktion hat den gleichen Grad in Zähler und Nenner.

Serienentwicklung

Das Exponentialintegral hat ${displaystyle xeq 0}$ die Serienentwicklung

${displaystyle mathrm {Ei} (x)=gamma ln |x| Summe _{k=1}^{infty }{frac {x^{k}}{k!cdot k}}~,}$

in welchem ${Displaystil-Gamma }$ das Euler-Mascheronia-Konstante ist.

Beziehung zum logarithmischen Integral

Die Funktion ${displaystyle mathrm {Ei} (x)}$ ist eng verwandt mit der logarithmisches Integral. Vor dem ${Anzeigestil x>0}$ ist:

${displaystyle mathrm {li} (x)=mathrm {Ei} (ln x)~.}$