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Metawiskunde

Meta-Mathematik ist das Studium von Mathematik auf der Grundlage von Mathematische Modelle. Aus solchen Disziplinen kommen Metatheorien weiter, in diesem Fall mathematische Theorien im Verhältnis zu anderen mathematischen Theorien. Meta-Mathematiker Meta zählt wurden im 19. Jahrhundert von gewöhnlichen Mathematikern unterschieden eeuw Thesen in Verbindung mit dem Grundlagenkrise in der Mathematik. Das Richards Paradoxon von 1905 ist ein gutes Beispiel für die Probleme, die durch Widerspruch entstehen können, wenn Mathematik nicht von Metamathematik unterschieden wird.

Der Begriff Metamathematik wird auch für bestimmte elementare Teile der formale Logik, insbesondere die Aussagelogik und der Prädikatslogik.

Geschichte

Die Metamathematik war zunächst eng mit der mathematische Logik. Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts gab es viele Überschneidungen zwischen den beiden Disziplinen. Die mathematische Logik konzentrierte sich schließlich auf die Mengenlehre, das Rekursionstheorie und das reine Modelltheorie, Angelegenheiten, die nicht direkt mit der Metamathematik zu tun haben.

Gottlob Frege war einer der ersten, der über metamathematische Fragen nachdachte. Er tat dies besonders in seinem Briefkopf. später war David Hilbert in seinem Programm der erste, der den Begriff "Metamathematik" mit einiger Regelmäßigkeit als eine Art Synonym von . verwendet Beweistheorie aber im Hinblick auf das Studium verschiedener Mathematiker Thesen und Axioms. Die Meta-Mathematik wird vor allem weiterentwickelt von Alfred Tarskic und Kurt Gödel wer ist dabei Unvollständigkeit zählt bewiesen, dass es keine gibt axiomatische Methode existiert, die ihre eigene Konsistenz beweisen kann, wie von Hilbert vorgeschlagen. In etwas geringerem Maße haben auch Bertrand Russell, Thoralf Skolem, Emil Post, Alonzo-Kirche, Stephen Kleene, Willard Van Orman Quine, Paul Benacerraf, Hilary Putnam, Gregory Chaitin, Gerhard Gentzen und Paul Lorenzen hat sich in Kombination mit anderen Disziplinen an der Entwicklung der Metamathematik beteiligt. Zum Beispiel, Kirche verlinkt Entscheidbarkeit zum Prädikatslogik und Rekursion Auf Berechenbarkeit.

Gödel legte Beweise dafür vor, dass mit einer bestimmten Anzahl von Axiomen bezüglich der Peano Arithmetik wahre Aussagen können gemacht werden, ohne dass diese Aussagen Axiome von Peano könnte sein bewährt. Dies ist als die bekannt geworden Unvollständigkeitssätze von Gödel. Bis heute wird dies von vielen als die größte Errungenschaft sowohl der Metamathematik als auch der Naturwissenschaften angesehen Philosophie der Mathematik. Weitere Meilensteine ​​der Metamathematik sind die Entscheidungsproblem von Hilbert und dem T-Schema von Tarski.

Verweise

  • W. J. Blok und Don Pigozzi, "Alfred Tarskis Arbeit über die allgemeine Metamathematik", Das Journal der symbolischen Logik Bd. 53, Nr. 1 (März 1988), S. . 36–50.
  • I. J. Gut. „Eine Anmerkung zu Richards Paradox“. Verstand, Neue Serie Band 75, Nr. 299 (Juli 1966), p. 431. JStor
  • Douglas Hofstadter, 1980. Gödel, Escher, Bach. Vintage-Bücher. Richtet sich an Laien.
  • Stephen Cole Kleene, 1952. Einführung in die Metamathematik. Nordholland. Richtet sich an Mathematiker.
  • Jules Richard, Les Principes des Mathématiques et le Problème des Ensembles, Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées (1905); übersetzt in J. van Heijenoort (Hrsg.), Quellenbuch in mathematischer Logik 1879-1931 (Cambridge, Massachusetts, 1964).
  • Alfred Whitehead, und Bertrand Russell. Principia Mathematica, 3 Bände, Cambridge University Press, 1910, 1912 und 1913. Zweite Auflage, 1925 (Bd. 1), 1927 (Bände 2, 3). In Kurzform veröffentlicht als Principia Mathematica zu *56, Cambridge University Press, 1962.