WikiDer > Logarithmische Spirale

Das logarithmische Spirale ist eine ebene Kurve, deren Längenzunahme des Gleisradius – also des Liniensegments, das den Ursprung des Koordinatensystems mit einem beliebigen Punkt auf der Kurve verbindet – proportional zur Länge des Gleisradius selbst ist, so dass die Länge der Spurradius ist eine exponentielle Funktion des Winkels zwischen dem Vorschubradius und dem X-Asche.

Diese Spirale kommt häufig in der Natur vor, genauer gesagt in den Biologie. Biologisch bedeutet dies eine Zunahme proportional zur bereits erreichten Größe des Organismus.

der Mathematiker Jakob Bernoullic gab dieser Kurve ihren lateinischen Namen spira mirabilis.

Gleichungen

Wenn die Vergrößerung des Vorschubradius ${displaystyle mathrm {d} r(heta)}$ ist proportional zum Vorschubradius selbst gilt für eine kleine Vergrößerung des Winkels ${displaystyle mathrm {d} heta }$:

${displaystyle mathrm {d} r(heta)=bcdot r(heta)mathrm {d}heta}$

in welchem ${displaystyle b}$ ist die Proportionalitätskonstante. Aufgrund dieser Verbindung als Differentialgleichung zu betrachten und zu lösen findet man als allgemeine Lösung:

${displaystyle r(heta)=ae^{bcdot heta}}$

Dies ist die Gleichung der logarithmischen Spirale in Polarkoordinaten. Hier ist ${Anzeigestil a}$ eine positive Zahl und ${displaystyle b}$ eine andere Zahl als 1. Es Domain von diesem Funktion ist ${displaystyle (-infty , infty )}$. Diese Gleichung ist äquivalent zu:

${displaystyle heta ={frac {ln(r/a)}{b}}}$

Der Vergleich in Parameterformular ist:

${displaystyle x(t)=ae^{bcdot t}cos(t)}$

${displaystyle y(t)=ae^{bcdot t}sin(t)}$

Die Ecke ${Anzeigestil-Heta}$ aus der Gleichung in Polarkoordinaten wird hier als Parameter verwendet Unabhängig davon, ob man die Gleichung in Polarform oder die Gleichungen in Parameterform betrachtet, gilt: wenn ${displaystyle b>1}$ der Spiralvorschubradius nimmt entgegen dem Uhrzeigersinn zu; vor dem ${displaystyle b=0}$ man hat keine Spirale, sondern einen Kreis mit Radius ${Anzeigestil a;}$ und für ${displaystyle b<1}$ der Vorschubradius der Spirale nimmt im Uhrzeigersinn zu.

Eigenschaften

Eine logarithmische Spirale. Der Winkel zwischen der Tangente und der Geraden senkrecht zum Vorschubradius ist an jedem Punkt gleich.

Winkel zwischen Vorschubbalken und Tangente

Die logarithmische Spirale hat die Eigenschaft, dass in jedem Punkt der Winkel zwischen Leitstrahl und Tangente konstant ist. Dieser Winkel wird bestimmt durch den Parameter determined ${displaystyle b}$ der Spirale:

${Displaystyle-Kinderbett varphi =b}$

Aufgrund dieser Eigenschaft wird die logarithmische Spirale auch zum gleichwinklige Spirale erwähnt.

Bogenlänge

Das Unendliche Bogenlänge ds ist:

${displaystyle {m {d}}s={sqrt {{m {d}}x^{2} {m {d}}y^{2}}}=a{sqrt {1 b^{2}}} ,e^{b heta },{m {d}} heta }$

Die Bogenlänge selbst vom Ursprung bis zum dem Winkel zugeordneten Punkt ${displaystyle heta_{0},}$ ist dann:

${displaystyle s( heta _{0})=int _{-infty }^{ heta _{0}}ds={frac {a}{b}}{sqrt {1 b^{2}}},e^ {b heta _{0}}}$

wenn einer integriert von ${displaystyle -infty }$, die Spirale dreht sich unendlich oft um den Ursprung, bevor der Parameter ${Anzeigestil-Heta}$ wird positiv. Die Gesamtbogenlänge all dieser Windungen ist jedoch endlich.

Korrektur

Das Tangente${Anzeigestil T}$ zur Spirale an einem Punkt, an dem die Spirale die x-Achse schneidet, auch die y-Achse schneidet. Die Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten ist a Berichtigung der Kurve, was bedeutet, dass der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten gleich der gesamten Bogenlänge der Kurve bis zum vorgesehenen Schnittpunkt mit der x-Achse ist.

Selbstähnlichkeit

Wenn die Figur der logarithmischen Spirale um einen beliebigen Winkel gedreht wird, ist es immer möglich, die Figur durch Vergrößerung des Maßstabs wieder mit der ursprünglichen Spirale zur Deckung zu bringen. Dies lässt sich auf einfache Weise mathematisch beweisen. Die gedrehte Spirale um einen Winkel ${displaystyle alpha }$ ist:

${displaystyle r_{alpha}(heta)=ae^{bcdot (heta -alpha)}}$

das ist gleichbedeutend mit:

${displaystyle r_{alpha}(heta)=e^{-bcdot cdot alpha},ae^{bcdot heta}=e^{-bcdot alpha},r(heta)}$

Dies ist ein Vielfaches, eine Neuskalierung, der ursprünglichen logarithmischen Spirale. Diese Eigenschaft wurde auf dem Grabstein von Jakob Bernoulli mit den Worten verewigt eadem mutata resurgo (verändert und immer noch gleich, ich werde wieder auferstehen).

Evolution

Das entwickeln der logarithmischen Spirale ist wieder eine logarithmische Spirale mit dem gleichen Parameter ${displaystyle b}$, aber mit einem Faktor a gleich ${displaystyle acdot bcdot e^{-bpi /2}}$.

${displaystyle r_{mathrm {evolute}}(heta)=a,(be^{-bpi /2}),e^{b(heta pi/2)}}$

Wenn eine logarithmische Spirale mit ${displaystyle b>0}$ wird zusammen mit seiner Evolute gezeichnet, beide für ein gleiches Intervall des Parameters ${displaystyle t}$, die Spirale der Evolute hat einen kleineren Vorschubradius als die ursprüngliche Spirale. Die Evolute wird ebenfalls um 90° gegen den Uhrzeigersinn zur Position der ursprünglichen Spirale gedreht.

Kommt in der Natur vor

Die Kammern einer Nautilus-Schale bilden eine logarithmische Spirale.

• Wie bereits erwähnt, ist das Wachstum des Vorschubradius an der logarithmischen Spirale proportional zum Exponenten des Vorschubradius. Dieses Prinzip, eine Anlagerung, die der bereits vorhandenen Größe proportional ist, findet sich in biologischen Systemen wie Schalen von Weichtiere.

• EIN Falke nähert sich seiner Beute über eine logarithmische Spirale. Dies liegt daran, dass es in einem bestimmten Winkel zu seiner Flugrichtung am schärfsten sieht.^[1]

• Drei Mäuse (oder andere Tiere) jagen sich gegenseitig aus den Ecken eines gleichseitiges Dreieck folgen Sie einer logarithmischen Spirale; Das ist es Mausproblem.

• Die Form der Spiralarme von Spiralgalaxien entspricht einer logarithmischen Spirale. Das Tangente auf der Spirale einen Winkel von ca. 12° mit der Geraden senkrecht zum Förderstrahl bildet.

Verweise