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Muizenprobleem
Drei Mäuse jagen sich gegenseitig
Sechs Mäuse...

Es Mausproblem ist ein Matheproblem bei denen sich drei oder mehr Mäuse (oder Hunde, Käfer, ...) auf den Eckpunkten von a . befinden regelmäßiges Vieleck Stand. Jede Maus jagt ihren nächsten Nachbarn, in im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn. Alle Mäuse starten gleichzeitig und laufen mit der gleichen Geschwindigkeit. Die Frage ist: Wo und wann kommen die Mäuse zusammen und welche Distanz haben sie zurückgelegt? Welchen Beruf haben sie ausgeübt?

Das Problem (drei Hunde beginnen an den Ecken von a gleichseitiges Dreieck) wurde formuliert von Edouard Lucas im Jahr 1877.[1]Henri Brocard bewiesen im Jahr 1880[2] dass die Jobs, denen sie folgen logarithmische Spiralen die sich in der Mitte des Dreiecks treffen.

Dies lässt sich am Beispiel von vier Mäusen veranschaulichen, die sich gegenseitig jagen:

Mausverfolgung.png

A jagt B, B jagt C, C jagt D und D jagt A. Zu Beginn folgt jede Maus der Seite des Quadrats. Nach kurzer Zeit Δ befinden sie sich in den Positionen A', B', C' und D', den Eckpunkten eines neuen Quadrats, und müssen ihre Richtung an diese neuen Positionen anpassen. Dies wiederholt sich immer wieder (in Wirklichkeit kontinuierlich), so dass ihre Positionen eine Art Wirbel bilden, dessen Scheitelpunkte schließlich im Zentrum des Quadrats zusammenlaufen.

Im Allgemeinen für nein Mäuse in einem regelmäßigen Vieleck mit nein Seiten, deren eine Seite 1 ist und auf denen sich die Mäuse mit einer Geschwindigkeit von 1 bewegen: Der Abstand zwischen zwei benachbarten Mäusen nimmt um die Geschwindigkeit 1 ab − cos(2π/nein), so dass sie nach einer verstrichenen Zeit von 1/(1 − cos(2π/nein)), was auch die zurückgelegte Strecke ist.

Das Problem gewann an Popularität, als es in dem Buch erschien Mathematische Schnappschüsse von Hugo Steinhaus 1950 (ursprünglich 1937 auf Polnisch veröffentlicht). Mehrere Varianten wurden untersucht, wie zum Beispiel: Was ist, wenn die Mäuse an den Ecken eines nicht-regulären Polygons beginnen? Was ist, wenn die Mäuse unterschiedliche Geschwindigkeiten haben? Was ist, wenn sie nicht ihren nächsten Nachbarn jagen, sondern einen anderen?

1971 bewiesen Klamkin und Newman, dass sich drei gleich schnelle Mäuse von den Eckpunkten eines beliebigen Dreiecks immer gleichzeitig treffen (solange die drei Eckpunkte nicht auf einer Linie liegen).[3] Behroozi und Gagnon zeigten, dass dies auch für vier Mäuse gilt, wenn sie von den Ecken eines konvexen Vierecks ausgehen.[4]

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