WikiDer > Пазл без квадрата

Missing square puzzle
Анимация головоломки с отсутствующим квадратом, показывающая два расположения частей и «недостающий» квадрат.
Оба «полных треугольника» находятся в идеальной сетке 13 × 5; и оба «составляющих треугольника»: синий в сетке 5 × 2 и красный в сетке 8 × 3.

В недостающая квадратная головоломка является оптическая иллюзия используется в математика классы, чтобы помочь студентам рассуждать о геометрических фигурах; или, скорее, научить их не рассуждать, используя цифры, а использовать только текстовые описания и аксиомы геометрии. На нем изображены две конструкции, выполненные схожей формы в немного разных конфигурациях. Каждая, по-видимому, образует прямоугольный 13 × 5 треугольник, но в одном есть отверстие размером 1 × 1.

Решение

Чего не показывает "волшебное представление". Углы гипотенуз не совпадают: они не совпадают. похожие треугольники. Достаточно тривиально доказать, что треугольники должны быть разными, чтобы эта форма головоломки работала на плоскости.
Разделение тонкий параллелограмм область (желтый) на маленькие части и построение из них единого квадрата.

Ключом к разгадке является тот факт, что ни один из «треугольников» 13 × 5 не является действительно треугольником, и ни один из них не был бы действительно треугольником 13 × 5, если бы это было так, потому что то, что кажется гипотенуза согнут. Другими словами, «гипотенуза» не поддерживает последовательную наклон, даже если это может показаться человеческому глазу.

У всего треугольника есть две различные и «ложные гипотенузы».

Настоящий треугольник 13 × 5 не может быть создан из данных составных частей. Четыре фигуры (желтая, красная, синяя и зеленая фигуры) составляют 32 единицы площади. Кажущиеся треугольники, образованные из фигур, имеют ширину 13 единиц и высоту 5 единиц, поэтому кажется, что область должна быть S = 13×5/2 = 32,5 шт. Тем не менее, синий треугольник имеет соотношение 5: 2 (= 2,5), а красный треугольник имеет соотношение 8: 3 (≈2,667), поэтому кажущееся объединенное гипотенуза в каждой фигуре фактически изогнута. При изогнутой гипотенузе первая фигура фактически занимает 32 единицы, а вторая фигура - 33, включая «недостающий» квадрат.

Величина изгиба приблизительно 1/28 единица измерения (1,245364267 °), которую трудно увидеть на схеме головоломки, и была проиллюстрирована в виде рисунка. Обратите внимание на точку сетки, где встречаются красный и синий треугольники на нижнем изображении (5 квадратов вправо и две единицы вверх от нижнего левого угла объединенного рисунка), и сравните его с той же точкой на другом рисунке; край немного ниже отметки на верхнем изображении, но проходит сквозь нее на нижнем. Наложение гипотенуз на обоих рисунках дает очень тонкий параллелограмм (представлен четырьмя красными точками) с площадью ровно в один квадрат сетки, так что это «недостающая» область.

Принцип

Согласно с Мартин Гарднер,[1] эта головоломка была изобретена Нью-Йорк фокусник-любитель, Пол Карри, в 1953 г. Однако принцип парадокса вскрытия известен с начала 16 века.

Целочисленные размеры частей головоломки (2, 3, 5, 8, 13) являются последовательными. Числа Фибоначчи, что приводит к точной единице площади в тонкий параллелограмм.Многие другие геометрические пазлы на вскрытие основаны на нескольких простых свойствах последовательности Фибоначчи.[2]

Подобные головоломки

Сэм Лойдпарадоксальное рассечение

Сэм ЛойдПарадоксальное рассечение демонстрирует две перестановки квадрата 8 × 8. В «более крупной» перестановке (прямоугольник 5 × 13 на изображении справа) промежутки между фигурами имеют на единицу площади больше, чем их аналогичные квадратные промежутки, что создает иллюзию того, что фигуры там занимают больше места, чем те, что в исходной квадратной фигуре.[3] В «меньшей» перестановке (фигура под прямоугольником 5 × 13) каждый четырехугольник должен перекрывать треугольник на половину единицы, чтобы его верхний / нижний край совпадал с линией сетки, что приводит к общим потерям в одной единице. квадратная площадь.

«Парадокс» Мицунобу Мацуямы использует четыре совпадающих четырехугольники и маленький квадрат, которые образуют большой квадрат. Когда четырехугольники вращаются вокруг своих центров, они заполняют пространство маленького квадрата, хотя общая площадь фигуры кажется неизменной. Кажущийся парадокс объясняется тем, что сторона нового большого квадрата немного меньше исходной. Если θ - угол между двумя противоположными сторонами в каждом четырехугольнике, тогда соотношение двух площадей определяется выражением сек2 θ. Для θ = 5 °, это примерно 1,00765, что соответствует разнице около 0,8%.

Вариант «парадокса» Мицунобу Мацуямы

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Гарднер, Мартин (1956). Математика Магия и магия. Дувр. С. 139–150. ISBN 9780486203355.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик. "Личность Кассини". Математический мир.
  3. ^ «Парадоксальный разрез». mathblag. 2011-08-28. Получено 2018-04-19.

внешние ссылки