WikiDer > Минимальный многочлен (линейная алгебра)

Minimal polynomial (linear algebra)

В линейная алгебра, то минимальный многочлен μА из п × п матрица А через поле F это монический многочлен п над F наименьшей степени такой, что п(А) = 0. Любой другой многочлен Q с Q(А) = 0 является (полиномиальным) кратным μА.

Следующие три утверждения эквивалентны:

  1. λ это корень μА,
  2. λ является корнем характеристический многочлен χА из А,
  3. λ является собственное значение матрицы А.

Кратность корня λ из μА самая большая сила м такой, что кер ((АλIп)м) строго содержит кер ((АλIп)м−1). Другими словами, увеличивая показатель степени до м даст ядра все большего размера, но при дальнейшем увеличении степени за пределами м просто даст такое же ядро.

Если поле F не является алгебраически замкнутым, то минимальный и характеристический многочлены не нужно разложить на множители в соответствии с их корнями (в F) в одиночку, другими словами, они могут иметь неприводимый многочлен факторы степени выше, чем 1. Для неприводимых многочленов п у одного есть аналогичные эквиваленты:

  1. п разделяет μА,
  2. п разделяет χА,
  3. ядро п(А) имеет размер не менее 1.
  4. ядро п(А) имеет размер не менее град (п).

Как и характеристический многочлен, минимальный многочлен не зависит от базового поля, другими словами, рассмотрение матрицы как матрицы с коэффициентами в большем поле не меняет минимальный многочлен. Причина несколько иная, чем для характеристического многочлена (где он непосредственно следует из определения определителей), а именно тот факт, что минимальный многочлен определяется соотношениями линейная зависимость между державами А: расширение базового поля не приведет к появлению новых таких отношений (и, конечно, не удалит существующие).

Минимальный многочлен часто совпадает с характеристическим многочленом, но не всегда. Например, если А является множественным aIп единичной матрицы, то ее минимальный многочлен равен Икса поскольку ядро aIпА = 0 это уже все пространство; с другой стороны, его характеристический многочлен равен (Икса)п (единственное собственное значение а, а степень характеристического полинома всегда равна размерности пространства). Минимальный многочлен всегда делит характеристический многочлен, что является одним из способов формулировки Теорема Кэли – Гамильтона (для случая матриц над полем).

Формальное определение

Учитывая эндоморфизм Т на конечномерном векторное пространство V через поле F, позволять яТ множество, определенное как

куда F[т] - пространство всех многочленов над полем F. яТ это правильный идеал из F[т]. С F это поле, F[т] это главная идеальная область, таким образом, любой идеал порождается одним многочленом, который уникален с точностью до единиц в F. Можно сделать особый выбор среди генераторов, поскольку именно один из генераторов моник. В минимальный многочлен таким образом определяется как монический многочлен, который порождает яТ. Это приведенный многочлен наименьшей степени от яТ.

Приложения

An эндоморфизм φ конечномерного векторного пространства над полем F является диагонализуемый тогда и только тогда, когда его минимальные полиномиальные множители полностью превышают F в отчетливый линейные факторы. Дело в том, что есть только один фактор Иксλ для каждого собственного значения λ означает, что обобщенное собственное подпространство за λ такой же, как собственное подпространство за λ: каждый блок Джордана имеет размер 1. В более общем смысле, если φ удовлетворяет полиномиальному уравнению п(φ) = 0 куда п делится на отдельные линейные множители по F, то он будет диагонализуемым: его минимальный многочлен является делителем п и поэтому также учитывается в различных линейных факторах. В частности, есть:

  • п = Икс k − 1: эндоморфизмы конечного порядка комплексных векторных пространств диагонализируемы. Для особого случая k = 2 из инволюции, это верно даже для эндоморфизмов векторных пространств над любым полем характеристика Кроме как 2, поскольку Икс 2 − 1 = (Икс − 1)(Икс + 1) представляет собой факторизацию на отдельные факторы над таким полем. Это часть теория представлений циклических групп.
  • п = Икс 2Икс = Икс(Икс − 1): эндоморфизмы, удовлетворяющие φ2 = φ называются прогнозы, и всегда диагонализуемы (более того, их единственные собственные значения 0 и 1).
  • Напротив, если μφ = Икс k с k ≥ 2 тогда φ (нильпотентный эндоморфизм) не обязательно диагонализуем, поскольку Икс k имеет повторяющийся корень 0.

Эти случаи также могут быть доказаны напрямую, но минимальный многочлен дает единую перспективу и доказательство.

Вычисление

Для вектора v в V определять:

Это определение удовлетворяет свойствам собственного идеала. Позволять μТ,v - порождающий его монический многочлен.

Характеристики

  • С яТ,v содержит минимальный многочлен μТ, последняя делится на μТ,v.
  • Если d наименьшее натуральное число такое, что v, Т(v), ..., Тd(v) находятся линейно зависимый, то существуют уникальные а0, а1, ..., аd−1 в F, не все нули, так что

    и для этих коэффициентов имеем

  • Пусть подпространство W быть изображением μТ,v(Т), который Т-стабильный. С μТ,v(Т) уничтожает по крайней мере векторы v, Т(v), ..., Тd-1(v), то коразмерность из W по крайней мере d.
  • Минимальный многочлен μТ это продукт μТ,v и минимальный многочлен Q ограничения Т к W. В (вероятном) случае W имеет размер 0 надо Q = 1 и поэтому μТ = μТ,v; в противном случае рекурсивное вычисление Q достаточно найти μТ.

Пример

Определять Т быть эндоморфизмом р3 с матрицей, на канонической основе,

Взяв первый канонический базисный вектор е1 и его повторяющиеся изображения Т можно получить

из которых первые три легко увидеть как линейно независимый, и, следовательно, охватить все р3. Последний из них обязательно является линейной комбинацией первых трех, на самом деле

Т 3е1 = −4Т 2е1Те1 + е1,

так что:

μТ,е1 = Икс 3 + 4Икс 2 + Икся.

Фактически это также минимальный многочлен μТ и характеристический многочлен χТ: в самом деле μТ,е1 разделяет μТ который разделяет χТ, а поскольку первый и последний имеют степень 3 и все моники, они все должны быть одинаковыми. Другая причина в том, что в общем случае любой многочлен от Т уничтожает вектор v, то он также аннигилирует Тv (просто примените Т к уравнению, которое говорит, что оно уничтожает v), и, следовательно, путем итерации он уничтожает все пространство, порожденное повторяющимися изображениями посредством Т из v; в данном случае мы видели, что для v = е1 это пространство все из р3, так μТ,е1(Т) = 0. Действительно, для полной матрицы проверяется, что Т 3 + 4Т 2 + Тя3 это нулевая матрица:

Рекомендации

  • Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, МИСТЕР 1878556