WikiDer > Минимальный многочлен (теория поля)

Minimal polynomial (field theory)

В теория поля, филиал математика, то минимальный многочлен ценности α это, грубо говоря, многочлен самого низкого степень имеющие коэффициенты указанного типа, такие что α является корнем многочлена. Если минимальный многочлен от α существует, он уникален. Коэффициент перед членом наивысшей степени в полиноме должен быть равен 1, а указанный тип для остальных коэффициентов может быть целые числа, рациональное число, действительные числа, или другие.

Более формально минимальный многочлен определяется относительно расширение поля E/F и элемент поля расширения E. Минимальный многочлен элемента, если он существует, является членом F[Икс], кольцо многочленов в переменной Икс с коэффициентами в F. Учитывая элемент α из E, позволять Jα - множество всех многочленов ж(Икс) в F[Икс] такой, что ж(α) = 0. Элемент α называется корень или ноль каждого полинома из Jα. Набор Jα назван так потому, что это идеальный из F[Икс]. Нулевой многочлен, все коэффициенты которого равны 0, находится в каждом Jα с 0αя = 0 для всех α и я. Это делает нулевой многочлен бесполезным для классификации различных значений α на типы, поэтому это исключено. Если есть ненулевые многочлены от Jα, тогда α называется алгебраический элемент над F, и существует монический многочлен наименьшей степени в Jα. Это минимальный многочлен от α относительно E/F. Это уникально и несводимый над F. Если нулевой многочлен - единственный член Jα, тогда α называется трансцендентный элемент над F и не имеет минимального многочлена относительно E/F.

Минимальные полиномы полезны для построения и анализа расширений полей. Когда α является алгебраическим с минимальным многочленом а(Икс), наименьшее поле, которое содержит оба F и α является изоморфный к кольцо частного F[Икс]/⟨а(Икс)⟩, куда ⟨а(Икс)⟩ - идеал F[Икс] создано а(Икс). Минимальные полиномы также используются для определения сопряженные элементы.

Определение

Позволять E/F быть расширением поля, α элемент E, и F[Икс] кольцо многочленов от Икс над F. Элемент α имеет минимальный многочлен, когда α алгебраичен над F, то есть когда ж(α) = 0 для некоторого ненулевого многочлена ж(Икс) в F[Икс]. Тогда минимальный многочлен от α определяется как монический многочлен наименьшей степени среди всех многочленов из F[Икс] имея α как корень.

Уникальность

Позволять а(Икс) - минимальный многочлен α относительно E/F. Уникальность а(Икс) устанавливается с учетом кольцевой гомоморфизм субα из F[Икс] к E что заменяет α за Икс, то есть субα(ж(Икс)) = ж(α). Ядро субα, ker (subα), - множество всех многочленов от F[Икс] который имеет α как корень. То есть ker (subα) = Jα сверху. Поскольку субα - гомоморфизм колец, ker (subα) является идеалом F[Икс]. С F[Икс] это главное кольцо в любое время F является полем, существует хотя бы один многочлен в ker (subα), который порождает ker (subα). Такой многочлен будет иметь наименьшую степень среди всех ненулевых многочленов из ker (subα), и а(Икс) считается единственным моническим полиномом среди них.

Альтернативное доказательство уникальности

Предполагать п и q являются моническими многочленами от Jα минимальной степени п > 0. Поскольку пqJα и deg (пq) < п следует, что пq = 0, т.е. п = q.

Характеристики

Минимальный многочлен неприводим. Позволять E/F быть расширением поля над F как указано выше, αE, и жF[Икс] минимальный многочлен для α. Предполагать ж = gh, куда грамм, часF[Икс] имеют меньшую степень, чем ж. Сейчас же ж(α) = 0. Поскольку поля тоже целостные области, у нас есть грамм(α) = 0 или час(α) = 0. Это противоречит минимальности степени ж. Таким образом, минимальные многочлены неприводимы.

Примеры

Минимальный многочлен расширения поля Галуа

Учитывая расширение поля Галуа минимальный многочлен любого не в можно вычислить как

если не имеет стабилизаторов в действии Галуа. Поскольку это неприводимо, что можно вывести, глядя на корни , это минимальный многочлен. Обратите внимание, что такую ​​же формулу можно найти, заменив с куда стабилизирующая группа . Например, если тогда его стабилизатор , следовательно - его минимальный многочлен.

Квадратичные расширения поля

Q (2)

Если F = Q, E = р, α = 2, то минимальный многочлен для α является а(Икс) = Икс2 - 2. Базовое поле F важен, поскольку он определяет возможности для коэффициентов а(Икс). Например, если взять F = р, то минимальный многочлен для α = 2 является а(Икс) = Икс2.

Q (d)

Вообще говоря, для квадратичного расширения, заданного бесквадратной , вычисляя минимальный многочлен элемента можно найти с помощью теории Галуа. потом

в частности, это означает и . Это можно использовать для определения через серия отношений с использованием модульной арифметики.

Биквадратичные расширения поля

Если α = 2 + 3, то минимальный многочлен от Q[Икс] является а(Икс) = Икс4 − 10Икс2 + 1 = (Икс23)(Икс + 23)(Икс2 + 3)(Икс + 2 + 3).

Обратите внимание, если затем действие Галуа на стабилизирует . Следовательно, минимальный многочлен можно найти с помощью фактор-группы .

Корни единства

Минимальные многочлены от Q[Икс] из корни единства являются циклотомические многочлены.

Полиномы Суиннертона-Дайера

Минимальный многочлен от Q[Икс] суммы квадратных корней первых п простые числа строятся аналогично и называются Полином Суиннертона-Дайера.

Смотрите также

Рекомендации

  • Вайсштейн, Эрик В. «Минимальный многочлен алгебраических чисел». MathWorld.
  • Минимальный многочлен в PlanetMath.org.
  • Пинтер, Чарльз С. Книга абстрактной алгебры. Серия Dover Книги по математике. Dover Publications, 2010, стр. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5