WikiDer > Алгебра

В квадратичная формула выражает решение уравнения топор² + bx + c = 0, куда а не равно нулю, с точки зрения его коэффициентов а, б и c.

Алгебра (из арабский: الجبر‎ Аль-Джабр, что означает «воссоединение сломанных частей»^[1] и "косторез"^[2]) один из широкие части из математика, вместе с теория чисел, геометрия и анализ. В самом общем виде алгебра - это изучение математические символы и правила манипулирования этими символами;^[3] это объединяющая нить почти всей математики.^[4] Он включает в себя все, от решения элементарных уравнений до изучения абстракций, таких как группы, кольца, и поля. Более основные части алгебры называются элементарная алгебра; более абстрактные части называются абстрактная алгебра или современная алгебра. Элементарная алгебра обычно считается необходимой для любого изучения математики, естествознания или инженерии, а также таких приложений, как медицина и экономика. Абстрактная алгебра - важная область высшей математики, изучаемая в основном профессиональными математиками.

Элементарная алгебра отличается от арифметика в использовании абстракций, таких как использование букв для обозначения чисел, которые либо неизвестны, либо могут принимать множество значений.^[5] Например, в ${displaystyle x + 2 = 5}$ письмо ${displaystyle x}$ неизвестно, но применяется аддитивное обратное может раскрыть свою ценность: ${displaystyle x = 3}$. В E = MC², письма ${displaystyle E}$ и ${displaystyle m}$ переменные, а буква ${displaystyle c}$ это постоянный, скорость света в вакууме. Алгебра дает методы написания формул и решения уравнений, которые намного яснее и проще, чем старый метод написания всего словами.

Слово алгебра также используется определенным образом. Особый вид математического объекта в абстрактной алгебре называется «алгебра», и это слово используется, например, во фразах линейная алгебра и алгебраическая топология.

Математика, занимающегося алгеброй, называют математиком. алгебраист.

Этимология

Слово алгебра происходит от названия книги Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми.^[6]

Слово алгебра исходит из арабский الجبر (Аль-Джабр горит «восстановление сломанных частей») из названия книги начала 9 века. ^cИльм аль-джабр ва ль-мукабала "Наука восстановления и баланса" авторства Персидский математик и астроном аль-Хорезми. В его работе термин Аль-Джабр относится к операции перемещения члена из одной части уравнения в другую, المقابلة аль-мукабала «балансирование» относится к добавлению равных условий для обеих сторон. Сокращено до альгебер или же алгебра в латинском языке это слово в конечном итоге вошло в английский язык в течение пятнадцатого века, из испанского, итальянского или Средневековая латынь. Первоначально он относился к хирургической процедуре установки сломанных или вывихнутых костей. Математическое значение было впервые записано (на английском языке) в шестнадцатом веке.^[7]

Разные значения слова «алгебра»

Слово «алгебра» имеет несколько связанных значений в математике как одно слово или с определителями.

• Одним словом без артикля, «алгебра» обозначает большую часть математики.
• Как одно слово со статьей или во множественном числе, «алгебра» или «алгебры» обозначает конкретную математическую структуру, точное определение которой зависит от контекста. Обычно в структуре есть сложение, умножение и скалярное умножение (см. Алгебра над полем). Когда некоторые авторы используют термин «алгебра», они делают подмножество следующих дополнительных предположений: ассоциативный, коммутативный, единый, и / или конечномерными. В универсальная алгебра, слово «алгебра» относится к обобщению вышеупомянутой концепции, которое позволяет n-арные операции.
• С квалификатором существует такое же различие:
  • Без артикля это означает часть алгебры, например линейная алгебра, элементарная алгебра (правила манипулирования символами, преподаваемые на начальных курсах математики как часть начальный и среднее образование), или же абстрактная алгебра (изучение алгебраических структур для себя).
  • Под статьей это означает экземпляр некоторой абстрактной структуры, например Алгебра Ли, ассоциативная алгебра, или алгебра вершинных операторов.
  • Иногда оба значения существуют для одного и того же квалификатора, как в предложении: Коммутативная алгебра это изучение коммутативные кольца, которые коммутативные алгебры над целыми числами.

Алгебра как раздел математики

Алгебра началась с вычислений, аналогичных вычислениям арифметика, с буквами, обозначающими цифры.^[5] Это позволяло доказывать истинность свойств независимо от числа используемых. Например, в квадратное уровненеие

${displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}$

${displaystyle a, b, c}$ могут быть любыми числами (кроме ${displaystyle a}$ не может быть ${displaystyle 0}$), а квадратичная формула можно использовать, чтобы быстро и легко найти значения неизвестной величины ${displaystyle x}$ которые удовлетворяют уравнению. То есть найти все решения уравнения.

Исторически сложилось так, что в настоящее время изучение алгебры начинается с решения уравнений, таких как квадратное уравнение, приведенное выше. Затем более общие вопросы, такие как «имеет ли уравнение решение?», «Сколько решений имеет уравнение?», «Что можно сказать о природе решений?» считаются. Эти вопросы привели к распространению алгебры на нечисловые объекты, такие как перестановки, векторов, матрицы, и многочлены. Структурные свойства этих нечисловых объектов затем были абстрагированы в алгебраические структуры Такие как группы, кольца, и поля.

До XVI века математика была разделена только на две части: арифметика и геометрия. Несмотря на то, что некоторые методы, которые были разработаны намного раньше, могут рассматриваться в настоящее время как алгебра, появление алгебры и, вскоре после этого, исчисление бесконечно малых поскольку подполя математики относятся только к XVI или XVII веку. Со второй половины XIX века появилось много новых областей математики, в большинстве из которых использовались как арифметика, так и геометрия, и почти во всех использовалась алгебра.

Сегодня алгебра выросла и включает в себя многие разделы математики, что можно увидеть на Классификация предметов математики^[8]где ни одна из областей первого уровня (двухзначные записи) не называется алгебра. Сегодня алгебра включает в себя разделы 08-Общие алгебраические системы, 12-Теория поля и многочлены, 13-Коммутативная алгебра, 15-Линейный и полилинейная алгебра; матричная теория, 16-Ассоциативные кольца и алгебры, 17-Неассоциативные кольца и алгебры, 18-Теория категорий; гомологическая алгебра, 19-K-теория и 20-Теория групп. Алгебра также широко используется в 11-Теория чисел и 14-Алгебраическая геометрия.

История

Ранняя история алгебры

Страница из Аль-Хваризмис аль-Китаб аль-Мухтагар фи Шисаб аль-Табр ва-ль-мукабала

Корни алгебры уходят корнями в древние Вавилоняне,^[9] которые разработали передовую арифметическую систему, с помощью которой они могли выполнять вычисления в алгоритмический мода. Вавилоняне разработали формулы для расчета решений проблем, которые сегодня обычно решаются с помощью линейные уравнения, квадратные уравнения, и неопределенные линейные уравнения. Напротив, большинство Египтяне этой эпохи, а также Греческий и Китайская математика в 1-м тысячелетии до н. э. такие уравнения обычно решались геометрическими методами, например, описанными в Математический папирус Райнда, Евклида Элементы, и Девять глав математического искусства. Геометрические работы греков, представленные в Элементы, обеспечил основу для обобщения формул, выходящих за рамки решения конкретных задач, в более общие системы постановки и решения уравнений, хотя это не будет реализовано до тех пор, пока математика развивалась в средневековом исламе.^[10]

Ко времени ПлатонГреческая математика претерпела коренные изменения. Греки создали геометрическая алгебра где термины были представлены сторонами геометрических объектов, обычно линиями, с которыми были связаны буквы.^[5] Диофант (3 век нашей эры) был Александрийский Греческий математик и автор серии книг под названием Арифметика. Эти тексты посвящены решению алгебраические уравнения,^[11] и привели, в теория чисел к современному представлению о Диофантово уравнение.

Более ранние традиции, о которых говорилось выше, оказали прямое влияние на персидского математика Мухаммада ибн Муса аль-Хваризми (ок. 780–850). Позже он написал Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки, который установил алгебру как математическую дисциплину, независимую от геометрия и арифметика.^[12]

В Эллинистический математики Герой Александрии и Диофант^[13] а также Индийские математики Такие как Брахмагупта продолжал традиции Египта и Вавилона, хотя Диофант Арифметика и Брахмагупты Брахмаспхунасиддханта находятся на более высоком уровне.^{[14][нужен лучший источник]} Например, первое полное арифметическое решение, написанное словами вместо символов,^[15] включая нулевые и отрицательные решения, квадратных уравнений был описан Брахмагуптой в его книге Брахмаспхутасиддханта, опубликовано в 628 году нашей эры.^[16] Позже персидские и арабские математики развили алгебраические методы до гораздо более высокой степени сложности. Хотя Диофант и вавилоняне использовали в основном особые для этого случая методы решения уравнений, вклад Аль-Хорезми был фундаментальным. Он решил линейные и квадратные уравнения без алгебраической символики, отрицательные числа или же нуль, поэтому ему пришлось различать несколько типов уравнений.^[17]

В контексте, где алгебра отождествляется с теория уравнений, греческий математик Диофант традиционно был известен как «отец алгебры», и в контексте, где она отождествляется с правилами манипулирования и решения уравнений, персидский математик аль-Хорезми считается «отцом алгебры».^{[18][19][20][21][22][23][24]} Сейчас ведутся споры о том, кто (в общем смысле) имеет больше прав называться «отцом алгебры». Сторонники Диофанта указывают на то, что алгебра, найденная в Аль-Джабр немного более элементарна, чем алгебра, найденная в Арифметика и это Арифметика синкопируется, пока Аль-Джабр полностью риторический.^[25] Сторонники Аль-Хорезми указывают на то, что он ввел методы "снижение"и" уравновешивание "(перенос вычтенных членов в другую сторону уравнения, то есть отмена как условия на противоположных сторонах уравнения), который член Аль-Джабр первоначально упоминалось,^[26] и что он дал исчерпывающее объяснение решения квадратных уравнений,^[27] подкрепленные геометрическими доказательствами, рассматривая алгебру как самостоятельную дисциплину.^[22] Его алгебра также больше не была озабочена "рядом проблем, которые нужно было решить, но экспозиция который начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явным образом составляют истинный объект исследования ". Он также изучал уравнение само по себе и" в общем виде, поскольку оно не просто возникают в процессе решения проблемы, но специально призваны определять бесконечный класс проблем ".^[28]

Другой персидский математик Омар Хайям приписывают определение основ алгебраическая геометрия и нашел общее геометрическое решение кубическое уравнение. Его книга Трактат о демонстрациях задач алгебры (1070), в котором были заложены принципы алгебры, является частью персидской математики, которая в конечном итоге была передана в Европу.^[29] Еще один персидский математик, Шараф ад-Дин ат-Туси, нашел алгебраические и численные решения различных случаев кубических уравнений.^[30] Он также разработал концепцию функция.^[31] Индийские математики Махавира и Бхаскара II, персидский математик Аль-Караджи,^[32] и китайский математик Чжу Шицзе, решил различные случаи кубической, квартика, квинтик и более высокого порядка многочлен уравнения численными методами. В 13 веке решение кубического уравнения Фибоначчи представляет собой начало возрождения европейской алгебры. Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каладади (1412–1486) сделал «первые шаги к введению алгебраической символики». Он также вычислил ∑п², ∑п³ и использовал метод последовательного приближения для определения квадратных корней.^[33]

Современная история алгебры

Итальянский математик Джироламо Кардано опубликовал решения кубический и уравнения четвертой степени в его книге 1545 года Ars magna.

Франсуа Виетработает над новая алгебра в конце 16 века это был важный шаг к современной алгебре. В 1637 г. Рене Декарт опубликовано La Géométrieизобретая аналитическая геометрия и введение современных алгебраических обозначений. Другим ключевым событием в дальнейшем развитии алгебры стало общее алгебраическое решение кубических и квартичных уравнений, разработанное в середине 16 века. Идея детерминант был разработан Японский математик Секи Коува в 17 веке, а затем независимо Готфрид Лейбниц десять лет спустя для решения систем одновременных линейных уравнений с использованием матрицы. Габриэль Крамер также работал над матрицами и детерминантами в 18 веке. Перестановки изучались Жозеф-Луи Лагранж в его статье 1770 г. "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" посвященный решениям алгебраических уравнений, в которые он ввел Резольвенты Лагранжа. Паоло Руффини был первым, кто разработал теорию группы перестановок, и, как и его предшественники, также в контексте решения алгебраических уравнений.

Абстрактная алгебра был разработан в 19 веке из-за интереса к решению уравнений, первоначально сосредоточившись на том, что сейчас называется Теория Галуа, и дальше конструктивность вопросы.^[34] Джордж Пикок был основоположником аксиоматического мышления в арифметике и алгебре. Огастес Де Морган обнаруженный алгебра отношений в его Программа предлагаемой системы логики. Джозайя Уиллард Гиббс разработал алгебру векторов в трехмерном пространстве, и Артур Кэли разработал алгебру матриц (это некоммутативная алгебра).^[35]

Области математики, в названии которых есть слово алгебра

Некоторые области математики, подпадающие под классификационную абстрактную алгебру, имеют в названии слово «алгебра»; линейная алгебра это один из примеров. Другие не делают: теория групп, теория колец, и теория поля являются примерами. В этом разделе мы перечисляем некоторые области математики со словом "алгебра" в названии.

• Элементарная алгебра, часть алгебры, которая обычно преподается на начальных курсах математики.
• Абстрактная алгебра, в котором алгебраические структуры Такие как группы, кольца и поля находятся аксиоматически определены и исследованы.
• Линейная алгебра, в котором специфические свойства линейные уравнения, векторные пространства и матрицы изучаются.
• Булева алгебра, ветвь алгебры, абстрагирующая вычисления с ценности истины ложный и истинный.
• Коммутативная алгебра, изучение коммутативные кольца.
• Компьютерная алгебра, реализация алгебраических методов как алгоритмы и компьютерные программы.
• Гомологическая алгебра, изучение алгебраических структур, фундаментальных для изучения топологические пространства.
• Универсальная алгебра, в котором изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур.
• Алгебраическая теория чисел, в котором свойства чисел изучаются с алгебраической точки зрения.
• Алгебраическая геометрия, ветвь геометрии, в ее примитивной форме, определяющая кривые и поверхности как решения полиномиальных уравнений.
• Алгебраическая комбинаторика, в котором алгебраические методы используются для изучения комбинаторных вопросов.
• Реляционная алгебра: набор финансовые отношения то есть закрыто под определенных операторов.

Многие математические конструкции называются алгебры:

• Алгебра над полем или в более общем смысле алгебра над кольцом.
  Многие классы алгебр над полем или над кольцом имеют определенное имя:
  • Ассоциативная алгебра
  • Неассоциативная алгебра
  • Алгебра Ли
  • Алгебра Хопфа
  • C * -алгебра
  • Симметричная алгебра
  • Внешняя алгебра
  • Тензорная алгебра
• В теория меры,
  • Сигма-алгебра
  • Алгебра над множеством
• В теория категорий
  • F-алгебра и F-коалгебра
  • Т-алгебра
• В логика,
  • Алгебра отношений, булева алгебра с делениями расширена инволюцией, называемой обратной.
  • Булева алгебра, а дополнен распределительная решетка.
  • Алгебра Гейтинга

Элементарная алгебра

Обозначение алгебраических выражений:
1 - степень (показатель степени)
2 - коэффициент
3 - срок
4 - оператор
5 - постоянный член
  Икс у c - переменные / константы

Элементарная алгебра это самая основная форма алгебры. Он преподается студентам, которые предположительно не знают математика за пределами основных принципов арифметика. В арифметике только числа и их арифметические операции (такие как +, -, ×, ÷). В алгебре числа часто представлены символами, называемыми переменные (Такие как а, п, Икс, у или же z). Это полезно, потому что:

• Это позволяет формулировать общие арифметические законы (например, а + б = б + а для всех а и б), и, таким образом, это первый шаг к систематическому исследованию свойств система вещественных чисел.
• Это позволяет ссылаться на «неизвестные» числа, формулировать уравнения и изучение того, как их решить. (Например, "Найдите число Икс так что 3Икс + 1 = 10 "или немного дальше" Найдите число Икс такой, что топор + б = c". Этот шаг приводит к выводу, что не природа конкретных чисел позволяет нам решить эту проблему, а характер задействованных операций.)
• Это позволяет формулировать функциональный отношения. (Например, "Если вы продаете Икс билетов, то ваша прибыль составит 3Икс - 10 долларов, или ж(Икс) = 3Икс - 10, где ж - функция, а Икс - номер, к которому применяется функция ".)

Полиномы

В график полиномиальной функции степени 3

А многочлен является выражение то есть сумма конечного числа ненулевых термины, каждый член, состоящий из произведения константы и конечного числа переменные в степени целого числа. Например, Икс² + 2Икс - 3 - многочлен от одной переменной Икс. А полиномиальное выражение представляет собой выражение, которое можно переписать в виде полинома, используя коммутативность, ассоциативность и распределенность сложения и умножения. Например, (Икс − 1)(Икс + 3) является полиномиальным выражением, которое, собственно говоря, не является полиномом. А полиномиальная функция - функция, которая определяется полиномом или, что то же самое, полиномиальным выражением. Два предыдущих примера определяют одну и ту же полиномиальную функцию.

Две важные и связанные проблемы алгебры: факторизация многочленов, то есть выражение данного многочлена как произведение других многочленов, которые не могут быть подвергнуты дальнейшему разложению, и вычисление полиномиальные наибольшие общие делители. Пример полинома выше можно разложить на множители как (Икс − 1)(Икс + 3). Связанный с этим класс проблем - это поиск алгебраических выражений для корни полинома от одной переменной.

Образование

Было предложено преподавать элементарную алгебру ученикам в возрасте одиннадцати лет.^[36] хотя в последние годы в Соединенных Штатах чаще публичные уроки начинаются в восьмом классе (≈ 13 лет ±).^[37] Однако в некоторых школах США алгебру изучают в девятом классе.

Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра расширяет знакомые концепции элементарной алгебры и арифметика из числа к более общим понятиям. Вот перечисленные фундаментальные понятия абстрактной алгебры.

Наборы: Вместо того, чтобы просто рассматривать различные типы числаабстрактная алгебра имеет дело с более общим понятием наборы: набор всех объектов (называемых элементы) выбирается по свойству, специфичному для набора. Все наборы знакомых типов чисел являются наборами. Другие примеры наборов включают набор всех два на два матрицы, набор всех второй степени многочлены (топор² + bx + c) множество всех двумерных векторов в самолете, и различные конечные группы такой как циклические группы, которые представляют собой группы целых чисел по модулю п. Теория множеств это филиал логика и технически это не раздел алгебры.

Бинарные операции: Понятие добавление (+) абстрагируется, чтобы дать бинарная операция, ∗ говорят. Понятие двоичной операции бессмысленно без набора, на котором операция определена. Для двух элементов а и б в комплекте S, а ∗ б - еще один элемент в наборе; это состояние называется закрытие. Добавление (+), вычитание (−), умножение (×) и разделение (÷) могут быть двоичными операциями, если они определены на разных наборах, как и сложение и умножение матриц, векторов и многочленов.

Элементы идентичности: Числа ноль и единица абстрагируются, чтобы дать понятие элемент идентичности на операцию. Ноль - это тождественный элемент для сложения, а единица - тождественный элемент для умножения. Для общего бинарного оператора ∗ единичный элемент е должен удовлетворить а ∗ е = а и е ∗ а = а, и обязательно уникален, если он существует. Это справедливо для сложения как а + 0 = а и 0 + а = а и умножение а × 1 = а и 1 × а = а. Не все наборы и комбинации операторов имеют элемент идентичности; например, набор положительных натуральных чисел (1, 2, 3, ...) не имеет единичного элемента для сложения.

Обратные элементы: Отрицательные числа дают начало концепции обратные элементы. Кроме того, обратное а написано -а, а для умножения обратное записывается а⁻¹. Общий двусторонний обратный элемент а⁻¹ удовлетворяет тому свойству, что а ∗ а⁻¹ = е и а⁻¹ ∗ а = е, куда е является элементом идентичности.

Ассоциативность: Сложение целых чисел имеет свойство, называемое ассоциативностью. То есть группировка добавляемых чисел не влияет на сумму. Например: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). В общем, это становится (а ∗ б) ∗ c = а ∗ (б ∗ c). Это свойство является общим для большинства бинарных операций, но не для вычитания, деления или умножение октониона.

Коммутативность: Сложение и умножение действительных чисел коммутативны. То есть порядок цифр не влияет на результат. Например: 2 + 3 = 3 + 2. Как правило, это становится а ∗ б = б ∗ а. Это свойство сохраняется не для всех бинарных операций. Например, матричное умножение и умножение кватернионов оба некоммутативны.

Группы

Объединение вышеуказанных концепций дает одну из наиболее важных структур в математике: группа. Группа - это комбинация набора S и один бинарная операция ∗, определяемый любым способом, но со следующими свойствами:

• Элемент идентичности е существует, так что для каждого члена а из S, е ∗ а и а ∗ е оба идентичны а.
• У каждого элемента есть обратное: для каждого члена а из S, существует член а⁻¹ такой, что а ∗ а⁻¹ и а⁻¹ ∗ а оба идентичны элементу идентичности.
• Операция ассоциативная: если а, б и c являются членами S, тогда (а ∗ б) ∗ c идентичен а ∗ (б ∗ c).

Если группа также коммутативный - то есть для любых двух членов а и б из S, а ∗ б идентичен б ∗ а - тогда группа называется абелевский.

Например, набор целых чисел при операции сложения - это группа. В этой группе единичный элемент равен 0, а инверсия любого элемента а это его отрицание, -а. Требование ассоциативности выполняется, потому что для любых целых чисел а, б и c, (а + б) + c = а + (б + c)

Ненулевой рациональное число образуют группу при умножении. Здесь единичный элемент равен 1, поскольку 1 × а = а × 1 = а для любого рационального числа а. Обратное а равно 1 /а, поскольку а × 1/а = 1.

Однако целые числа при операции умножения не образуют группу. Это потому, что, как правило, мультипликативная обратная величина целого числа не является целым числом. Например, 4 - это целое число, но его мультипликативная обратная величина -, которая не является целым числом.

Теория групп изучается в теория групп. Основным результатом этой теории является классификация конечных простых групп, в основном опубликованные между 1955 и 1983 годами, что разделяет конечный простые группы примерно на 30 основных типов.

Полугруппы, квазигруппы, и моноиды структура аналогична группам, но более общая. Они состоят из набора и закрытой бинарной операции, но не обязательно удовлетворяют другим условиям. А полугруппа имеет ассоциативный бинарная операция, но может не иметь идентификационного элемента. А моноид - это полугруппа, которая имеет идентичность, но может не иметь инверсии для каждого элемента. А квазигруппа удовлетворяет требованию, чтобы любой элемент мог быть превращен в любой другой либо единственным умножением слева, либо умножением справа; однако бинарная операция может быть не ассоциативной.

Все группы являются моноидами, а все моноиды - полугруппами.

Кольца и поля

У групп всего одна бинарная операция. Чтобы полностью объяснить поведение различных типов чисел, необходимо изучить структуры с двумя операторами. Наиболее важные из них кольца и поля.

А звенеть имеет две бинарные операции (+) и (×), причем × дистрибутивна над +. Под первым оператором (+) образует абелева группа. Под вторым оператором (×) он ассоциативен, но не должен иметь тождества или обратного, поэтому деление не требуется. Аддитивный (+) единичный элемент записывается как 0, а аддитивный инверсный элемент а записывается как -а.

Распределительность обобщает распределительный закон для чисел. Для целых чисел (а + б) × c = а × c + б × c и c × (а + б) = c × а + c × б, и × называется распределительный более +.

Целые числа являются примером кольца. У целых чисел есть дополнительные свойства, которые делают их область целостности.

А поле это звенеть с дополнительным свойством, что все элементы, за исключением 0, образуют абелева группа под ×. Мультипликативное (×) тождество записывается как 1, а мультипликативное обратное к а записывается как а⁻¹.

Рациональные числа, действительные числа и комплексные числа - все это примеры полей.

Смотрите также

• Схема алгебры
• Очерк линейной алгебры
• Алгебра плитка

Рекомендации

Цитаты

Процитированные работы

• Бойер, Карл Б. (1991). История математики (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Гандз, С. (январь 1936 г.). «Источники алгебры Аль-Ховаризми». Осирис. 1: 263–277. Дои:10.1086/368426. JSTOR 301610.
• Герштейн, И. Н. (1964). Темы по алгебре. Джинн и компания. ISBN 0-471-02371-X.

дальнейшее чтение

• Алленби, Р. Б. Дж. Т. (1991). Кольца, поля и группы. ISBN 0-340-54440-6.
• Азимов Исаак (1961). Сфера алгебры. Хоутон Миффлин.
• Эйлер, Леонард (Ноябрь 2005 г.). Элементы алгебры. ISBN 978-1-899618-73-6. Архивировано из оригинал на 2011-04-13.
• Герштейн, И. Н. (1975). Темы по алгебре. ISBN 0-471-02371-X.
• Хилл, Дональд Р. (1994). Исламская наука и инженерия. Издательство Эдинбургского университета.
• Джозеф, Джордж Гевергезе (2000). Гребень павлина: неевропейские корни математики. Книги о пингвинах.
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. (2005). «Темы истории: указатель алгебры». Архив истории математики MacTutor. Сент-Эндрюсский университет. Архивировано из оригинал на 2016-03-03. Получено 2011-12-10.
• Сардар, Зиауддин; Равец, Джерри; Loon, Борин Ван (1999). Введение в математику. Тотемные книги.

внешняя ссылка

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: Алгебра

Искать алгебра в Викисловаре, бесплатном словаре.

В Викиучебнике есть книга на следующие темы: Алгебра

Wikisource есть текст 1911 Британская энциклопедия статья Алгебра.

• Khan Academy: концептуальные видео и рабочие примеры
• Khan Academy: Origins of Algebra, бесплатные микролекции онлайн
• Algebrarules.com: ресурс с открытым исходным кодом для изучения основ алгебры
• 4000 лет алгебре, лекция Робина Уилсона, на Gresham College, 17 октября 2007 г. (доступно для скачивания в форматах MP3 и MP4, а также в виде текстового файла).
• Пратт, Воган. "Алгебра". В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.