WikiDer > Многомерная гамма-функция

Multivariate gamma function

В математика, то многомерная гамма-функция Γп является обобщением гамма-функция. Это полезно в многомерная статистика, появляясь в функция плотности вероятности из Wishart и обратные распределения Уишарта, а матричное вариативное бета-распределение.[1]

У него есть два эквивалентных определения. Один задается следующим интегралом по положительно определенный реальные матрицы:

(Обратите внимание, что сводится к обычной гамма-функции). Другой, более полезный для получения числового результата:

Отсюда мы получаем рекурсивные отношения:

Таким образом

и так далее.

Это также можно расширить до нецелых значений p с помощью выражения:

Где G - это G-функция Барнса, то неопределенный продукт из Гамма-функция.

Функция получена Андерсоном[2] из первых принципов, который также цитирует более ранние работы Вишрта, Махалаболиса и др.

Производные

Мы можем определить многомерную функция дигаммы в качестве

и вообще полигамма функция в качестве

Шаги расчета

  • С
следует, что
следует, что

Рекомендации

  1. ^ Джеймс, Алан Т. (июнь 1964 г.). «Распределение матричных вариаций и скрытых корней, полученных из нормальных образцов». Анналы математической статистики. 35 (2): 475–501. Дои:10.1214 / aoms / 1177703550. ISSN 0003-4851.
  2. ^ Андерсон, Т. В. (1984). Введение в многомерный статистический анализ. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. гл. 7. ISBN 0-471-88987-3.