WikiDer > Магический шестиугольник

Magic hexagon
Заказ n = 3
M = 38

А магический шестиугольник порядка п это расположение чисел в гексагональный узор по центру с участием п ячейки на каждом краю таким образом, чтобы числа в каждой строке во всех трех направлениях суммировались одинаково магическая константа M. А нормальный магический шестиугольник содержит последовательный целые числа от 1 до 3п2 − 3п + 1. Получается, что нормальные магические шестиугольники существуют только для п = 1 (что тривиально, так как состоит всего из одного шестиугольника) и п = 3. Более того, решение порядка 3 практически единственно.[1] Мэн также дал менее сложное конструктивное доказательство.[2]

Магический шестиугольник порядка 3 много раз публиковался как «новое» открытие. Первым упоминанием и, возможно, первым первооткрывателем является Эрнст фон Хазельберг (1887).

Доказательство нормальных магических шестиугольников

Цифры в шестиугольнике идут подряд от 1 до . Следовательно, их сумма равна треугольное число, а именно

Есть р = (2п - 1) ряды, идущие в любом заданном направлении (В-З, СВ-Ю или СЗ-ЮВ). Сумма каждой из этих строк равна одному и тому же числу M. Следовательно:

Это можно переписать как

Умножение на 32 дает

что показывает, что должно быть целым числом, следовательно, 2n-1 должно быть множителем 5, а именно 2n-1 = 1 или 2n-1 = 5. Единственный которые соответствуют этому условию и , что доказывает, что не существует нормальных магических шестиугольников, кроме первого и третьего порядка.

Аномальные магические шестиугольники

Хотя не существует нормальных магических шестиугольников с порядком выше 3, некоторые аномальные существуют. В данном случае ненормальное означает начало последовательности чисел, отличных от 1. Арсен Захрей обнаружил эти шестиугольники порядка 4 и 5:

MagicHexagon-Order4-2a.svgMagicHexagon-Order5.svg
Заказ 4
M = 111
Заказ 5
M = 244

Шестиугольник четвертого порядка начинается с 3 и заканчивается 39, сумма строк в нем составляет 111. Шестиугольник пятого порядка начинается с 6 и заканчивается 66 и в сумме составляет 244.

Шестиугольник порядка 5, начинающийся с 15, заканчивающийся 75 и суммируемый до 305, выглядит следующим образом:

         56  61  70  67  51       55  45  36  48  53  68     74  37  26  29  27  39  73   62  42  33  19  16  31  38  64 58  57  22  20  15  18  23  43  49   63  47  28  21  17  30  34  65     71  35  24  32  25  46  72       59  44  40  41  52  69         54  60  75  66  50

Сумма, превышающая 305 для шестиугольников порядка 5, невозможна.

Шестиугольники порядка 5, где «X» - заполнители для шестиугольников порядка 3, которые завершают числовую последовательность. В верхнем уместится шестиугольник с суммой 38 (числа от 1 до 19), а в нижнем - из 26 шестиугольников с суммой 0 (числа от -9 до 9). (для получения дополнительной информации посетите Немецкая статья в Википедии)

        39 35-14 21-20-16-12 37 22 34-4 XXX -5-7-1 36 XXXX -13-17 30 23X XXXX -6 24-21 26 XXXX -3 0 28-2 XXX 27-11 - 18 25-15-9 33-8 29 31 38 32-10 20-19 30 28-18-13-27-30-28 18 15 13 12 XXX 27 21-22-26 XXXX -11-24 16 19X XXXX - 12 10-20 22 XXXX -16-21 11 26 XXX 20 14-19-15-29-25 17 24 23-10 29 25-17-14-23

Шестиугольник порядка 6 можно увидеть ниже. Его создал Луи Хелблинг, 11 октября 2004 г .:

Заказать 6 Magic Hexagon.gif

Он начинается с 21, заканчивается на 111, а его сумма равна 546.

Этот волшебный шестиугольник 7-го порядка был обнаружен Арсеном Захреем 22 марта 2006 года с помощью моделированного отжига:

MagicHexagon-Order7.svg

Он начинается с 2, заканчивается 128, а его сумма равна 635.

Магический шестиугольник порядка 8 был создан Луи К. Хелблингом 5 февраля 2006 года:

Заказать 8 Magic hexagon.png

Он начинается с -84 и заканчивается 84, а его сумма равна 0.

Волшебные Т-образные шестиугольники

Шестиугольники также могут быть построены из треугольников, как показано на следующих диаграммах.

T-hex.jpgThex4.jpg
Заказ 2Заказ 2 с номерами 1–24

Этот тип конфигурации можно назвать Т-образным шестиугольником, и он имеет гораздо больше свойств, чем шестиугольник шестиугольников.

Как и в предыдущем случае, ряды треугольников проходят в трех направлениях, и есть 24 треугольника в Т-шестиугольнике порядка 2. Как правило, Т-шестиугольник порядка п имеет треугольники. Сумма всех этих чисел определяется как:

Если мы попытаемся построить волшебный Т-образный шестиугольник со стороной п, мы должны выбрать п быть ровным, потому что есть р = 2п строк, поэтому сумма в каждой строке должна быть

Чтобы это было целое число, п должно быть даже. На сегодняшний день открыты волшебные Т-шестиугольники 2, 4, 6 и 8 порядка. Первым был магический Т-шестиугольник порядка 2, открытый Джоном Бейкером 13 сентября 2003 года. С тех пор Джон сотрудничал с Дэвидом Кингом, который обнаружил 59 674 527 несовпадающих магических Т-шестиугольников порядка 2.

Магические Т-образные шестиугольники обладают рядом свойств, общих с магическими квадратами, но у них также есть свои особенности. Самым удивительным из них является то, что сумма чисел в треугольниках, указывающих вверх, такая же, как и сумма чисел в треугольниках, направленных вниз (независимо от размера Т-шестиугольника). В приведенном выше примере

17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7
= 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18
= 150

Заметки

  1. ^ Тригг, К.В. «Уникальный магический шестиугольник», Журнал развлекательной математики, Январь – февраль 1964. Проверено 16 декабря 2009 г.
  2. ^ <Мэн, Ф. "Исследование магического шестиугольника Порядка 3", Награды Шинг-Тунг Яу, Октябрь 2008. Проверено 16 декабря 2009 г.

использованная литература

  • Бейкер. Дж. Э. и Кинг Д. Р. (2004) «Использование визуальной схемы для определения свойств шестиугольника» Визуальная математика, том 5, номер 3
  • Бейкер, Дж. Э. и Бейкер, А. Дж. (2004) «Шестиугольник, выбор природы» Архимед, том 4

Смотрите также