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Algebra ist der Teil der Mathematik die die Beziehungen von Mengen untersucht, die durch Buchstaben und Zeichen bezeichnet werden. In der Algebra werden Zahlen durch Buchstaben dargestellt und es gibt alle möglichen Regeln, die Ihnen sagen, wie man mit diesen Buchstaben rechnet.

Herkunft des Wortes

Eine Seite aus dem Buch al-djabr

Um das Jahr 820, der persische Mathematiker Al-Chwarizmi in dem Arabisch ein Buch über das Rechnen mit Buchstaben: hisab al-jabr wa al-muqabala (Arabisch: حساب الجبر و المقابلة). Das Wort al-djabr aus dem Titel dieses Buches bedeutet Wiedervereinigung, Verbindung oder Vervollständigung und führte zur allgemeinen Verwendung des Wortes Algebra im Westen.

Das niederländische Wort Astrologie Welche Simon Steven versucht zu betreten, wurde nie vollständig akzeptiert.

Abgrenzung

Ursprünglich war Algebra eine Verallgemeinerung des Arithmetik in denen Buchstaben die Rolle von Zahlen übernahmen. Um 1800 bestand die Algebra darin, Buchstaben zu verwenden, um "die Fantasie zu befreien" (Gottfried Wilhelm Leibniz) beim Durchführen von arithmetischen Operationen und Lösen Gleichungen.^[1]

Im Laufe des 19. Jahrhunderts löste sich die Algebra von ihrem direkten Bezug zu Zahlen und Arithmetik und es wurden abstrakte Strukturen anhand einiger elementarer Eigenschaften der bekannten Zahlenmengen definiert: Gruppen, Ringe, Körper und Vektorräume. Die Algebra erlebte eine mathematische Revolution, bei der man sich von der Arithmetik abwandte und sich darauf konzentrierte, die strukturellen Grundlagen der Mathematik zu unterscheiden und zu nutzen.^[2]

Man unterscheidet nun auch eine so abstrakte Struktur, dass einAlgebra genannt wird und aus einem Vektorraum besteht, der mit einer Multiplikation von Vektoren ausgestattet ist.

Teilbereiche

Auf der Grundlage der oben zitierten historischen Entwicklung werden in der Algebra normalerweise zwei „Ebenen“ unterschieden:

• elementare Algebra
• Abstrakte Algebra

Darüber hinaus haben sich in einigen Bereichen der Mathematik eigene Forschungsgebiete entwickelt, die eine spezifische Anwendung der elementaren oder abstrakten Algebra beinhalten:

• Finanzalgebra: studiert Algebra, die sich mit Geld, Investitionen, Konten und ähnlichen finanziellen Angelegenheiten befasst.
• Computeralgebra: Studien Algorithmen für die symbolische Manipulation von mathematische Objekte.

elementare Algebra

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Die elementare Algebra untersucht die Eigenschaften arithmetischer Operationen, die Buchstaben verwenden, um Zahlen darzustellen Konstanten und Variablen aufzeigen. Die Regeln, die für Ausdrücke und Gleichungen mit diesen Symbolen gelten, werden ebenfalls untersucht.

Algebra bildet in erster Linie eine Stütze für die Kopfrechnen, eine wichtige praktische Fertigkeit in der Prä-Computer-Ära. Durch die Verwendung von Buchstaben lassen sich allgemeine Formeln beschreiben, in die man dann nach Belieben passende Zahlen eingeben kann, um eine Berechnung zu erleichtern. In dieser Hinsicht ist die bemerkenswerte Produkte ein besonderer Ort in; zum Beispiel kann es Quadrat einer zweistelligen Zahl werden berechnet, indem die Zahl in Zehner und Einer geteilt wird:

${Displaystil (10T E)^{2}=100T^{2} 20TE E^{2}}$

für die nur die Einmaleins bis um ${Anzeigestil 10 imes 10}$ auswendig wissen müssen.

Die Hauptanwendung der elementaren Algebra liegt jedoch in der Lösung von Gleichungen. In einem algebraische Gleichung zwei Ausdrücke werden gleichgesetzt, in denen nur Zahlen, Buchstabensymbole und die vier Arithmetik Hauptoperationen (mit allen Klammern) auftreten; unter Anwendung elementarer arithmetischer Regeln lässt sich eine algebraische Gleichung immer als Bedingung umschreiben, dass a Polynom gleich 0 ist. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, den genauen Satz von Zahlen zu finden, der in die Buchstabensymbole eingetragen werden kann, damit die Gleichheit erfüllt ist, das sogenannte Nullsatz des Polynoms.

Allgemeiner kann man ein System von mehr Gleichungen studieren; die Lösungsmenge ist dann die Überschneidung der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen.

Einige Gleichungen oder Systeme können mit elementaren Mitteln gelöst werden, wie z Lineargleichung und der quadratische Gleichung; andere haben ganz neue Forschungsgebiete hervorgebracht. Die geometrische Darstellung der Lösungsmenge eines algebraischen Gleichungssystems ist die algebraische Geometrie. Das Lineare Algebra entstand aus dem Studium der linearen Gleichungssysteme.

Die Lösungsmenge einer Gleichung ist normalerweise a priori beschränkt auf eine Reihe von Zahlen, die der Autor des Problems für akzeptabel hält. Ob eine Gleichung lösbar ist, hängt natürlich stark von dieser Wahl ab: die Gleichung ${Anzeigestil x1=0}$ hat keine Lösungen für ${Anzeigestil x}$ innerhalb der Kollektion ${displaystyle mathbb {N} }$ der natürliche Zahlen, aber innerhalb der ganze oder der Rationale Zahlen.

Historisch gesehen ist oft das Gegenteil passiert: Weil eine gegebene Gleichung keine Lösung hatte, erweiterten die Leute die Menge der "akzeptablen" Zahlen künstlich. Die Erfindung negativer Zahlen ist ein solcher Kunstgriff, um alle Gleichungen mit Additionen wie ${Anzeigestil x1=0}$ um es lösbar zu machen. Brüche sind eine Erweiterung von ganzen Zahlen auf Gleichungen wie ${Anzeigestil 3x=2}$ lösen. Das komplexe Zahlen Angebot und Lösung für ${Anzeigestil x^{2} 1=0,}$ und das Symbol ${displaystyle {sqrt {a}}}$ für die Quadratwurzel bedeutet nichts anderes als "die (oder eine) Lösung der Gleichung ${Displaystil x^{2}=a}$".

EIN diophantische Gleichung ist eine algebraische Gleichung, die erfordert, dass die Lösungen ganze Zahlen sind. Das Zahlentheorie entstand aus dem Studium der diophantischen Gleichungen.

Abstrakte Algebra

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Die abstrakten Algebrastudienbra algebraische Strukturen wie Körper, Gruppen und Ringe. Das Lineare Algebra, Das Vektorräume und die damit verbundenen lineare Transformationen Studium, kann als Teil davon verstanden werden, hat aber aufgrund der Vielzahl direkter Anwendungen außerhalb der Mathematik dennoch seinen Platz.

Die abstrakte Algebra ist nicht von der elementaren Algebra getrennt, sondern ist aus ihr entstanden, weil abstrakte Strukturen einen entscheidenden neuen Einblick in schwierige elementare Probleme ermöglichten.

Das Gruppentheorie studiert abstrakte Operationen, Gruppenbearbeitungen die mit der Addition von ganzen Zahlen folgende Eigenschaften gemeinsam haben:

• Assoziativität: Beim Zusammensetzen eines Elements mit dem Ergebnis der Kombination zweier anderer Elemente hängt das Endergebnis nicht von der Platzierung der Klammern ab;
• neutrales Element: es existiert ein Element, das, wenn es mit einem anderen Element kombiniert wird, dieses andere Element als Ergebnis erzeugt;
• invers: für jedes Element gibt es ein anderes Element, das mit ihm kombiniert das neutrale Element ergibt.

Man spricht von einem kommutativen oder abelsche Gruppe wenn außerdem das Ergebnis nicht von der Reihenfolge der Elemente abhängt.

Gruppen sind die reinste Abstraktion des Konzepts Symmetrie.

Das Ringtheorie betrachtet Kombinationen zweier Operationen auf einer abstrakten Ebene ähnlich der Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen oder der Addition und Multiplikation von Polynome. Die erste Operation bildet eine abelsche Gruppe, während die zweite Operation in gewissem Sinne damit kompatibel sein muss (Verteilungsfähigkeit).

An einer Körper die Reversibilität der Multiplikation ist ebenfalls erforderlich; dies analog zum Rechnen in rationalen, reellen oder komplexen Zahlen. Das Galois-Theorie untersucht die besondere Beziehung zwischen einem Körper und seinen Teilkörpern auf der Grundlage der Gruppentheorie.

In der linearen Algebra ist a Vektorraum eine Abstraktion des Koordinatenraums, in dem Geometrie praktiziert wird; es besteht einerseits aus einem Körper, dessen Elemente "Skalare" (analog zu den reellen Zahlen) genannt werden, und andererseits aus "Vektoren", die sich addieren und mit einem Skalar multiplizieren lassen.

Dutzende von Varianten, Spezialisierungen und Verallgemeinerungen dieser vier Grundstrukturen wurden beschrieben, die alle spezifische Anwendungen zur Lösung von Problemen aus der elementaren Algebra oder aus anderen Zweigen der Mathematik haben. Der bereits zitierte Artikel Algebraische Struktur listet noch ein paar auf.

Zwischen zwei gleichen Objekten Kategorie (z.B. zwei Gruppen) man unterscheidet Morphismen: Bilder zwischen den abstrakten Sätzen, die die Bearbeitungsstruktur respektieren. EIN Gruppenhomomorphismus zwischen zwei Gruppen ${Anzeigestil (G,cdot)}$ und ${displaystyle(H,*)}$ ist ein Bild zwischen den untergeordneten Sammlungen ${displaystyle f:G oder H:gmapsto f(g)}$ wodurch die Gruppenbearbeitung wie folgt gespeichert wird:

${Anzeigestil für alle g_{1},g_{2}in G:f(g_{1}cdot g_{2})=f(g_{1})*f(g_{2})}$

Ein reversibler Morphismus heißt Isomorphismus. Wenn zwischen zwei Objekten (Mengen mit einer Operation) ein Isomorphismus existiert, sind sie algebraisch äquivalent.

Ein typisches Problem der abstrakten Algebra besteht darin, die Objekte einer gegebenen Kategorie mit Ausnahme der Isomorphie zu klassifizieren. Eines der bemerkenswertesten Ergebnisse der Algebra des 20. Jahrhunderts ist die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen.

Das homologische Algebra untersucht nicht eine bestimmte Kategorie von Strukturen, sondern allgemeine Kettenkomplexe deren Objekte zu ziemlich allgemeinen Kategorien gehören können; es entstand aus der Notwendigkeit, Techniken der algebraische Topologie zum Studium von Objekten verwendet werden, die nicht a priori mit Topologie zu tun.

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