WikiDer > Двойственность Матлиса

В алгебра, Двойственность Матлиса это двойственность между Артиниан и Нётерян модули над полным нётерским местное кольцо. В частном случае, когда локальное кольцо имеет поле^{[требуется разъяснение]} отображение на поле вычетов это тесно связано с более ранними работами Фрэнсис Соуэрби Маколей на кольца многочленов и иногда его называют Двойственность Маколея, а общий случай был введен Матлис (1958).

Заявление

Предположим, что р - нётерово полное локальное кольцо с полем вычетов k, и выберите E быть инъективная оболочка из k (иногда называемый Модуль Matlis). Двойной D_р(M) модуля M определяется как Hom_р(M,E). Тогда двойственность Матлиса утверждает, что функтор двойственности D_р дает антиэквивалентность категорий Артиниана и Нётера. р-модули. В частности, функтор двойственности дает антиэквивалентность категории модулей конечной длины самому себе.

Примеры

Предположим, что нётерово полное локальное кольцо р есть подполе k которое отображается на подполе конечного индекса своего поля вычетов р/м. Тогда двойственный по Матлису любой р-модуль - это просто его двойник как топологическое векторное пространство над k, если модулю задан его м-адическая топология. В частности, двойственное р как топологическое векторное пространство над k является модулем Матлиса. Этот случай тесно связан с работой Маколея над градуированными кольцами многочленов и иногда называется двойственностью Маколея.

Если р это кольцо дискретной оценки с поле частного K то модуль Матлиса K/р. В частном случае, когда р кольцо п-адические числа, двойственный по Матлису конечно порожденный модуль это Понтрягин дуальный его рассматривается как локально компактный абелева группа.

Если р является локальным кольцом Коэна – Маколея размерности d с дуальный модуль Ω, то модуль Матлиса задается локальные когомологии группа H^d
_р(Ω). В частности, если р является артиновым локальным кольцом, то модуль Матлиса совпадает с дуализирующим модулем.

Объяснение с использованием сопряженных функторов

Концептуально двойственность Матлиса можно объяснить, используя язык присоединенные функторы и производные категории:^[1] функтор между производными категориями р- и k-модули, индуцированные относительно k-модуль как р-модуль, допускает правый сопряженный (производный внутренний Hom)

${ displaystyle D (k) получает D (R): R operatorname {Hom} _ {R} (k, -).}$

Этот правый сопряженный посылает инъективную оболочку ${ displaystyle E (k)}$ упомянутый выше k, который является дуализирующий объект в ${ Displaystyle D (к)}$. Этот абстрактный факт приводит к упомянутой выше эквивалентности.

Смотрите также

• Локальная двойственность Гротендика

Рекомендации

• Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), Кольца Коэна-Маколея, Кембриджские исследования по высшей математике, 39, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-41068-7, МИСТЕР 1251956
• Матлис, Эбен (1958), «Инъективные модули над нётеровыми кольцами», Тихоокеанский математический журнал, 8: 511–528, Дои:10.2140 / pjm.1958.8.511, ISSN 0030-8730, МИСТЕР 0099360, заархивировано из оригинал на 2014-05-03